Χάρτης του Χενόν

Ελκυστής του Χενόν για $a = 1.4$ and $b = 0.3$

Στα μαθηματικά, ο χάρτης του Χενόν, μερικές φορές αποκαλούμενος ελκυστής/χάρτης του Χενόν-Πομό,^[1] είναι ένα δυναμικό σύστημα διακριτού χρόνου. Είναι ένα από τα πιο μελετημένα παραδείγματα δυναμικών συστημάτων που παρουσιάζουν χαοτική συμπεριφορά. Ο χάρτης του Χενόν παίρνει ένα σημείο $(x n, y n)$ στο επίπεδο και το απεικονίζει σε ένα νέο σημείο

{\begin{cases}x_{n+1}=1-ax_{n}^{2}+y_{n}\\y_{n+1}=bx_{n}.\end{cases}}

Ο χάρτης εξαρτάται από δύο παραμέτρους, $a$ και $b$ , οι οποίες για τον κλασικό χάρτη του Χένον έχουν τιμές $a = 1.4$ και $b = 0.3$ . Για τις τυπικές τιμές, ο χάρτης του Χενόν γίνεται χαοτικός. Για άλλες τιμές των $a$ και $b$ , ο χάρτης μπορεί να είναι χαοτικός, διακοπτόμενος ή να συγκλίνει προς μια περιοδική τροχιά. Μια επισκόπηση του είδους της συμπεριφοράς του χάρτη σε διαφορετικές τιμές παραμέτρων μπορεί να ληφθεί από το διάγραμμα τροχιάς του.

Ο χάρτης παρουσιάστηκε από τον Μισέλ Χενόν ως ένα απλοποιημένο μοντέλο του τμήματος Πουανκαρέ του μοντέλου Λόρεντζ. Για τον κλασικό χάρτη, ένα αρχικό σημείο του επιπέδου είτε θα προσεγγίσει ένα σύνολο σημείων γνωστό ως παράξενος ελκυστής του Χενόν, είτε θα αποκλίνει στο άπειρο. Ο ελκυστής του Χενόν είναι ένα φράκταλ, λείο προς μια κατεύθυνση και ένα σύνολο Κάντορ προς μια άλλη. Αριθμητικές εκτιμήσεις δίνουν μια διάσταση συσχέτισης 1.21 ± 0.01 ή 1.25 ± 0.02^[2] (ανάλογα με τη διάσταση του χώρου ενσωμάτωσης) και μια διάσταση καταμέτρησης κουτιών 1.261 ± 0.003^[3] για τον ελκυστή του κλασικού χάρτη.

Ελκυστής[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο χάρτης του Χενόν απεικονίζει δύο σημεία στον εαυτό τους: αυτά είναι τα αναλλοίωτα σημεία. Για τις κλασικές τιμές των a και b του χάρτη του Χενόν, ένα από αυτά τα σημεία βρίσκεται στον ελκυστή:

x={\frac {{\sqrt {609}}-7}{28}}\approx 0.631354477,

y={\frac {3\left({\sqrt {609}}-7\right)}{280}}\approx 0.189406343.

Το σημείο αυτό είναι ασταθές. Τα σημεία κοντά σε αυτό το σταθερό σημείο και κατά μήκος της κλίσης 1,924 θα πλησιάσουν το σταθερό σημείο και τα σημεία κατά μήκος της κλίσης -0,156 θα απομακρυνθούν από το σταθερό σημείο. Οι κλίσεις αυτές προκύπτουν από τις γραμμικοποιήσεις της ευσταθής πολλαπλότητας και της ασταθής πολλαπλότητας του σταθερού σημείου. Η ασταθής πολλαπλότητα του σταθερού σημείου στον ελκυστή περιέχεται στον παράξενο ελκυστή του χάρτη του Χενόν.

