Σταθερή καμπύλη

Στην αλγεβρική γεωμετρία, μια σταθερή καμπύλη λέγεται μια αλγεβρική καμπύλη που είναι ασυμπτωτικά σταθερή με την έννοια της γεωμετρικής θεωρίας αναλλοίωτων.

Αυτό ισοδυναμεί με τη συνθήκη ότι είναι μια πλήρης συνδεδεμένη καμπύλη της οποίας οι μόνες ιδιομορφίες είναι συνηθισμένα διπλά σημεία και της οποίας η ομάδα αυτομορφισμού είναι πεπερασμένη. Η προϋπόθεση ότι η ομάδα αυτομορφισμού είναι πεπερασμένη μπορεί να αντικατασταθεί από τη συνθήκη ότι δεν έχει αριθμητικό γένος ένα και ότι κάθε μη-ιδιάζουσα ρητή συνιστώσα συναντά τις άλλες συνιστώσες σε τουλάχιστον 3 σημεία (Ντελίν & Μάμφορντ 1969).

Μια ημι-σταθερή καμπύλη είναι μια καμπύλη που ικανοποιεί παρόμοιες συνθήκες, με τη διαφορά ότι η ομάδα αυτομορφισμού επιτρέπεται να είναι αναγωγική και όχι πεπερασμένη (ή ισοδύναμα η συνδεδεμένη συνιστώσα της μπορεί να είναι ένας τόρος). Εναλλακτικά, η απαίτηση να συναντώνται οι μη-συνδεδεμένες ρητές συνιστώσες με τις άλλες συνιστώσες σε τουλάχιστον τρία σημεία αντικαθίσταται από την απαίτηση να συναντώνται σε τουλάχιστον δύο σημεία.

Αντίστοιχα μια καμπύλη με πεπερασμένο αριθμό σημειωμένων σημείων ονομάζεται σταθερή αν είναι πλήρης, συνδεδεμένη, έχει μόνο συνηθισμένα διπλά σημεία ως ιδιομορφίες και πεπερασμένη ομάδα αυτομορφισμού. Παραδείγματος χάριν, μια ελλειπτική καμπύλη (μια καμπύλη γένους 1 με 1 σημειωμένο σημείο) είναι σταθερή.

Στους μιγαδικούς αριθμούς, μια συνδεδεμένη καμπύλη είναι ευσταθής εάν και μόνο εάν, μετά την αφαίρεση όλων των μοναδικών και σημειωμένων σημείων, τα καθολικά καλύμματα όλων των συνιστωσών της είναι ισομορφικά με τον μοναδιαίο δίσκο.

Ορισμός

Δεδομένου ενός αυθαίρετου σχήματος $S$ και θέτοντας $g\geq 2$ μια σταθερή καμπύλη γένους g πάνω από το $S$ ορίζεται ως ένας κατάλληλος επίπεδος μορφισμός $\pi :C\to S$ έτσι ώστε οι γεωμετρικές ίνες να είναι μειωμένα, συνδεδεμένα μονοδιάστατα σχήματα $C_{s}$ έτσι ώστε

1. $C_{s}$ έχει μόνο συνηθισμένες ιδιομορφίες διπλού σημείου
2. Κάθε ρητή συνιστώσα $E$ συναντά άλλες συνιστώσες σε περισσότερα από $2$ σημεία
3. $\dim H^{1}({\mathcal {O}}_{C_{s}})=g$

Αυτές οι τεχνικές προϋποθέσεις είναι απαραίτητες διότι (1) μειώνουν την τεχνική πολυπλοκότητα (επίσης η θεωρία Πικάρντ-Λέφσετζ μπορεί να χρησιμοποιηθεί εδώ), (2) αυστηροποιούν τις καμπύλες έτσι ώστε να μην υπάρχουν απειροελάχιστοι αυτομορφισμοί της στοίβας moduli που κατασκευάζονται αργότερα, και (3) εγγυώνται ότι το αριθμητικό γένος κάθε ίνας είναι το ίδιο. Σημειώστε ότι για το (1) οι τύποι ιδιομορφιών που συναντώνται στις ελλειπτικές επιφάνειες μπορούν να ταξινομηθούν πλήρως.

Παραδείγματα

Ένα κλασικό παράδειγμα οικογένειας σταθερών καμπυλών είναι η οικογένεια καμπυλών Βάιερστρας

${\begin{matrix}\operatorname {Proj} \left({\frac {\mathbb {Q} [t][x,y,z]}{(y^{2}z-x(x-z)(x-tz)}}\right)\\\downarrow \\\operatorname {Spec} (\mathbb {Q} [t])\end{matrix}}$

όπου οι ίνες πάνω από κάθε σημείο $\neq 0,1$ είναι ομαλές και τα εκφυλισμένα σημεία έχουν μόνο μία ιδιομορφία διπλού σημείου. Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γενικευτεί στην περίπτωση μιας μονοπαραμετρικής οικογένειας λείων υπερελιπτικών καμπυλών που εκφυλίζονται σε πεπερασμένα σημεία.

