Πυθαγόρεια τετράδα

Μια πυθαγόρεια τετράδα είναι μια πλειάδα ακεραίων αριθμών $a$ , $b$ , $c$ και $d$ , τέτοια ώστε $a 2 + b 2 + c 2 = d 2$ . Αποτελούν λύσεις σε μια διοφαντική εξίσωση και συχνά λαμβάνονται υπόψη μόνο θετικές ακέραιες τιμές^[1]. Ωστόσο, για να δοθεί μια πιο πλήρης γεωμετρική ερμηνεία, οι ακέραιες τιμές μπορούν να είναι αρνητικές και μηδενικές (επιτρέποντας έτσι να συμπεριληφθούν πυθαγόρειες τριάδες) με μόνη προϋπόθεση ότι $d > 0$ . Σε αυτό το πλαίσιο, μια πυθαγόρεια τετράδα $(a, b, c, d)$ ορίζει ένα κυβοειδές με ακέραια μήκη πλευρών $| a |$ , $| b |$ , και $| c |$ , του οποίου η διαγώνιος του χώρου έχει ακέραιο μήκος d. Με αυτή την ερμηνεία, οι πυθαγόρειες τετράδες ονομάζονται επίσης πυθαγόρεια κουτιά.^[2] Σε αυτό το λήμμα θα υποθέσουμε, εκτός αν αναφέρεται διαφορετικά, ότι οι τιμές μιας πυθαγόρειας τετράδας αποτελούνται από θετικούς ακέραιους αριθμούς.

Παραμετροποίηση πρωτόγονων τετράδων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μια πυθαγόρεια τετράδα ονομάζεται πρωταρχική αν ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των καταχωρίσεών της είναι 1. Κάθε πυθαγόρεια τετράδα είναι ακέραιο πολλαπλάσιο μιας πρωταρχικής τετράδας. Το σύνολο των πρωταρχικών πυθαγόρειων τετράδων για τις οποίες το $a$ είναι περιττό μπορεί να παραχθεί από τους τύπους

${\begin{aligned}a&=m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2},\\b&=2(mq+np),\\c&=2(nq-mp),\\d&=m^{2}+n^{2}+p^{2}+q^{2},\end{aligned}}$

όπου $m$ , $n$ , $p$ , $q$ είναι μη αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί με μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη 1 τέτοιο ώστε $m + n + p + q$ να είναι περιττός.^[3]^[4]^[1] Έτσι, όλες οι πρωταρχικές πυθαγόρειες τετράδες χαρακτηρίζονται από την ταυτότητα $(m^{2}+n^{2}+p^{2}+q^{2})^{2}=(2mq+2np)^{2}+(2nq-2mp)^{2}+(m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2})^{2}.$

Εναλλακτική παραμετροποίηση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Όλες οι πυθαγόρειες τετράδες ( μαζί με τις μη πρωταρχικές και με επανάληψη, αν και τα $a$ , $b$ και $c$ δεν εμφανίζονται σε όλες τις δυνατές σειρές) μπορούν να παραχθούν από δύο θετικούς ακέραιους $a$ και $b$ ως εξής:

Αν $a$ και $b$ έχουν διαφορετική ισοτιμία, έστω $p$ οποιοσδήποτε παράγοντας του $a 2 + b 2$ τέτοιος ώστε $p 2 < a 2 + b 2$ . Τότε $c = a 2 + b 2 - p 2 / 2 p$ και $d = a 2 + b 2 + p 2 / 2 p$ . Ας σημειωθεί ότι $p' = d - c$ (η μέθοδος αυτή βασίζεται σε αποτελέσματα που προέκυψαν για τις πυθαγόρειες τριάδες ^[5]).

Η ίδια μέθοδος ισχύει^[5] για την παραγωγή όλων των πυθαγόρειων τετράδων για τις οποίες $a$ και $b$ είναι και οι δύο ζυγοί. Έστω $l = a / 2$ και $m = b / 2$ και έστω $n$ ένας παράγοντας του $l 2 + m 2$ τέτοιος ώστε $n 2 < l 2 + m 2$ . Τότε $c = l 2 + m 2 - n 2 / n$ και $d = l 2 + m 2 + n 2 / n$ . Αυτή η μέθοδος παράγει όλες τις πυθαγόρειες τετράδες ακριβώς μία φορά για κάθε μία, όταν τα $l$ και $m$ διατρέχουν όλα τα ζεύγη φυσικών αριθμών και η $n$ διατρέχει όλες τις επιτρεπτές τιμές για κάθε ζεύγος.

Δεν υπάρχει τέτοια μέθοδος αν και οι δύο $a$ και $b$ είναι μονές, οπότε δεν υπάρχουν λύσεις, όπως φαίνεται από την παραμετροποίηση στην προηγούμενη ενότητα.

Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο μεγαλύτερος αριθμός που διαιρεί πάντα το γινόμενο $abcd$ είναι το 12.^[6] Η τετράδα με το ελάχιστο γινόμενο είναι η (1, 2, 2, 2, 3).

Δεδομένου μιας πυθαγόρειας τετράδας $(a,b,c,d)$ όπου $d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}$ τότε το $d$ μπορεί να οριστεί ως η νόρμα της τετράδας με την έννοια ότι $d={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$ και είναι ανάλογο με την υποτείνουσα μιας πυθαγόρειας τριάδας.

Κάθε περιττός θετικός αριθμός εκτός από το 1 και το 5 μπορεί να είναι η νόρμα μιας πρωταρχικής πυθαγόρειας τετράδας $d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}$ έτσι ώστε $a,b,c$ να είναι μεγαλύτεροι από το μηδέν και να είναι πρώτοι προς αλλήλους .^[7]^[8] Όλες οι πρωτόγονες πυθαγόρειες τετράδες με τους περιττούς αριθμούς ως νόρμες μέχρι το 29 εκτός από το 1 και το 5 δίνονται στον παρακάτω πίνακα.

Παρόμοια με μια πυθαγόρεια τριάδα που δημιουργεί ένα ξεχωριστό ορθογώνιο τρίγωνο, μια πυθαγόρεια τετράδα θα δημιουργήσει ένα ξεχωριστό τρίγωνο του Ήρωνα ^[9] Αν τα a, b, c, d είναι μια πυθαγόρεια τετράδα με ${\textstyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=d^{2}}$ θα δημιουργήσει ένα τρίγωνο του Ήρωνα με πλευρές x, y, z ως εξής:-

x=d^{2}-a^{2}

y=d^{2}-b^{2}

z=d^{2}-c^{2}

.

Θα έχει ημιπερίμετρο ${\textstyle s=d^{2}}$ , εμβαδόν ${\textstyle A=abcd}$ και ακτίνα ${\textstyle r=abc/d}$ .

Το exradii θα είναι:-

{\textstyle r_{x}=bcd/a}

{\textstyle r_{y}=acd/b}

{\textstyle r_{z}=abd/c}

.

Η ακτίνα περιφέρειας θα είναι

{\textstyle R=(d^{2}-a^{2})(d^{2}-b^{2})(d^{2}-c^{2})/(4abcd)=abcd(1/a^{2}+1/b^{2}+1/c^{2}-1/d^{2})/4}

.

Η διατεταγμένη ακολουθία των εμβαδών αυτής της κατηγορίας τριγώνων του Ήρωνα μπορεί να βρεθεί στη διεύθυνση (ακολουθία A367737 στην OEIS).

Σχέση με τα τετραδόνια και τους ορθολογικούς ορθογώνιους πίνακες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μία πρωταρχική πυθαγόρεια τετράδα $(a, b, c, d)$ παραμετροποιείται από $(m, n, p, q)$ αντιστοιχεί στην πρώτη στήλη της αναπαράστασης του πίνακα $E (α)$ της σύζευξης $α (\cdot) α$ με το τετραδόνιο Χούρβιτς $α' = m + ni + pj + qk$ που περιορίζεται στον υποχώρο των τετραδονίων που καλύπτεται από τα $i$ , $j$ , $k$ , που προκύπτει από τη σχέση

E(\alpha )={\begin{pmatrix}m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2}&2np-2mq&2mp+2nq\\2mq+2np&m^{2}-n^{2}+p^{2}-q^{2}&2pq-2mn\\2nq-2mp&2mn+2pq&m^{2}-n^{2}-p^{2}+q^{2}\\\end{pmatrix}},

όπου οι στήλες είναι κατά ζεύγη ορθογώνιες και κάθε μία έχει νόρμα $d$ . Επιπλέον, ισχύει ότι το ${1 / d E (α)$ ανήκει στην ορθογώνια ομάδα $SO(3,\mathbb {Q} )$ , και, στην πραγματικότητα, όλοι οι 3 × 3 ορθογώνιοι πίνακες με ρητούς συντελεστές προκύπτουν με αυτόν τον τρόπο.^[10]

Πρωτογενή πυθαγόρεια τετράδα με μικρή νόρμα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Υπάρχουν 31 πρωταρχικές πυθαγόρειες τετράδες στις οποίες όλες οι καταχωρήσεις είναι μικρότερες από 30.

