Πτήση του Λεβί

Μια πτήση του Λεβί είναι ένας τυχαίος περίπατος στον οποίο τα μήκη των βημάτων έχουν μια σταθερή κατανομή^[1], μια κατανομή πιθανοτήτων με βαριά ουρά. Όταν ορίζεται ως περίπατος σε χώρο διάστασης μεγαλύτερης της μονάδας, τα βήματα που γίνονται είναι σε ισότροπες τυχαίες κατευθύνσεις. Στη συνέχεια, οι ερευνητές επέκτειναν τη χρήση του όρου "πτήση του Λεβί" σε περιπτώσεις όπου ο τυχαίος περίπατος λαμβάνει χώρα σε ένα διακριτό πλέγμα και όχι σε έναν συνεχή χώρο^[2].

Ο όρος "πτήση του Λεβί" επινοήθηκε από τον Μπενουά Μάντελμπροτ^[3], ο οποίος τον χρησιμοποίησε για έναν ειδικό ορισμό της κατανομής των μεγεθών των βημάτων. Χρησιμοποίησε τον όρο "πτήση του Κωσύ" για την περίπτωση που η κατανομή των μεγεθών βημάτων είναι κατανομή Κωσύ^[4] και τον όρο "πτήση του Ρέιλεϊ" για την περίπτωση που η κατανομή είναι κανονική κατανομή^[5] (η οποία δεν αποτελεί παράδειγμα κατανομής πιθανοτήτων με βαριά ουρά).

Η ειδική περίπτωση για την οποία ο Μάντελμπροτ χρησιμοποίησε τον όρο "πτήση του Λεβί"^[3] ορίζεται από τη συνάρτηση επιβίωσης της κατανομής μεγέθους βήματος, U, η οποία είναι^[6]

\Pr(U>u)={\begin{cases}1&:\ u<1,\\u^{-D}&:\ u\geq 1.\end{cases}}

Εδώ το D είναι μια παράμετρος που σχετίζεται με την μορφοκλασματική διάσταση και η κατανομή είναι μια ειδική περίπτωση της κατανομής Παρέτο.

Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι πτήσεις του Λεβί είναι, βάσει κατασκευής, διαδικασίες Μαρκόφ. Για γενικές κατανομές του μεγέθους του βήματος, που ικανοποιούν τη συνθήκη ισχύος, η απόσταση από την αρχή του τυχαίου περιπάτου τείνει, μετά από μεγάλο αριθμό βημάτων, προς μια σταθερή κατανομή λόγω του γενικευμένου κεντρικού οριακού θεωρήματος, το οποίο επιτρέπει τη μοντελοποίηση πολλών διαδικασιών με τη χρήση των πτήσεων του Λεβί.^[7]^[8]

Οι πυκνότητες πιθανότητας των σωματιδίων που εκτελούν πτήσεις του Λεβί μπορούν να διαμορφωθούν χρησιμοποιώντας μια γενικευμένη εκδοχή της εξίσωσης Φόκερ-Πλανκ, η οποία χρησιμοποιείται γενικά για τη μοντελοποίηση της κίνησης Μπράουν. Η εξίσωση απαιτεί τη χρήση κλασματικών παραγώγων. Για μήκη άλματος που έχουν συμμετρική κατανομή πιθανοτήτων, η εξίσωση παίρνει μια απλή μορφή ως προς την κλασματική παράγωγο Riesz. Σε μία διάσταση, η εξίσωση έχει ως εξής

{\frac {\partial \varphi (x,t)}{\partial t}}=-{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\varphi (x,t)+\gamma {\frac {\partial ^{\alpha }\varphi (x,t)}{\partial |x|^{\alpha }}}

όπου γ είναι μια σταθερά που σχετίζεται με τη σταθερά διάχυσης, α είναι η παράμετρος σταθερότητας και f(x,t) είναι το δυναμικό. Η παράγωγος Riesz μπορεί να γίνει κατανοητή από την άποψη του μετασχηματισμού Φουριέ.

F_{k}\left[{\frac {\partial ^{\alpha }\varphi (x,t)}{\partial |x|^{\alpha }}}\right]=-|k|^{\alpha }F_{k}[\varphi (x,t)]

Αυτό μπορεί εύκολα να επεκταθεί σε πολλαπλές διαστάσεις.

Μια άλλη σημαντική ιδιότητα της πτήσης του Λεβί είναι αυτή της αποκλίνουσας διακύμανσης σε όλες τις περιπτώσεις εκτός από εκείνη του α = 2, δηλαδή της κίνησης Μπράουν. Γενικά, η κλασματική ροπή θ της κατανομής αποκλίνει εάν α ≤ θ. Επίσης,

\left\langle |x|^{\theta }\right\rangle \propto t^{\theta /\alpha }\quad {\text{if }}\theta <\alpha .

