Τυπικός πίνακας

Στη γραμμική άλγεβρα, ο τυπικός πίνακας χρησιμοποιείται στη διαδικασία διαγωνοποίησης που περιλαμβάνει ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα.

Συγκεκριμένα, ο τυπικός πίνακας $M$ για τον πίνακα $A$ είναι ο n × n πίνακας που σχηματίζεται με τα ιδιοδιανύσματα του $A$ ως στήλες στον $M$. Χρησιμοποιείται στο μετασχηματισμό ομοιότητας

$D=M^{-1}AM,$

όπου $D$ είναι ένας n × n διαγώνιος πίνακας με τις ιδιοτιμές του $A$ στην κύρια διαγώνιο του $D$ και μηδενικά αλλού. Ο πίνακας $D$ ονομάζεται φασματικός πίνακας για τον $A$. Οι ιδιοτιμές πρέπει να εμφανίζονται από αριστερά προς τα δεξιά, από πάνω προς τα κάτω με την ίδια σειρά που τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα είναι τοποθετημένα από αριστερά προς τα δεξιά στο $M$.

Παράδειγμα

Ο πίνακας

$A={\begin{pmatrix}3&2&0\\2&0&0\\1&0&2\end{pmatrix}}$

έχει ιδιοτιμές και αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα

$\lambda _{1}=-1,\quad \,\mathbf {b} _{1}=\left(-3,6,1\right),$

$\lambda _{2}=2,\qquad \mathbf {b} _{2}=\left(0,0,1\right),$

$\lambda _{3}=4,\qquad \mathbf {b} _{3}=\left(2,1,1\right).$

Ένας διαγώνιος πίνακας $D$, παρόμοιος με τον $A$ είναι

$D={\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&2&0\\0&0&4\end{pmatrix}}.$

Μια πιθανή επιλογή για έναν αντιστρέψιμο πίνακα $M$ τέτοιος ώστε $D=M^{-1}AM,$ είναι

$M={\begin{pmatrix}-3&0&2\\6&0&1\\1&1&1\end{pmatrix}}.$

Ας σημειωθεί ότι εφόσον τα ίδια τα ιδιοδιανύσματα δεν είναι μοναδικά και εφόσον οι στήλες τόσο του $M$ όσο και του $D$ μπορούν να εναλλάσσονται, προκύπτει ότι τόσο το $M$ όσο και το $D$ δεν είναι μοναδικά.

Γενικευμένος τυπικός πίνακας

Έστω $A$ ένας n × n πίνακας. Ένας γενικευμένος τυπικός πίνακας $M$ για τον $A$ είναι ένας n × n πίνακας του οποίου οι στήλες, θεωρούμενες ως διανύσματα, σχηματίζουν μια κανονική βάση για τον $A$ και εμφανίζονται στον $M$ σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες:

• Όλες οι αλυσίδες Ζορντάν που αποτελούνται από ένα διάνυσμα (δηλαδή ένα διάνυσμα σε μήκος) εμφανίζονται στις πρώτες στήλες του $M$.
• Όλα τα διανύσματα μιας αλυσίδας εμφανίζονται μαζί σε γειτονικές στήλες του $M$.
• Κάθε αλυσίδα εμφανίζεται στο $M$ κατά σειρά αυξανόμενου βαθμού (δηλαδή, το γενικευμένο ιδιοδιάνυσμα βαθμού 1 εμφανίζεται πριν από το γενικευμένο ιδιοδιάνυσμα βαθμού 2 της ίδιας αλυσίδας, το οποίο εμφανίζεται πριν από το γενικευμένο ιδιοδιάνυσμα βαθμού 3 της ίδιας αλυσίδας κ.λπ.)

Μπορεί κανείς να δείξει ότι

$AM=MJ,$

(1)

όπου $J$ είναι ένας πίνακας σε κανονική μορφή Ζορντάν. Προπολλαπλασιάζοντας με $M^{-1}$, έχουμε

$J=M^{-1}AM.$

(2)

Ας σημειωθεί ότι κατά τον υπολογισμό αυτών των πινάκων, η εξίσωση (1) είναι η ευκολότερη από τις δύο εξισώσεις για επαλήθευση, δεδομένου ότι δεν απαιτεί την αντιστροφή ενός πίνακα.

