Διάσταση Μινκόφσκι-Μπουλιγκάντ

Στη μορφοκλασματική γεωμετρία, η διάσταση Μινκόφσκι-Μπουλιγκάντ^[1]^[2], επίσης γνωστή ως διάσταση Μινκόφσκι ή διάσταση καταμέτρησης κουτιών, είναι ένας τρόπος προσδιορισμού της μορφοκλασματικής διάστασης ενός συνόλου $S$ σε έναν ευκλείδειο χώρο $\mathbb {R} ^{n}$ , ή γενικότερα σε έναν μετρικό χώρο $(X,d)$ . Πήρε το όνομά της από τον Πολωνό μαθηματικό Χέρμαν Μινκόφσκι και τον Γάλλο μαθηματικό Ζορζ Μπουλιγκάντ.

Για να υπολογιστεί αυτή η διάσταση για ένα φράκταλ $S$ , φανταστείτε αυτό το φράκταλ να βρίσκεται σε ένα ομοιόμορφα διατεταγμένο πλέγμα και μετρήστε πόσα κουτιά απαιτούνται για να καλύψουν το σύνολο. Η διάσταση της καταμέτρησης κουτιών υπολογίζεται βλέποντας πώς αλλάζει αυτός ο αριθμός καθώς κάνουμε το πλέγμα λεπτότερο εφαρμόζοντας έναν αλγόριθμο καταμέτρησης κουτιών.

Ας υποθέσουμε ότι $N(\varepsilon )$ είναι ο αριθμός των κουτιών με μήκος πλευράς $\varepsilon$ που απαιτούνται για την κάλυψη του συνόλου. Τότε η διάσταση καταμέτρησης κουτιών ορίζεται ως εξής

\dim _{\text{box}}(S):=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log N(\varepsilon )}{\log(1/\varepsilon )}}.

Σε γενικές γραμμές, αυτό σημαίνει ότι η διάσταση είναι ο εκθέτης $d$ τέτοιος ώστε $N(1/n)\approx Cn^{d}$ , κάτι που θα περίμενε κανείς στην τετριμμένη περίπτωση όπου $S$ είναι ένας λείος χώρος (μια πολλαπλότητα) ακέραιης διάστασης $d$ .

Αν το παραπάνω όριο δεν υπάρχει, μπορεί κανείς να πάρει το ανώτερο και το κατώτερο όριο, τα οποία ορίζουν αντίστοιχα την ανώτερη διάσταση του κουτιού και την κατώτερη διάσταση του κουτιού. Η άνω διάσταση κουτιού ονομάζεται μερικές φορές διάσταση εντροπίας, διάσταση Κολμογκόροφ, χωρητικότητα Κολμογκόροφ, οριακή χωρητικότητα ή άνω διάσταση Μινκόφσκι, ενώ η κάτω διάσταση κουτιού ονομάζεται επίσης κάτω διάσταση Μινκόφσκι.

Η άνω και η κάτω διάσταση κουτιού συνδέονται στενά με την πιο δημοφιλή διάσταση Χάουσντορφ. Μόνο σε πολύ ειδικές εφαρμογές είναι σημαντικό να γίνεται διάκριση μεταξύ των τριών αυτών διαστάσεων (βλέπε παρακάτω). Ακόμη ένα άλλο μέτρο της διάστασης του φράκταλ είναι η διάσταση συσχέτισης.

Εναλλακτικοί ορισμοί[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Είναι δυνατόν να οριστούν οι διαστάσεις του κιβωτίου χρησιμοποιώντας μπάλες, είτε με τον αριθμό κάλυψης είτε με τον αριθμό συσκευασίας. Ο αριθμός κάλυψης $N_{\text{covering}}(\varepsilon )$ είναι ο ελάχιστος αριθμός ανοικτών σφαιρών ακτίνας ε που απαιτούνται για να καλύψουν το φράκταλ, ή με άλλα λόγια, τέτοιες ώστε η ένωσή τους να περιέχει το φράκταλ. Μπορούμε επίσης να θεωρήσουμε τον εγγενή αριθμό κάλυψης $N'_{\text{covering}}(\varepsilon )$ , ο οποίος ορίζεται με τον ίδιο τρόπο αλλά με την πρόσθετη απαίτηση ότι τα κέντρα των ανοικτών σφαιρών βρίσκονται μέσα στο σύνολο S. Ο αριθμός συσκευασίας $N_{\text{packing}}(\varepsilon )$ είναι ο μέγιστος αριθμός των διαχωρισμένων ανοικτών σφαιρών ακτίνας ε που μπορεί κανείς να τοποθετήσει έτσι ώστε τα κέντρα τους να βρίσκονται μέσα στο φράκταλ. Αν και τα N, N_covering, N'_covering και N_packing δεν είναι ακριβώς ταυτόσημα, είναι στενά συνδεδεμένα και οδηγούν σε ταυτόσημους ορισμούς των άνω και κάτω διαστάσεων του κουτιού. Αυτό αποδεικνύεται εύκολα μόλις αποδειχθούν οι ακόλουθες ανισότητες^[3]:

N_{\text{packing}}(\varepsilon )\leq N'_{\text{covering}}(\varepsilon )\leq N_{\text{covering}}(\varepsilon /2).

Αυτά, με τη σειρά τους, ακολουθούν με λίγη προσπάθεια από την ανισότητα του τριγώνου.

Το πλεονέκτημα της χρήσης σφαιρών αντί τετραγώνων είναι ότι ο ορισμός αυτός γενικεύεται σε οποιοδήποτε μετρικό χώρο. Με άλλα λόγια, ο ορισμός των κουτιών είναι εξωγενής - ο κλασματικός χώρος S θεωρείται ότι περιέχεται σε έναν ευκλείδειο χώρο και τα κουτιά ορίζονται με βάση την εξωτερική γεωμετρία του χώρου που τον περιέχει. Ωστόσο, η διάσταση του S θα πρέπει να είναι ενδογενής, ανεξάρτητη από το περιβάλλον στο οποίο τοποθετείται ο S, και ο ορισμός της σφαίρας μπορεί να διατυπωθεί ενδογενώς. Ως εσωτερική σφαίρα ορίζονται όλα τα σημεία του S εντός ορισμένης απόστασης από ένα επιλεγμένο κέντρο, και οι σφαίρες αυτές καταμετρώνται για να ληφθεί η διάσταση. (Πιο συγκεκριμένα, ο ορισμός του N_covering είναι εξωγενής, αλλά οι άλλοι δύο είναι ενδογενείς).

Το πλεονέκτημα της χρήσης κουτιών είναι ότι, σε πολλές περιπτώσεις, το N(ε) μπορεί εύκολα να υπολογιστεί ρητά και, για τα κουτιά, οι αριθμοί κάλυψης και συσκευασίας (που ορίζονται ισοδύναμα) είναι ίσοι.

Ο λογάριθμος των αριθμών συσκευασίας και κάλυψης αναφέρεται μερικές φορές ως αριθμός εντροπίας και είναι κάπως ανάλογος με τις έννοιες της θερμοδυναμικής εντροπίας και της εντροπίας της θεωρίας της πληροφορίας, δεδομένου ότι μετρά την ποσότητα της "αταξίας" στο μετρικό ή φράκταλ χώρο στην κλίμακα ε και επίσης μετρά πόσα bits ή ψηφία θα χρειαζόταν κανείς για να προσδιορίσει ένα σημείο του χώρου με ακρίβεια ε.

Ένας άλλος ισοδύναμος (εξωγενής) ορισμός για τη διάσταση μέτρησης κουτιών δίνεται από τον τύπο

\dim _{\text{box}}(S)=n-\lim _{r\to 0}{\frac {\log {\text{vol}}(S_{r})}{\log r}},

όπου για κάθε r > 0, το σύνολο $S_{r}$ ορίζεται ως η r-γειτονιά του S, δηλαδή το σύνολο όλων των σημείων του $R^{n}$ που βρίσκονται σε απόσταση μικρότερη του r από το S (ή ισοδύναμα, το $S_{r}$ είναι η ένωση όλων των ανοικτών σφαιρών ακτίνας r με κέντρο ένα σημείο του S).

Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Και οι δύο διαστάσεις των κουτιών είναι πεπερασμένα προσθετικές, δηλαδή αν {A₁, ..., A_n} είναι μια πεπερασμένη συλλογή συνόλων, τότε

\dim(A_{1}\cup \dotsb \cup A_{n})=\max\{\dim A_{1},\dots ,\dim A_{n}\}.