Η εκθετική κλιμάκωση του μήκους των βημάτων δίνει στις πτήσεις του Λεβί μια αναλλοίωτη στην κλίμακα ιδιότητα και χρησιμοποιούνται για τη μοντελοποίηση δεδομένων που παρουσιάζουν ομαδοποίηση.

Είκονα 1. Ένα παράδειγμα 1000 βημάτων μιας πτήσης του Λεβί σε δύο διαστάσεις. Η αρχή της κίνησης βρίσκεται στο [0,0], η γωνιακή κατεύθυνση είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη και το μέγεθος του βήματος κατανέμεται σύμφωνα με μια κατανομή του Λεβί (δηλαδή σταθερή) με α = 1 και β = 0 η οποία είναι μια κατανομή Κωσύ. Σημειώστε την παρουσία μεγάλων αλμάτων στη θέση σε σύγκριση με την κίνηση Μπράουν που απεικονίζεται στην Εικόνα 2.

Είκονα 2. Ένα παράδειγμα 1000 βημάτων προσέγγισης μιας πτήσης τύπου κίνησης Μπράουν του Λεβί σε δύο διαστάσεις. Η αρχή της κίνησης βρίσκεται στο [0, 0], η γωνιακή κατεύθυνση είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη και το μέγεθος του βήματος κατανέμεται σύμφωνα με μια κατανομή Lévy (δηλαδή σταθερή) με α = 2 και β = 0 (*δηλαδή,* μια κανονική κατανομή).

Εφαρμογές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο ορισμός της πτήσης του Λεβί προέρχεται από τα μαθηματικά που σχετίζονται με τη θεωρία του χάους και είναι χρήσιμος σε στοχαστικές μετρήσεις και προσομοιώσεις τυχαίων ή ψευδοτυχαίων φυσικών φαινομένων. Ως παραδείγματα αναφέρονται η ανάλυση δεδομένων σεισμών, τα χρηματοοικονομικά μαθηματικά, η κρυπτογραφία, η ανάλυση σημάτων και πολλές εφαρμογές στην αστρονομία, τη βιολογία και τη φυσική.

Διαπιστώθηκε ότι το άλμα μεταξύ των κλιματικών καταστάσεων που παρατηρείται στο αρχείο του παλαιοκλίματος μπορεί να περιγραφεί ως μια πτήση του Λεβί ή μια άλφα-σταθερή διαδικασία^[9]. Όταν οι καρχαρίες και άλλα αρπακτικά των ωκεανών δεν μπορούν να βρουν τροφή, εγκαταλείπουν την κίνηση Μπράουν, την τυχαία κίνηση που παρατηρείται στα στροβιλιζόμενα μόρια αερίων, για την πτήση του Λεβί - ένα μείγμα μακρών τροχιών και σύντομων, τυχαίων κινήσεων που συναντάται στα τυρβώδη ρευστά. Οι ερευνητές ανέλυσαν περισσότερες από 12 εκατομμύρια κινήσεις που καταγράφηκαν σε διάστημα 5.700 ημερών σε 55 ζώα που είχαν σημανθεί με συσκευές καταγραφής δεδομένων και ανήκαν σε 14 είδη ωκεάνιων θηρευτών στον Ατλαντικό και τον Ειρηνικό Ωκεανό, όπως λείοι καρχαρίες, κιτρινόπτεροι τόνοι, μπλε μαρλίν και ξιφίες. Τα δεδομένα έδειξαν ότι οι πτήσεις του Λεβί, διάσπαρτες με κινήσεις Μπράουν, μπορούν να περιγράψουν τα πρότυπα κυνηγιού των ζώων^[10]^[11]^[12]^[13]. Τα πουλιά και άλλα ζώα (συμπεριλαμβανομένων των ανθρώπων)^[14] ακολουθούν τροχιές που έχουν μοντελοποιηθεί με τη χρήση πτήσεων του Λεβί ( παραδείγματος χάριν, κατά την αναζήτηση τροφής)^[15]. Τα βιολογικά δεδομένα πτήσεων μπορούν επίσης προφανώς να μιμηθούν από άλλα υποδείγματα, όπως οι σύνθετοι συσχετισμένοι τυχαίοι περίπατοι, οι οποίοι αναπτύσσονται μέσω κλιμάκων για να συγκλίνουν στους βέλτιστους περιπάτους του Λεβί^[15]. [Οι σύνθετοι περιπάτοι του Μπράουν μπορούν να συντονιστούν λεπτομερώς σε θεωρητικά βέλτιστους περιπάτους του Λεβί, αλλά δεν είναι τόσο αποτελεσματικοί όσο η αναζήτηση του Λεβί στους περισσότερους τύπους τοπίου, γεγονός που υποδηλώνει ότι η πίεση επιλογής για χαρακτηριστικά περιπάτου του Λεβί είναι πιο πιθανή από τα κανονικά μοντέλα διάχυσης πολλαπλών κλιμάκων^[16].