(	1	,	2	,	2	,	3	)	(	2	,	10	,	11	,	15	)	(	4	,	13	,	16	,	21	)	(	2	,	10	,	25	,	27	)
(	2	,	3	,	6	,	7	)	(	1	,	12	,	12	,	17	)	(	8	,	11	,	16	,	21	)	(	2	,	14	,	23	,	27	)
(	1	,	4	,	8	,	9	)	(	8	,	9	,	12	,	17	)	(	3	,	6	,	22	,	23	)	(	7	,	14	,	22	,	27	)
(	4	,	4	,	7	,	9	)	(	1	,	6	,	18	,	19	)	(	3	,	14	,	18	,	23	)	(	10	,	10	,	23	,	27	)
(	2	,	6	,	9	,	11	)	(	6	,	6	,	17	,	19	)	(	6	,	13	,	18	,	23	)	(	3	,	16	,	24	,	29	)
(	6	,	6	,	7	,	11	)	(	6	,	10	,	15	,	19	)	(	9	,	12	,	20	,	25	)	(	11	,	12	,	24	,	29	)
(	3	,	4	,	12	,	13	)	(	4	,	5	,	20	,	21	)	(	12	,	15	,	16	,	25	)	(	12	,	16	,	21	,	29	)
(	2	,	5	,	14	,	15	)	(	4	,	8	,	19	,	21	)	(	2	,	7	,	26	,	27	)

Δημοσιεύσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Section 0.4 of Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 4. doi:10.1007/bf02684778. MR 0217083.
Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
A. Bondal, D. Orlov, Semi-orthogonal decomposition for algebraic varieties_, PreprintMPI/95–15, alg-geom/9506006
CRC Concise Encyclopedia of Mathematics
Nuggets of Number Theory: A Visual Approach
Elements of the Theory of Numbers
Number Treasury 3: Investigations, Facts And Conjectures About More Than 100...

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

↑ ^1,0 ^1,1 R. Spira, The diophantine equation $x 2 + y 2 + z 2 = m 2$ , Amer. Math. Monthly Vol. 69 (1962), No. 5, 360–365.
↑ R. A. Beauregard and E. R. Suryanarayan, Pythagorean boxes, Math. Magazine 74 (2001), 222–227.
↑ R.D. Carmichael, Diophantine Analysis, New York: John Wiley & Sons, 1915.
↑ L.E. Dickson, Some relations between the theory of numbers and other branches of mathematics, in Villat (Henri), ed., Conférence générale, Comptes rendus du Congrès international des mathématiciens, Strasbourg, Toulouse, 1921, pp. 41–56; reprint Nendeln/Liechtenstein: Kraus Reprint Limited, 1967; Collected Works 2, pp. 579–594.
↑ ^5,0 ^5,1 Amato, Roberto, A characterization of Pythagorean triples, JP Journal of Algebra, Number Theory and Applications 39 (2) (2017), 221-230.
↑ MacHale, Des, and van den Bosch, Christian, «Generalising a result about Pythagorean triples», Mathematical Gazette' 96, March 2012, pp. 91-96.
↑ «4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ». ebooks.edu.gr. Ανακτήθηκε στις 8 Ιουνίου 2024.
↑ «OEIS A005818». The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
↑ «OEIS A367737». The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
↑ J. Cremona, Letter to the Editor, Amer. Math. Monthly 94 (1987), 757–758.

[Spira-1] 1,0 ^1,1 R. Spira, The diophantine equation $x 2 + y 2 + z 2 = m 2$ , Amer. Math. Monthly Vol. 69 (1962), No. 5, 360–365.

[2] R. A. Beauregard and E. R. Suryanarayan, Pythagorean boxes, Math. Magazine 74 (2001), 222–227.

[3] R.D. Carmichael, Diophantine Analysis, New York: John Wiley & Sons, 1915.

[4] L.E. Dickson, Some relations between the theory of numbers and other branches of mathematics, in Villat (Henri), ed., Conférence générale, Comptes rendus du Congrès international des mathématiciens, Strasbourg, Toulouse, 1921, pp. 41–56; reprint Nendeln/Liechtenstein: Kraus Reprint Limited, 1967; Collected Works 2, pp. 579–594.

[Amato-5] 5,0 ^5,1 Amato, Roberto, A characterization of Pythagorean triples, JP Journal of Algebra, Number Theory and Applications 39 (2) (2017), 221-230.

[6] MacHale, Des, and van den Bosch, Christian, «Generalising a result about Pythagorean triples», Mathematical Gazette' 96, March 2012, pp. 91-96.

[7] «4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ». ebooks.edu.gr. Ανακτήθηκε στις 8 Ιουνίου 2024.

[8] «OEIS A005818». The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.

[9] «OEIS A367737». The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.

[10] J. Cremona, Letter to the Editor, Amer. Math. Monthly 94 (1987), 757–758.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]