Ωστόσο, δεν είναι μετρήσιμα προσθετικά, δηλαδή αυτή η ισότητα δεν ισχύει για μια άπειρη ακολουθία συνόλων. Για παράδειγμα, η διάσταση του κουτιού ενός μεμονωμένου σημείου είναι 0, αλλά η διάσταση του κουτιού της συλλογής των λογικών αριθμών στο διάστημα [0, 1] έχει διάσταση 1. Το μέτρο Χάουσντορφ συγκριτικά, είναι μετρήσιμα προσθετικό.

Μια ενδιαφέρουσα ιδιότητα της άνω διάστασης κουτιού που δεν μοιράζεται ούτε με την κάτω διάσταση κουτιού ούτε με τη διάσταση Χάουσντορφ είναι η σύνδεση με την πρόσθεση συνόλων. Αν τα Α και Β είναι δύο σύνολα σε έναν ευκλείδειο χώρο, τότε το A + Bσχηματίζεται παίρνοντας όλα τα ζεύγη σημείων a, b όπου το α είναι από το Α και το β από το Β και προσθέτοντας το a + b. Έχουμε

\dim _{\text{upper box}}(A+B)\leq \dim _{\text{upper box}}(A)+\dim _{\text{upper box}}(B).

Σχέσεις με τη διάσταση Χάουσντορφ[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η διάσταση του κουτιού-μέτρησης είναι ένας από τους ορισμούς της διάστασης που μπορούν να εφαρμοστούν στα φράκταλ. Για πολλά καλά συμπεριφερόμενα φράκταλ όλες αυτές οι διαστάσεις είναι ίσες- ειδικότερα, αυτές οι διαστάσεις συμπίπτουν όποτε το φράκταλ ικανοποιεί τη συνθήκη του ανοικτού συνόλου (OSC)^[4]. Παραδείγματος χάριν, η διάσταση Χάουσντορφ, η διάσταση του κάτω κουτιού και η διάσταση του άνω κουτιού του συνόλου του Κάντορ είναι όλες ίσες με log(2)/log(3). Ωστόσο, οι ορισμοί δεν είναι ισοδύναμοι.^[5]^[6]

Οι διαστάσεις του κουτιού και η διάσταση Χάουσντορφ σχετίζονται με την ανισότητα

\dim _{\text{Haus}}\leq \dim _{\text{lower box}}\leq \dim _{\text{upper box}}.

Γενικά, και οι δύο ανισότητες ενδέχεται να είναι αυστηρές. Η ανώτερη διάσταση κουτιού μπορεί να είναι μεγαλύτερη από την κατώτερη διάσταση κουτιού, εάν το φράκταλ έχει διαφορετική συμπεριφορά σε διαφορετικές κλίμακες. Για παράδειγμα, εξετάστε το σύνολο των αριθμών στο διάστημα [0, 1] που ικανοποιούν τη συνθήκη

για κάθε n, όλα τα ψηφία μεταξύ του 2²ⁿ-th digit ψηφίου και του(2²ⁿ⁺¹ − 1)-th digit ψηφίου είναι μηδέν.

Τα ψηφία στα "διαστήματα περιττών θέσεων", δηλαδή μεταξύ των ψηφίων 2²ⁿ⁺¹ και 2²ⁿ⁺² − 1 δεν περιορίζονται και μπορούν να πάρουν οποιαδήποτε τιμή. Αυτό το φράκταλ έχει διάσταση ανώτερου κουτιού 2/3 και διάσταση κατώτερου κουτιού 1/3, γεγονός που μπορεί εύκολα να επαληθευτεί με τον υπολογισμό των N(ε) για $\varepsilon =10^{-2^{n}}$ και παρατηρώντας ότι οι τιμές τους συμπεριφέρονται διαφορετικά για n ζυγό και περιττό.

Ένα άλλο παράδειγμα: το σύνολο των ορθολογικών αριθμών $\mathbb {Q}$ , ένα μετρήσιμο σύνολο με $\dim _{\text{Haus}}=0$ , έχει $\dim _{\text{box}}=1$ επειδή το κλείσιμό του, $\mathbb {R}$ , έχει διάσταση 1. Στην πραγματικότητα,

\dim _{\text{box}}\left\{0,1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},\ldots \right\}={\frac {1}{2}}.

Αυτά τα παραδείγματα δείχνουν ότι η προσθήκη ενός μετρήσιμου συνόλου μπορεί να αλλάξει τη διάσταση του κουτιού, καταδεικνύοντας ένα είδος αστάθειας αυτής της διάστασης.