Τετραγωνικά ολοκληρώσιμη συνάρτηση

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Ανάλυση
Ταξινόμηση
Dewey 515
MSC2010 46Bxx

Στα μαθηματικά, μία τετραγωνικά ολοκληρώσιμη συνάρτηση είναι μία πραγματικά - ή κατά τμήματα - αποτιμημένη ως μετρήσιμη συνάρτηση για την οποία το ολοκλήρωμα του τετραγώνου της απόλυτης τιμής της είναι πεπερασμένος αριθμός. Έτσι αν,

 \int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 \, dx < \infty,

τότε η ƒ είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμη στην πραγματική γραμμή  (−∞, ∞). Κάποιος μπορεί επίσης να μιλήσει για τετραγωνική ολοκλήρωση σε ορισμένα σύνολα όπως το  [0, 1]. Οι τετραγωνικά ολοκληρώσιμες συναρτήσεις διαμορφώνουν έναν χώρο εσωτερικού γινομένου του οποίου το εσωτερικό γινόμενο δίνεται από

 \langle f, g \rangle = \int_A f(x) \overline{g(x)} \, dx

όπου,

  • g(x) είναι ο συζυγής μιγαδικός του g,
  • A είναι ένα σύνολο στο οποίο κάποιος ολοκληρώνει—στο πρώτο παράδειγμα πάνω, A είναι (−∞, ∞); στο δεύτερο, A είναι [0, 1].

Εφόσον |a|2 = a, η τετραγωνική ολοκληρωσιμότητα είναι το ίδιο σαν να λέμε

 \langle f, f \rangle < \infty. \,

Μπορεί να αποδειχθεί ότι οι τετραγωνικά ολοκληρώσιμες συναρτήσεις αποτελούν έναν ολόκληρο μετρικό χώρο, τον Μπάναχ χώρο (Banach space). Αφού έχουμε επιπλέον την ιδιότητα του εσωτερικού γινομένου, αυτός ο χώρος είναι συγκεκριμένα ένας χώρος Χίλμπερτ (Hilbert space). Αυτός ο χώρος εσωτερικού γινομένου συμβολίζεται συμβατικά  L2. Ο χώρος των τετραγωνικά ολοκληρώσιμων συναρτήσεων είναι ο Lp space όπου p = 2.

Στο λήμμα αυτό έχει ενσωματωθεί κείμενο από το λήμμα Square-integrable function της Αγγλόγλωσσης Βικιπαίδειας, η οποία διανέμεται υπό την GNU FDL και την CC-BY-SA 3.0. (ιστορικό/συντάκτες).