Μη παραδείγματα

Στη γενική περίπτωση όπου υπάρχουν μία ή περισσότερες παράμετροι, πρέπει να ληφθεί μέριμνα για την εξάλειψη καμπυλών με ιδιομορφίες χειρότερες από ιδιομορφίες δύο σημείων. Παραδείγματος χάριν, ας θεωρήσουμε την ομάδα στο $\mathbb {A} _{s,t}^{2}$ που κατασκευάζεται από πολυώνυμα

$y^{2}=x(x-s)(x-t)(x-1)(x-2)$

αφού κατά μήκος της διαγωνίου $s=t$ υπάρχουν μη διπλές ιδιομορφίες. Ένα άλλο μη-παράδειγμα είναι η οικογένεια πάνω από

$\mathbb {A} _{t}^{1}$ που προκύπτουν από τα πολυώνυμα

$x^{3}-y^{2}+t$

οι οποίες είναι μια οικογένεια ελλειπτικών καμπυλών που εκφυλίζονται σε μια ρητή καμπύλη με μια κορυφή.

Ιδιότητες

Μια από τις πιο σημαντικές ιδιότητες των σταθερών καμπυλών είναι το γεγονός ότι είναι τοπικές πλήρεις τομές. Αυτό σημαίνει ότι μπορεί να χρησιμοποιηθεί η τυπική θεωρία της δυαδικότητας Σερ. Αναλυτικότερα, μπορεί να αποδειχθεί ότι για κάθε σταθερή καμπύλη ω $\omega _{C/S}^{\otimes 3}$ είναι μια σχετικά πολύ άφθονη δέσμη- μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την ενσωμάτωση της καμπύλης στο $\mathbb {P} _{S}^{5g-6}$. Χρησιμοποιώντας την τυπική θεωρία του σχήματος Χίλμπερτ μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα moduli σχήμα καμπυλών γένους $g$ ενσωματωμένο σε κάποιο προβολικό χώρο. Το πολυώνυμο Χίλμπερτ δίνεται από τη σχέση

$P_{g}(n)=(6n-1)(g-1)$

Υπάρχει μια υποκλάση σταθερών καμπυλών που περιέχεται στο σχήμα Χίλμπερτ

$H_{g}\subset {\textbf {Hilb}}_{\mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{5g-6}}^{P_{g}}$

Αυτό αντιπροσωπεύει τον συναρτητή

${\mathcal {H}}_{g}(S)\cong \left.\left\{{\begin{matrix}&{\text{stable curves }}\pi :C\to S\\&{\text{ with an iso }}\\&\mathbb {P} (\pi _{*}(\omega _{C/S}^{\otimes 3}))\cong \mathbb {P} ^{5g-6}\times S\end{matrix}}\right\}{\Bigg /}{\sim }\right.\cong \operatorname {Hom} (S,H_{g})$

όπου $\sim$ είναι ισομορφισμοί σταθερών καμπυλών. Για να γίνει αυτός ο χώρος moduli των καμπυλών χωρίς να λαμβάνεται υπόψιν η ενσωμάτωση (η οποία κωδικοποιείται από τον ισομορφισμό των προβολικών χώρων) πρέπει να κάνουμε mod out με $PGL(5g-6)$. Αυτό μας δίνει τη στοίβα moduli

${\mathcal {M}}_{g}:=[{\underline {H}}_{g}/{\underline {PGL}}(5g-6)]$

Βιβλιογραφία

• Artin, M.; Winters, G. (1971-11-01). "Degenerate fibres and stable reduction of curves". Topology. 10 (4): 373–383. doi:10.1016/0040-9383(71)90028-0. ISSN 0040-9383.
• Deligne, Pierre; Mumford, David (1969), «The irreducibility of the space of curves of given genus», Publications Mathématiques de l'IHÉS 36 (36): 75–109, doi:10.1007/BF02684599, http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1969__36__75_0 
• Gieseker, D. (1982), Lectures on moduli of curves, Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics and Physics, 69, Published for the Tata Institute of Fundamental Research, Bombay, ISBN 978-3-540-11953-1, http://www.math.tifr.res.in/~publ/ln/tifr69.pdf 
• Harris, Joe; Morrison, Ian (1998), Moduli of curves, Graduate Texts in Mathematics, 187, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98429-2 

Δείτε επίσης

• Degenerate fibres and stable reduction of curves

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο