Ομάδα Τέιτ-Σαφάρεβιτς

Στην αριθμητική γεωμετρία, η Ομάδα Τέιτ-Σαφάρεβιτς Ш(A/K) μιας αβελιανής ποικιλίας A (ή γενικότερα ενός ομαδικού σχήματος) που ορίζεται πάνω σε ένα αριθμητικό σώμα K αποτελείται από τα στοιχεία της ομάδας Βέιλ-Σατελέ $\mathrm {WC} (A/K)=H^{1}(G_{K},A)$, όπου $G_{K}=\mathrm {Gal} (K^{alg}/K)$ είναι η απόλυτη ομάδα Γαλουά του K, που γίνεται τετριμμένη σε όλες τις συμπληρώσεις του K (δηλ. e., στις πραγματικές και μιγαδικές συμπληρώσεις καθώς και στα p-adic σώματα που προκύπτουν από το K συμπληρώνοντας ως προς όλες τις αρχιμήδειες και μη αρχιμήδειες αποτιμήσεις v). Έτσι, από την άποψη της συνομολογίας Γαλουά, η Ш(A/K)) μπορεί να οριστεί ως εξής

$\bigcap _{v}\mathrm {ker} \left(H^{1}\left(G_{K},A\right)\rightarrow H^{1}\left(G_{K_{v}},A_{v}\right)\right).$

Η ομάδα αυτή εισήχθη από τους Σερζ Λανγκ και Τζον Τέιτ( ) και τον Ιγκόρ Σαφάρεβιτς().Ο Κάσελς εισήγαγε τον συμβολισμό Ш(A/K), όπου Ш αντιστοιχεί στο κυριλλικό γράμμα «Sha», για τον Σαφάρεβιτς, αντικαθιστώντας τον παλαιότερο συμβολισμό TS ή TŠ.

Στοιχεία της ομάδας Τέιτ-Σαφάρεβιτς

Γεωμετρικά, τα μη τετριμμένα στοιχεία της ομάδας Τέιτ-Σαφάρεβιτς μπορούν να θεωρηθούν ως οι ομογενείς χώροι του A που έχουν K_v-ρητά σημεία για κάθε θέση v του K, αλλά κανένα K-ρητό σημείο. Έτσι, η ομάδα μετρά το βαθμό στον οποίο η αρχή Χάσε δεν ισχύει για ρητές εξισώσεις με συντελεστές στο πεδίο K. Ο Καρλ-Ερικ Λιντ έδωσε ένα παράδειγμα ενός τέτοιου ομογενούς χώρου, δείχνοντας ότι η καμπύλη γένους x⁴ − 17 = 2y² έχει λύσεις στους πραγματικούς και σε όλα τα p-adic σώματα, αλλά δεν έχει ρητά σημεία. Ο Ερνστ Σ. Σέλμερ έδωσε πολλά ακόμη παραδείγματα, όπως 3x³ + 4y³ + 5z³ = 0.

Η ειδική περίπτωση της ομάδας Τέιτ-Σαφάρεβιτς για το πεπερασμένο ομαδικό σχήμα που αποτελείται από σημεία κάποιας δεδομένης πεπερασμένης τάξης n μιας αβελιανής ποικιλίας σχετίζεται στενά με την ομάδα Σέλμερ.

Η εικασία του Τέιτ-Σαφάρεβιτς

Η εικασία Τέιτ-Σαφάρεβιτς δηλώνει ότι η ομάδα Τέιτ-Σαφάρεβιτς είναι πεπερασμένη. Ο Καρλ Ρούμπιν το απέδειξε αυτό για κάποιες ελλειπτικές καμπύλες τάξης το πολύ 1 με μιγαδικό πολλαπλασιασμό. Ο Βίκτορ Α. Κολυβάγκιν το επέκτεινε σε σπονδυλωτές ελλειπτικές καμπύλες πάνω σε ρητούς αριθμούς αναλυτικού βαθμού το πολύ 1 (Το θεώρημα της δομοστοιχειωτής μορφής έδειξε αργότερα ότι η υπόθεση της σπονδυλωτότητας ισχύει πάντα).