Ο χάρτης του Χενόν δεν έχει έναν παράξενο ελκυστή για όλες τις τιμές των παραμέτρων a και b. Για παράδειγμα, διατηρώντας το b σταθερό στο 0,3 το διάγραμμα διακλάδωσης δείχνει ότι για a = 1,25 ο χάρτης του Χενόν έχει μια σταθερή περιοδική τροχιά ως ελκυστή.

Οι Cvitanović κ.ά. έδειξαν πώς η δομή του παράξενου ελκυστή του Χενόν μπορεί να γίνει κατανοητή από την άποψη των ασταθών περιοδικών τροχιών εντός του ελκυστή.

Σχέση με το διάγραμμα διακλάδωσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Εάν σχεδιαστούν πολλαπλοί χάρτες του Χενόν, για κάθε χάρτη μεταβάλλοντας την τιμή του b, και στη συνέχεια στοιβάζοντας όλους τους χάρτες μαζί, παράγεται ένα διάγραμμα διακλάδωσης. Ένα διάγραμμα διακλάδωσης που είναι διπλωμένο σαν taco. Εξ ου και το σχήμα μπούμερανγκ όταν το βλέπουμε σε 2D από πάνω.

Επαναλαμβανόμενα πλακίδια και πολύμορφα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο χάρτης του Χενόν μπορεί να αναλυθεί σε σύνθεση τριών συναρτήσεων που δρουν στο πεδίο η μία μετά την άλλη.

1) μια καμπύλη διατήρησης της περιοχής:

(x_{1},y_{1})=(x,1-ax^{2}+y)\,

,

2) μια συρρίκνωση προς την κατεύθυνση x:

(x_{2},y_{2})=(bx_{1},y_{1})\,

,

3) μια αντανάκλαση στη γραμμή y = x:

(x_{3},y_{3})=(y_{2},x_{2})\,

.

Μονοδιάστατη αποσύνθεση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο χάρτης του Χενόν μπορεί επίσης να αποδομηθεί σε έναν μονοδιάστατο χάρτη, ο οποίος ορίζεται παρόμοια με την ακολουθία Φιμπονάτσι.

x_{n+1}=1-ax_{n}^{2}+bx_{n-1}

Τετραδιάστατη επέκταση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Χάρτης του Χενόν σε 4D. Το εύρος για το b είναι -1,5 έως 0,5 και για το a είναι -2,3 έως 1,0. Όλες οι επίπεδες διατομές που σε κάθε εικόνα του βίντεο είναι κενές υποδηλώνει ότι για τις εν λόγω διατομές, τα σημεία αποκλίνουν στο άπειρο και δεν σχεδιάστηκαν.

Παρόλο που ο χάρτης του Χενόν μπορεί να απεικονιστεί στους άξονες x και y, μεταβάλλοντας τα a και b, αποκτούμε δύο επιπλέον διαστάσεις για την απεικόνιση. Συνεπώς, ο χάρτης του Χενόν μπορεί να σχεδιαστεί σε χώρο τεσσάρων διαστάσεων. Μπορεί να απεικονιστεί μια τέτοια γραφική παράσταση, αν βλέπουμε ένα υπερεπίπεδο (δηλαδή έναν κύβο του χώρου) κάθε φορά που αναπαριστά τρεις άξονες, και στη συνέχεια μετακινούμαστε κατά μήκος του τέταρτου άξονα καθώς περνάει ο χρόνος.

Στο παράδειγμα του βίντεο δεξιά, οι τρεις άξονες για κάθε εικόνα στο βίντεο είναι οι x, y και b. Καθώς περνάει ο χρόνος, ο άξονας a είναι αυτός που μετακινείται.

Ειδικές περιπτώσεις και τροχιές χαμηλής περιόδου[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αν κάποιος επιλύσει τον μονοδιάστατο χάρτη του Χενόν για την ειδική περίπτωση:

X=x_{n-1}=x_{n}=x_{n+1}

Καταλήγουμε στο απλό τετραδικό:

X=1-aX^{2}+bX

ή

0=-aX^{2}+(b-1)X+1

Ο τετραγωνικός τύπος αποδίδει:

X={b-1\pm {\sqrt {b^{2}-2b+1+4a}} \over 2a}

Στην ειδική περίπτωση b=1, αυτό απλοποιείται ως εξής

X={\pm {\sqrt {a}} \over a}

Εάν, επιπλέον, το a είναι της μορφής ${1 \over c^{n}}$ ο τύπος απλοποιείται περαιτέρω ως εξής

X=\pm c^{n/2}

Στην πράξη, το σημείο εκκίνησης (X,X) θα ακολουθήσει έναν βρόχο 4 σημείων σε δύο διαστάσεις που διέρχεται από όλα τα τεταρτημόρια.

(X,X)=(X,-X)

(X,-X)=(-X,-X)

(-X,-X)=(-X,X)

(-X,X)=(X,X)

Ιστορία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το 1976 στη Γαλλία, ο ελκυστής Λόρεντζ αναλύθηκε από τον φυσικό Υβ Πομό^[4], ο οποίος πραγματοποίησε μια σειρά αριθμητικών υπολογισμών με τον Τζ.Λ. Ιμπανέζ^[5]. Η ανάλυση αποτέλεσε ένα είδος συμπληρώματος της εργασίας του Ρουέλ (και του Λάνφορντ) που παρουσιάστηκε το 1975. Έδειξαν ενδιαφέρον για τον ελκυστή Λόρεντζ, αυτό δηλαδή που αντιστοιχεί στις αρχικές διαφορικές εξισώσεις, και τη γεωμετρική του δομή. Οι Πομό και Ιμπάνεζ συνδύασαν τους αριθμητικούς υπολογισμούς τους με τα αποτελέσματα της μαθηματικής ανάλυσης, που βασίζεται στη χρήση των τομών Πουανκαρέ. Το τέντωμα, η αναδίπλωση και η ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες εισάγονται φυσικά σε αυτό το πλαίσιο σε σχέση με τον ελκυστή Λόρεντζ. Ενώ η ανάλυση είναι τελικά πολύ μαθηματική, οι Πομό και Ιμπάνεζ ακολουθούν ένα είδος φυσικής προσέγγισης, πειραματιζόμενοι αριθμητικά με το σύστημα Λόρεντζ.

Συγκεκριμένα, οι εμπειρίες αυτές επιφέρουν δύο ανοίγματα. Επιτρέπουν την ανάδειξη μιας ιδιόμορφης συμπεριφοράς του συστήματος Λόρεντζ: υπάρχει μια μετάβαση, που χαρακτηρίζεται από μια κρίσιμη τιμή των παραμέτρων του συστήματος, για την οποία το σύστημα μεταβαίνει από μια θέση παράξενου ελκυστή σε μια διαμόρφωση σε οριακό κύκλο. Η σημασία της θα αποκαλυφθεί από τον ίδιο τον Πομό (και έναν συνεργάτη του, τον Πολ Μανέβιλ) μέσω του "σεναρίου" της Διακοπής, που προτάθηκε το 1979.

Ο δεύτερος δρόμος που προτείνουν οι Πομό και Ιμπάνεζ είναι η ιδέα της υλοποίησης δυναμικών συστημάτων ακόμη απλούστερων από εκείνο του Λόρεντζ, αλλά με παρόμοια χαρακτηριστικά, και τα οποία θα επέτρεπαν να αποδειχθούν με μεγαλύτερη σαφήνεια οι "αποδείξεις" που έρχονται στο φως από τους αριθμητικούς υπολογισμούς. Δεδομένου ότι η συλλογιστική βασίζεται στην τομή του Πουανκαρέ, προτείνει να παραχθεί μια εφαρμογή του επιπέδου καθεαυτού, αντί μιας διαφορικής εξίσωσης, μιμούμενη τη συμπεριφορά του Λόρεντζ και του παράξενου ελκυστή του. Επινόησε μία εφαρμογή που του επέτρεψε να τεκμηριώσει καλύτερα τον συλλογισμό του.