Η αποτελεσματική δρομολόγηση σε ένα δίκτυο μπορεί να επιτευχθεί με συνδέσμους που έχουν κατανομή μήκους πτήσης του Λεβί με συγκεκριμένες τιμές άλφα ^[2].

Δημοσιεύσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Cheng, Z.; Savit, R. (1987). «Fractal and nonfractal behavior in Levy flights». Journal of Mathematical Physics 28 (3): 592. doi:10.1063/1.527644. Bibcode: 1987JMP....28..592C. https://deepblue.lib.umich.edu/bitstream/2027.42/70735/2/JMAPAQ-28-3-592-1.pdf.
Shlesinger, Michael F.; Klafter, Joseph; Zumofen, Gert (December 1999). «Above, below and beyond Brownian motion». American Journal of Physics 67 (12): 1253–1259. doi:10.1119/1.19112. Bibcode: 1999AmJPh..67.1253S. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2012-03-28. https://web.archive.org/web/20120328105732/http://caos.fs.usb.ve/~srojas/Teaching/USB/MC_Intro/MC_readings_a/MC_a4_brownian_1.pdf. Ανακτήθηκε στις 2023-11-13.
Benoît Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature, 1982, W.H. Freeman, New York, ISBN 0-7167-1186-9, 978-0716711865

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

↑ Chechkin, Alexei V.· Metzler, Ralf· Klafter, Joseph· Gonchar, Vsevolod Yu. (2008). «Introduction to the Theory of Lévy Flights». Anomalous Transport. σελίδες 129–162. doi:10.1002/9783527622979.ch5. ISBN 9783527622979.
↑ ^2,0 ^2,1 Kleinberg, Jon M. (2000-08). «Navigation in a small world» (στα αγγλικά). Nature 406 (6798): 845–845. doi:10.1038/35022643. ISSN 1476-4687. https://www.nature.com/articles/35022643.
↑ ^3,0 ^3,1 Mandelbrot (1982, p. 289)
↑ Mandelbrot (1982, p. 290)
↑ Mandelbrot (1982, p. 288)
↑ Mandelbrot (1982, p. 294)
↑ Kalmykov, Yuri P.· Coffey, William T. (30 Ιουνίου 2006). Fractals, Diffusion, and Relaxation in Disordered Complex Systems, Volume 133, Part B. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-72508-4.
↑ Ibe, Oliver C. (23 Σεπτεμβρίου 2013). Elements of Random Walk and Diffusion Processes. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-61809-7.
↑ P. D. Ditlevsen, "Observation of alpha-stable noise and a bistable climate potential in an ice-core record", Geophys. Res. Lett 26, 1441-1444, 1999.
↑ Sims, David W.; Southall, Emily J.; Humphries, Nicolas E.; Hays, Graeme C.; Bradshaw, Corey J. A.; Pitchford, Jonathan W.; James, Alex; Ahmed, Mohammed Z. και άλλοι. (2008). «Scaling laws of marine predator search behaviour». Nature 451 (7182): 1098–1102. doi:10.1038/nature06518. PMID 18305542. Bibcode: 2008Natur.451.1098S.
↑ Humphries, Nicolas E.; Queiroz, Nuno; Dyer, Jennifer R. M.; Pade, Nicolas G.; Musyl, Michael K.; Schaefer, Kurt M.; Fuller, Daniel W.; Brunnschweiler, Juerg M. και άλλοι. (2010). «Environmental context explains Lévy and Brownian movement patterns of marine predators». Nature 465 (7301): 1066–1069. doi:10.1038/nature09116. PMID 20531470. Bibcode: 2010Natur.465.1066H. http://plymsea.ac.uk/6189/1/nature09116.pdf.
↑ Witze, Alexandra. «Sharks Have Math Skills». discovery.com. Ανακτήθηκε στις 22 Φεβρουαρίου 2013.
↑ Dacey, James (11 Ιουνίου 2010). «Sharks hunt via Lévy flights». physicsworld.com. Ανακτήθηκε στις 22 Φεβρουαρίου 2013.
↑ Reynolds, Gretchen (1 Ιανουαρίου 2014). «Navigating Our World Like Birds and some authors have claimed that the motion of bees». The New York Times.
↑ ^15,0 ^15,1 Sims, David W.; Reynolds, Andrew M.; Humphries, Nicholas E.; Southall, Emily J.; Wearmouth, Victoria J.; Metcalfe, Brett; Twitchett, Richard J. (July 29, 2014). «Hierarchical random walks in trace fossils and the origin of optimal search behavior» (στα αγγλικά). Proceedings of the National Academy of Sciences 111 (30): 11073–11078. doi:10.1073/pnas.1405966111. ISSN 0027-8424. PMID 25024221. Bibcode: 2014PNAS..11111073S.
↑ Humphries, N.E.; Sims, D.W. (2014). «Optimal foraging strategies: Lévy walks balance searching and patch exploitation under a very broad range of conditions». Journal of Theoretical Biology 358: 179–193. doi:10.1016/j.jtbi.2014.05.032. PMID 24882791. Bibcode: 2014JThBi.358..179H. http://plymsea.ac.uk/6191/1/Humphries_LF-simulations_JTB.pdf.