Παράδειγμα

Αυτό το παράδειγμα απεικονίζει έναν γενικευμένο τυπικό πίνακα με τέσσερις αλυσίδες Ζορντάν. Δυστυχώς, είναι λίγο δύσκολο να κατασκευαστεί ένα ενδιαφέρον παράδειγμα χαμηλής τάξης. Ο πίνακας

$A={\begin{pmatrix}-1&0&-1&1&1&3&0\\0&1&0&0&0&0&0\\2&1&2&-1&-1&-6&0\\-2&0&-1&2&1&3&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\-1&-1&0&1&2&4&1\end{pmatrix}}$

έχει μία μόνο ιδιοτιμή $\lambda _{1}=1$ με αλγεβρική πολλαπλότητα $\mu _{1}=7$. Μια κανονική βάση για την $A$ θα αποτελείται από ένα γραμμικά ανεξάρτητο γενικευμένο ιδιοδιάνυσμα τάξης 3 (γενικευμένο ιδιοδιάνυσμα τάξης, βλέπε γενικευμένο ιδιοδιάνυσμα), δύο τάξης 2 και τέσσερα τάξης 1 ή ισοδύναμα, μια αλυσίδα τριών διανυσμάτων $\left\{\mathbf {x} _{3},\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{1}\right\}$, μια αλυσίδα δύο διανυσμάτων $\left\{\mathbf {y} _{2},\mathbf {y} _{1}\right\}$, και δύο αλυσίδες ενός διανύσματος $\left\{\mathbf {z} _{1}\right\}$, $\left\{\mathbf {w} _{1}\right\}$.

Ένας "σχεδόν διαγώνιος" πίνακας $J$ σε κανονική μορφή Ζορντάν, παρόμοιος με τον $A$ προκύπτει ως εξής:

$M={\begin{pmatrix}\mathbf {z} _{1}&\mathbf {w} _{1}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {x} _{3}&\mathbf {y} _{1}&\mathbf {y} _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&-1&0&0&-2&1\\0&3&0&0&1&0&0\\-1&1&1&1&0&2&0\\-2&0&-1&0&0&-2&0\\1&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&-1&0&-1&0\end{pmatrix}},$

$J={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0\\0&0&1&1&0&0&0\\0&0&0&1&1&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&1\\0&0&0&0&0&0&1\end{pmatrix}},$

όπου $M$ είναι ένας γενικευμένος τυπικός πίνακας για το $A$, οι στήλες του $M$ είναι μια κανονική βάση για το $A$ και $AM=MJ$. Ας σημειωθεί ότι αφού τα ίδια τα γενικευμένα ιδιοδιανύσματα δεν είναι μοναδικά, και αφού μερικές από τις στήλες τόσο της $M$ όσο και της $J$ μπορούν να εναλλάσσονται, προκύπτει ότι τόσο η $M$ όσο και η $J$ δεν είναι μοναδικές.

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Εσωτερικό γινόμενο
• Αντιερμιτιανός πίνακας
• Πίνακας (μαθηματικά)
• Τριγωνικός πίνακας
• Ερμιτιανός πίνακας
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Συζυγής ανάστροφος πίνακας
• Θεώρημα Κέιλι-Χάμιλτον
• Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form
• Algorithm overview

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix Analysis
• Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
• Integral Matrices
• An Introduction to Computational Physics
• Computer Analysis of Images and Patterns: 9th International Conference, CAIP ...
• Introduction to Aircraft Aeroelasticity and Loads
• Differential Equations
• Rotor Dynamics

Δημοσιεύσεις

• Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf. 
• Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9. 
• Gray, Lawrence F.; Flanigan, Francis J.; Kazdan, Jerry L.; Frank, David H.; Fristedt, Bert (1990), Calculus two: linear and nonlinear functions, Berlin: Springer-Verlag, σελ. 375, ISBN 0-387-97388-5, https://archive.org/details/calculustwolinea00flan/page/375 
• Sylvester, J. (1884). «Sur l'equations en matrices $px=xq$». :C. R. Acad. Sci. Paris 99 (2): 67–71, 115–116. 
• Aldrich, John (2006), «Eigenvalue, eigenfunction, eigenvector, and related terms», στο: Miller, Jeff, επιμ., Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics, https://jeff560.tripod.com/e.html 
• Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (5th έκδοση), New York: Wiley, ISBN 0-471-84819-0 
• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Co., ISBN 0-395-14017-X, https://archive.org/details/firstcourseinlin0000beau 
• Beezer, Robert A. (2006), A first course in linear algebra, Free online book under GNU licence, University of Puget Sound, https://linear.ups.edu/, ανακτήθηκε στις 2024-08-03 

Παραπομπές

• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Co., ISBN 0-395-14017-X, https://archive.org/details/firstcourseinlin0000beau 
• Bronson, Richard (1970), Matrix Methods: An Introduction, New York: Academic Press 
• Nering, Evar D. (1970), Linear Algebra and Matrix Theory (2nd έκδοση), New York: Wiley