Τον Ιανουάριο του 1976, ο Πομό παρουσίασε την εργασία του κατά τη διάρκεια σεμιναρίου στο Αστεροσκοπείο της Κυανής Ακτής, στο οποίο συμμετείχε ο Μισέλ Χενόν. Ο Μισέλ Χενόν χρησιμοποίησε την πρόταση του Πομό για να βρει ένα απλό σύστημα με παράξενο ελκυστή^[6]^[7].

Τρόποι λειτουργίας Κούπμαν[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στα δυναμικά συστήματα, ο τελεστής Κούπμαν είναι ένας φυσικός γραμμικός τελεστής στο χώρο των κλιμακωτών πεδίων. Για γενικά μη γραμμικά συστήματα, οι ιδιοσυναρτήσεις αυτού του τελεστή δεν μπορούν να εκφραστούν σε μια άνετη μορφή. Συνεπώς, πρέπει να υπολογίζονται αριθμητικά. Αυτές οι λειτουργίες μπορούν να δώσουν μια εικόνα της συμβολικής δυναμικής των χαοτικών χαρτών, όπως ο χάρτης του Χενόν ^[8]. Στον τρόπο που παρέχεται, η σταθερή πολλαπλότητα του παράξενου ελκυστή μπορεί να φανεί καθαρά.

Γενικεύσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μια τρισδιάστατη γενίκευση του χάρτη Hénon προτάθηκε από τους Χιτζ και Ζέλε.^[9] Δίνεται από τη σχέση

$\mathbf {s} (n+1)={\begin{bmatrix}s_{1}(n+1)\\s_{2}(n+1)\\s_{3}(n+1)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\alpha s_{1}^{2}(n)+s_{3}(n)+1\\-\beta s_{1}(n)\\\beta s_{1}(n)+s_{2}(n)\end{bmatrix}}$ .

Για $\alpha =1.07$ και $\beta =0.3$ μπορεί να αποδειχθεί ότι σχεδόν όλες οι αρχικές συνθήκες μέσα στη μοναδιαία σφαίρα δημιουργούν χαοτικά σήματα με τον μεγαλύτερο εκθέτη Λιαπούνοφ. $0.23$ .^[9]

Πολλές άλλες γενικεύσεις έχουν προταθεί στη βιβλιογραφία. Μπορεί κανείς να παράγει, παραδείγματος χάριν, χαοτικά σήματα περιορισμένης ζώνης χρησιμοποιώντας ψηφιακά φίλτρα στο βρόχο ανατροφοδότησης του συστήματος.^[10]

Δημοσιεύσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

M. Hénon (1976). «A two-dimensional mapping with a strange attractor». Communications in Mathematical Physics 50 (1): 69–77. doi:10.1007/BF01608556. Bibcode: 1976CMaPh..50...69H. http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103900150.
Predrag Cvitanović; Gemunu Gunaratne; Itamar Procaccia (1988). «Topological and metric properties of Hénon-type strange attractors». Physical Review A 38 (3): 1503–1520. doi:10.1103/PhysRevA.38.1503. PMID 9900529. Bibcode: 1988PhRvA..38.1503C.
Carles Simó (1979). «On the Hénon-Pomeau attractor». Journal of Statistical Physics 21 (4): 465–494. doi:10.1007/BF01009612.
Michel Hénon and Yves Pomeau (1976). «Two strange attractors with a simple structure». Turbulence and Navier Stokes Equations (Springer): 29–68.
M. Michelitsch; O. E. Rössler (1989). «A New Feature in Hénon's Map». Computers & Graphics 13 (2): 263–265. doi:10.1016/0097-8493(89)90070-8. http://mathworld.wolfram.com/HenonMap.html. . Reprinted in: Chaos and Fractals, A Computer Graphical Journey: Ten Year Compilation of Advanced Research (Ed. C. A. Pickover). Amsterdam, Netherlands: Elsevier, pp. 69–71, 1998
Kuznetsov, Nikolay· Reitmann, Volker (2020). Attractor Dimension Estimates for Dynamical Systems: Theory and Computation. Cham: Springer.