[1] Chechkin, Alexei V.· Metzler, Ralf· Klafter, Joseph· Gonchar, Vsevolod Yu. (2008). «Introduction to the Theory of Lévy Flights». Anomalous Transport. σελίδες 129–162. doi:10.1002/9783527622979.ch5. ISBN 9783527622979.

[Kleinberg-2] 2,0 ^2,1 Kleinberg, Jon M. (2000-08). «Navigation in a small world» (στα αγγλικά). Nature 406 (6798): 845–845. doi:10.1038/35022643. ISSN 1476-4687. https://www.nature.com/articles/35022643.

[D1-3] 3,0 ^3,1 Mandelbrot (1982, p. 289)

[4] Mandelbrot (1982, p. 290)

[5] Mandelbrot (1982, p. 288)

[6] Mandelbrot (1982, p. 294)

[7] Kalmykov, Yuri P.· Coffey, William T. (30 Ιουνίου 2006). Fractals, Diffusion, and Relaxation in Disordered Complex Systems, Volume 133, Part B. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-72508-4.

[8] Ibe, Oliver C. (23 Σεπτεμβρίου 2013). Elements of Random Walk and Diffusion Processes. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-61809-7.

[9] P. D. Ditlevsen, "Observation of alpha-stable noise and a bistable climate potential in an ice-core record", Geophys. Res. Lett 26, 1441-1444, 1999.

[10] Sims, David W.; Southall, Emily J.; Humphries, Nicolas E.; Hays, Graeme C.; Bradshaw, Corey J. A.; Pitchford, Jonathan W.; James, Alex; Ahmed, Mohammed Z. και άλλοι. (2008). «Scaling laws of marine predator search behaviour». Nature 451 (7182): 1098–1102. doi:10.1038/nature06518. PMID 18305542. Bibcode: 2008Natur.451.1098S.

[autogenerated1-11] Humphries, Nicolas E.; Queiroz, Nuno; Dyer, Jennifer R. M.; Pade, Nicolas G.; Musyl, Michael K.; Schaefer, Kurt M.; Fuller, Daniel W.; Brunnschweiler, Juerg M. και άλλοι. (2010). «Environmental context explains Lévy and Brownian movement patterns of marine predators». Nature 465 (7301): 1066–1069. doi:10.1038/nature09116. PMID 20531470. Bibcode: 2010Natur.465.1066H. http://plymsea.ac.uk/6189/1/nature09116.pdf.

[12] Witze, Alexandra. «Sharks Have Math Skills». discovery.com. Ανακτήθηκε στις 22 Φεβρουαρίου 2013.

[13] Dacey, James (11 Ιουνίου 2010). «Sharks hunt via Lévy flights». physicsworld.com. Ανακτήθηκε στις 22 Φεβρουαρίου 2013.

[14] Reynolds, Gretchen (1 Ιανουαρίου 2014). «Navigating Our World Like Birds and some authors have claimed that the motion of bees». The New York Times.

[Sims-etal-2014-15] 15,0 ^15,1 Sims, David W.; Reynolds, Andrew M.; Humphries, Nicholas E.; Southall, Emily J.; Wearmouth, Victoria J.; Metcalfe, Brett; Twitchett, Richard J. (July 29, 2014). «Hierarchical random walks in trace fossils and the origin of optimal search behavior» (στα αγγλικά). Proceedings of the National Academy of Sciences 111 (30): 11073–11078. doi:10.1073/pnas.1405966111. ISSN 0027-8424. PMID 25024221. Bibcode: 2014PNAS..11111073S.

[16] Humphries, N.E.; Sims, D.W. (2014). «Optimal foraging strategies: Lévy walks balance searching and patch exploitation under a very broad range of conditions». Journal of Theoretical Biology 358: 179–193. doi:10.1016/j.jtbi.2014.05.032. PMID 24882791. Bibcode: 2014JThBi.358..179H. http://plymsea.ac.uk/6191/1/Humphries_LF-simulations_JTB.pdf.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]