Ζεύγος Κάσελς-Τέιτ

Η αντιστοίχιση Κάσελς-Τέιτ είναι μια διγραμμική αντιστοίχιση Ш(A) × Ш(Â) → Q/Z, όπου A είναι μια αβελιανή ποικιλία και Â είναι η διπλή της. Ο Κάσελς την εισήγαγε για ελλειπτικές καμπύλες, όταν η A μπορεί να ταυτιστεί με την Â και η σύζευξη είναι μια εναλλασσόμενη μορφή. Ο πυρήνας αυτής της μορφής είναι η υποομάδα των διαιρετών στοιχείων, η οποία είναι τετριμμένη αν η εικασία Τέιτ-Σαφάρεβιτς είναι αληθής. Ο Τέιτ επέκτεινε την αντιστοίχιση σε γενικές αβελιανές ποικιλίες, ως παραλλαγή της δυϊκότητας Τέιτ. Μια επιλογή της πόλωσης στην A δίνει έναν χάρτη από την A στην Â, ο οποίος επάγει μια διγραμμική ζεύξη στην Ш(A) με τιμές στην Q/Z, αλλά σε αντίθεση με την περίπτωση των ελλειπτικών καμπυλών αυτή δεν χρειάζεται να είναι εναλλασσόμενη ή ακόμη και αντισυμμετρική.

Για μια ελλειπτική καμπύλη, ο Κάσελς έδειξε ότι η αντιστοίχιση είναι εναλλασσόμενη και μια συνέπεια είναι ότι αν η τάξη τουШ είναι πεπερασμένη τότε είναι τετράγωνο. Για πιο γενικές αβελιανές ποικιλίες, για πολλά χρόνια θεωρούνταν μερικές φορές λανθασμένα ότι η τάξη της Ш είναι τετράγωνο όποτε είναι πεπερασμένη- το λάθος αυτό προήλθε από μια εργασία του Σουίνερτον-Ντάιερ, ο οποίος παρέθεσε λανθασμένα ένα από τα αποτελέσματα του Τέιτ.] Οι Πούνεν και Στολ έδωσαν μερικά παραδείγματα όπου η τάξη είναι δύο φορές τετράγωνο, όπως η Ιακωβιανή μιας ορισμένης καμπύλης γένους 2 πάνω στους ρητούς, της οποίας η ομάδα Τέιτ-Σαφάρεβιτς έχει τάξη 2, και ο Στάιν έδωσε μερικά παραδείγματα όπου η δύναμη ενός περιττού πρώτου που διαιρεί την τάξη είναι περιττή. Αν η αβελιανή ποικιλία έχει μια κύρια πόλωση τότε η μορφή της Ш είναι αντιασυμμετρική, πράγμα που σημαίνει ότι η τάξη της Ш είναι ένα τετράγωνο ή δύο φορές ένα τετράγωνο (αν είναι πεπερασμένη), και αν επιπλέον η κύρια πόλωση προέρχεται από έναν ρητό διαιρέτη (όπως συμβαίνει στις ελλειπτικές καμπύλες) τότε η μορφή είναι εναλλασσόμενη και η τάξη της Ш είναι ένα τετράγωνο (αν είναι πεπερασμένη). Από την άλλη πλευρά, βασιζόμενος στα αποτελέσματα που μόλις παρουσιάστηκαν ο Κωνσταντίνους έδειξε ότι για κάθε αριθμό n χωρίς τετράγωνο υπάρχει μια αβελιανή ποικιλία A ορισμένη πάνω στο Q και ένας ακέραιος m με |Ш| = n·m². Ειδικότερα ο Ш είναι πεπερασμένος στα παραδείγματα του Κωνσταντίνους και τα παραδείγματα αυτά επιβεβαιώνουν μια εικασία του Στάιν. Συνεπώς modulo τετράγωνο οποιοσδήποτε ακέραιος μπορεί να είναι η τάξη του Ш.