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

↑ Section 13.3.2; Hsu, Chieh Su. Cell-to-cell mapping: a method of global analysis for nonlinear systems. Vol. 64. Springer Science & Business Media, 2013
↑ P. Grassberger; I. Procaccia (1983). «Measuring the strangeness of strange attractors». Physica 9D (1–2): 189–208. doi:10.1016/0167-2789(83)90298-1. Bibcode: 1983PhyD....9..189G.
↑ D.A. Russell; J.D. Hanson; E. Ott (1980). «Dimension of strange attractors». Physical Review Letters 45 (14): 1175. doi:10.1103/PhysRevLett.45.1175. Bibcode: 1980PhRvL..45.1175R.
↑ «Rencontre célébrant la médaille Boltzmann d'Yves Pomeau - Société Française de Physique». sfpnet.fr (στα Γαλλικά). Ανακτήθηκε στις 6 Ιανουαρίου 2024.
↑ «Pomeau_Ibanez 1976».
↑ «L'attracteur de Hénon».
↑ «Deux exemples français : Yves Pomeau et Michel Hénon».
↑ Cong Zhang; Haipeng Li; Yueheng Lan (2022). «Phase space partition with Koopman analysis». Chaos 32 (6): 063132. doi:10.1063/5.0079812. PMID 35778118.
↑ ^9,0 ^9,1 Hitzl, Donald L.; Zele, Frank (March 1985). «An exploration of the Hénon quadratic map» (στα αγγλικά). Physica D: Nonlinear Phenomena 14 (3): 305–326. doi:10.1016/0167-2789(85)90092-2. https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/0167278985900922.
↑ Borges, Vinícius S.; Eisencraft, Marcio (December 2022). «A filtered Hénon map» (στα αγγλικά). Chaos, Solitons & Fractals 165: 112865. doi:10.1016/j.chaos.2022.112865. https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S096007792201044X.

[1] Section 13.3.2; Hsu, Chieh Su. Cell-to-cell mapping: a method of global analysis for nonlinear systems. Vol. 64. Springer Science & Business Media, 2013

[Grassberger_1983-2] P. Grassberger; I. Procaccia (1983). «Measuring the strangeness of strange attractors». Physica 9D (1–2): 189–208. doi:10.1016/0167-2789(83)90298-1. Bibcode: 1983PhyD....9..189G.

[Russell_1980-3] D.A. Russell; J.D. Hanson; E. Ott (1980). «Dimension of strange attractors». Physical Review Letters 45 (14): 1175. doi:10.1103/PhysRevLett.45.1175. Bibcode: 1980PhRvL..45.1175R.

[4] «Rencontre célébrant la médaille Boltzmann d'Yves Pomeau - Société Française de Physique». sfpnet.fr (στα Γαλλικά). Ανακτήθηκε στις 6 Ιανουαρίου 2024.

[5] «Pomeau_Ibanez 1976».

[6] «L'attracteur de Hénon».

[7] «Deux exemples français : Yves Pomeau et Michel Hénon».

[8] Cong Zhang; Haipeng Li; Yueheng Lan (2022). «Phase space partition with Koopman analysis». Chaos 32 (6): 063132. doi:10.1063/5.0079812. PMID 35778118.

[:1-9] 9,0 ^9,1 Hitzl, Donald L.; Zele, Frank (March 1985). «An exploration of the Hénon quadratic map» (στα αγγλικά). Physica D: Nonlinear Phenomena 14 (3): 305–326. doi:10.1016/0167-2789(85)90092-2. https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/0167278985900922.

[10] Borges, Vinícius S.; Eisencraft, Marcio (December 2022). «A filtered Hénon map» (στα αγγλικά). Chaos, Solitons & Fractals 165: 112865. doi:10.1016/j.chaos.2022.112865. https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S096007792201044X.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]