Κλιμακωτή μορφή

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Στην γραμμική άλγεβρα ένας πίνακας είναι σε κλιμακωτή μορφή αν:

  1. Όλες οι μη μηδενικές γραμμές (γραμμές με ένα τουλάχιστον μη μηδενικό στοιχείο) είναι πάνω από τις μηδενικές,
  2. Σε κάθε γραμμή το πρώτο μη μηδενικό στοιχείο είναι ίσο με τη μονάδα (ονομάζεται καθοδηγητική μονάδα) και
  3. Το πρώτο μη μηδενικό στοιχείο κάθε γραμμής (η καθοδηγητική μονάδα) είναι πάντα στοιχισμένο δεξιότερα από το αντίστοιχο πρώτο μη μηδενικό στοιχείο της από πάνω γραμμής.

Ένα παράδειγμα 3x3 πίνακα σε κλιμακωτή μορφή:

Πίνακες αυτής της μορφής συνήθως προκύπτουν από τον αλγόριθμο απαλειφής του Gauss για την επίλυση γραμμικών συστημάτων. Σε πολλά βιβλία, δεν απαιτείται να ισχύει η ιδιότητα 2, αλλά μόνο οι 1 και 3. Δεν απαιτείται δηλαδή το πρώτο μη μηδενικό στοιχείο να είναι ίσο με τη μονάδα[1]. Αν όμως τα πρώτα μη μηδενικά στοιχεία κάθε γραμμής είναι ίσα με την μονάδα τότε το ισοδύναμο σύστημα που προκύπτει από τον αλγόριθμο απαλειφής λύνεται άμεσα με "προς τα πίσω" αντικατάσταση. Αν διαγράψουμε τη συνθήκη 2, τότε και ο παρακάτω πίνακας είναι κλιμακωτός:

Στα παλαιότερα βιβλία[1][2] δεν αναφέρεται κάποιο όνομα για πίνακες αυτού του είδους. Αναφέρονται απλά ως τριγωνικοί πίνακες στους οποίους καταλήγει ο αλγόριθμος απαλειφής.

Ανηγμένη κλιμακωτή μορφή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένας πίνακας είναι σε ανηγμένη κλιμακωτή μορφή αν είναι σε κλιμακωτή μορφή και επιπλέον κάθε καθοδηγγητική μονάδα είναι το μοναδικό μη μηδενικό στοιχείο της στήλης στην οποία ανήκει:


Όπως αναφέρθηκε, οι κλιμακωτοί και οι ανηγμένοι κλιμακωτοί πίνακες εμφανίζονται στον αλγόριθμο απαλοιφής του Gauss που χρησιμοποιείται για την επίλυση γραμμικών συστημάτων, για την εύρεση του αντίστροφου πίνακα, για την εύρεση της τάξης ενός πίνακα και αλλού. Ο αλγόριθμος απαλοιφής μπορεί να μετατρέψει κάθε πίνακα σε κλιμακωτό πίνακα μέσω στοιχειδών μετασχηματισμών.

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. 1,0 1,1 Gantmacher, Felix (2000). Matrix Theory. Rhodes Island: AMS, σελ. 25,34. ISBN 0821813935. 
  2. Χρυσάκης, Θανάσης (1992). Γραμμική Άλγεβρα και Αναλυτική Γεωμετρία. Αθήνα: Αυτοέκδοση, σελ. 53. 

Εξωτερικοί Σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. Σημειώσεις Γραμμικής Άλγεβρας, παν. Αιγαίου
  2. Η μέθοδος απαλοιφής του Gauss (περιγραφή και κώδικας σε python)