Δημοσιεύσεις

• Cassels, John William Scott (1962), «Arithmetic on curves of genus 1. III. The Tate–Šafarevič and Selmer groups», Proceedings of the London Mathematical Society, Third Series 12: 259–296, doi:10.1112/plms/s3-12.1.259, ISSN 0024-6115 
• Cassels, John William Scott (1962b), «Arithmetic on curves of genus 1. IV. Proof of the Hauptvermutung», Journal für die reine und angewandte Mathematik 211 (211): 95–112, doi:10.1515/crll.1962.211.95, ISSN 0075-4102, http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002179873 
• Cassels, John William Scott (1991), Lectures on elliptic curves, London Mathematical Society Student Texts, 24, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9781139172530, ISBN 978-0-521-41517-0, https://books.google.com/books?id=zgqUAuEJNJ4C 
• Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000), Diophantine geometry: an introduction, Graduate Texts in Mathematics, 201, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98981-5 
• Greenberg, Ralph (1994), «Iwasawa Theory and p-adic Deformation of Motives», στο: Serre, Jean-Pierre; Jannsen, Uwe; Kleiman, Steven L., επιμ., Motives, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1637-0 
• Kolyvagin, V. A. (1988), «Finiteness of E(Q) and SH(E,Q) for a subclass of Weil curves», Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya 52 (3): 522–540, 670–671, 954295, ISSN 0373-2436 
• Lang, Serge; Tate, John (1958), «Principal homogeneous spaces over abelian varieties», American Journal of Mathematics 80 (3): 659–684, doi:10.2307/2372778, ISSN 0002-9327 
• Lind, Carl-Erik (1940). Untersuchungen über die rationalen Punkte der ebenen kubischen Kurven vom Geschlecht Eins (Διδακτορική διατριβή). 1940. University of Uppsala. 97 pp. MR 0022563. 
• Poonen, Bjorn; Stoll, Michael (1999), «The Cassels-Tate pairing on polarized abelian varieties», Annals of Mathematics, Second Series 150 (3): 1109–1149, doi:10.2307/121064, ISSN 0003-486X 
• Rubin, Karl (1987), «Tate–Shafarevich groups and L-functions of elliptic curves with complex multiplication», Inventiones Mathematicae 89 (3): 527–559, doi:10.1007/BF01388984, ISSN 0020-9910 
• Selmer, Ernst S. (1951), «The Diophantine equation ax³+by³+cz³=0», Acta Mathematica 85: 203–362, doi:10.1007/BF02395746, ISSN 0001-5962 
• Shafarevich, I. R. (1959), «The group of principal homogeneous algebraic manifolds», Doklady Akademii Nauk SSSR 124: 42–43, ISSN 0002-3264  English translation in his collected mathematical papers
• Stein, William A. (2004), «Shafarevich–Tate groups of nonsquare order», Modular curves and abelian varieties, Progr. Math., 224, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, σελ. 277–289, http://wstein.org/papers/nonsquaresha/final2.pdf 
• Swinnerton-Dyer, P. (1967), «The conjectures of Birch and Swinnerton-Dyer, and of Tate», στο: Springer, Tonny A., επιμ., Proceedings of a Conference on Local Fields (Driebergen, 1966), Berlin, New York: Springer-Verlag, σελ. 132–157, https://books.google.com/books/?id=I983HAAACAAJ 
• Tate, John (1958), WC-groups over p-adic fields, Séminaire Bourbaki; 10e année: 1957/1958, 13, Paris: Secrétariat Mathématique, http://www.numdam.org/item?id=SB_1956-1958__4__265_0 
• Tate, John (1963), «Duality theorems in Galois cohomology over number fields», Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Stockholm, 1962), Djursholm: Inst. Mittag-Leffler, σελ. 288–295, http://mathunion.org/ICM/ICM1962.1/ 
• Weil, André (1955), «On algebraic groups and homogeneous spaces», American Journal of Mathematics 77 (3): 493–512, doi:10.2307/2372637, ISSN 0002-9327 
• Konstantinous, Alexandros (2024-04-25). «A note on the order of the Tate-Shafarevich group modulo squares». arXiv:2404.16785 [math.NT]. 

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Αλγεβρική ποικιλία
• Τοπολογία
• Αντιμεταθετικός δακτύλιος
• Αριθμητική υπολοίπων

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• A. Bondal, D. Orlov, Semi-orthogonal decomposition for algebraic varieties_, PreprintMPI/95–15, alg-geom/9506006
• Ranks of Elliptic Curves and Random Matrix Theory
• Heegner Modules and Elliptic Curves
• Basic Structures of Function Field Arithmetic
• Perspectives In Mathematical Science Ii: Pure Mathematics
• Smooth Four-Manifolds and Complex Surfaces