Νοεροί υπολογισμοί

Οι νοεροί υπολογισμοί είναι μαθηματικές πράξεις που εκτελούνται μόνο με το νου χωρίς τη βοήθεια κανενός εργαλείου. Μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε πολλές περιπτώσεις της καθημερινής ζωής αλλά και της επιστήμης και για έλεγχο των αποτελεσμάτων των υπολογιστών. Από το 2004 έχει καθιερωθεί ένα παγκόσμιο πρωτάθλημα νοερών υπολογισμών. Ο νικητής του πρόσφατου διαγωνισμού υπολόγισε νοερά ακριβώς την 13η ρίζα ενός 200-ψήφιου αριθμού σε χρόνο 1΄ και 28΄΄ .

Υπάρχουν διάφορες μέθοδοι για εκτέλεση νοερών υπολογισμών, όπως φαίνεται στη παρατιθέμενη βιβλιογραφία. Στη παρούσα μελέτη παρουσιάζονται ορισμένες τεχνικές οι οποίες αναλύονται με πλήθος παραδειγμάτων ώστε να γίνονται κατανοητές από τον κάθε ενδιαφερόμενο. Με τη βοήθεια ορισμένων βασικών μαθηματικών ισοτήτων π.χ. των ταυτοτήτων ή κάποιων κατάλληλων μετασχηματισμών, μπορούμε γρήγορα και με ακρίβεια να εκτελούμε υπολογισμούς, οι οποίοι με τις γνωστές συμβατικές μεθόδους φαίνονται δύσκολο ή και αδύνατο να εκτελεστούν νοερά. Εν συνεχεία, χρησιμοποιώντας ορισμένους απομνημονευμένους αριθμούς-κλειδιά μετατρέπουμε κάθε αριθμό – οσοδήποτε μεγάλο – στην αντίστοιχη δεκαδική δύναμη του 10 κατά προσέγγιση, εργαζόμαστε με ευκολία μόνο στον εκθέτη του αριθμού και με τον τρόπο αυτό είμαστε σε θέση να εκτελούμε με σχετική ευκολία νοερούς υπολογισμούς με τεράστιους αριθμούς.

Μαθηματικές ταυτότητες

Ταυτότητα (α + β)² = α² + 2αβ + β²

Εφόσον κάθε αριθμός μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα δύο άλλων αριθμών, μπορούμε να εκμεταλλευτούμε την παραπάνω ταυτότητα και να υπολογίζουμε με ευκολία αριθμούς πολύ μεγαλύτερους του 10 υψωμένους στο τετράγωνο.

Παράδειγμα 1.

Τετράγωνα των αριθμών 25, 62, 107, 315

Λύση:

25² = (20 + 5)² = 20² + 2x20x5 + 5² = 400 + 200 + 25 = 625

62² = (60 + 2)² = 60² + 2x2x60 + 2² = 3600 + 240 + 4 = 3844

107² = (100 + 7)² = 100² + 2x100x7 + 7² = 10000 + 1400 + 49 = 11449

315² = (300 + 15)² = 300² + 2x15x300 + 15² = 90000 + 9000 + 225 = 99225

905² = (900 + 5)² = 900² +2x5x900 + 5² = 810000 + 9000 + 25 =819025

(Σημείωση: για 15² βλ. πίνακα 1).

Τα τετράγωνα των αριθμών 11-19 παρατίθενται στον πίνακα 1. Συνιστάται η απομνημόνευσή τους, ειδάλλως αυτά μπορούν να υπολογιστούν γρήγορα με την ίδια διαδικασία σύμφωνα με τα παραπάνω.

Πίνακας 1: Τετράγωνα των αριθμών 11-19.

11² = (10 + 1)² = 121

12² = (10 + 2)² = 144

13² = (10 + 3)² = 169

14² = (10 + 4)² = 196

15² = (10 + 5)² = 225

16² = (10 + 6)² = 256

17² = (10 + 7)² = 289

18² = (10 + 8)² = 324

19² = (10 + 9)² = 361

Παράδειγμα 2.

Τετράγωνα των δεκαδικών αριθμών 12.5 και 100.7

Λύση:

12.5² = (12 + 0.5)² = 12² + 2x0.5x12 + 0.5² = 144 + 12 + 0.25 = 156.25

100.7² = (100 + 0.7)² = 100² +2x0.7x100 + 0.7² = 10000 + 140 + 0.49 = 10140.49

Ταυτότητα (α – β)² = α² – 2αβ + β²

Μπορούμε να γράψουμε έναν αριθμό σαν διαφορά δύο άλλων αριθμών, τα τετράγωνα των οποίων είναι γνωστά ή μπορούν εύκολα να υπολογιστούν.

Παράδειγμα 3.

Τετράγωνα των 29, 78, 145 και 99.83

Λύση:

29² = (30 – 1)² = 30² – 2x1x30 + 1² = 900 - 60 + 1 = 841

78² = (80 – 2)² = 80² – 2x2x80 + 2² = 6400 – 320 + 4 = 6084

145² = (150 – 5)² = 150² - 2x5x150 +5² = 22500 – 1500 + 25 = 21025

99.83² = (100 – 0. 17)² = 100² - 2x0.17x100 + 0.17² = 10000 – 34 + 0.0289 = 9966.0289

Ταυτότητα (α – β)(α + β) = α² – β²

Με τη βοήθεια αυτής της ισότητας μπορούμε να εκτελέσουμε ταχύτατα πολλαπλασιασμό διάφορων αριθμών.

Παράδειγμα 4.

Εκτέλεση πολλαπλασιασμών των 27x33, 34x46, 115x125 και 98.7x101.3

Λύση:

27x33 = (30 – 3)(30 + 3) = 30² – 3² = 900 – 9 = 891

34x46 = (40 – 6)(40 + 6) = 40² – 6² = 1600 – 36 = 1564

115x125 = (120 - 5)(120 + 5) = 120² – 5² = 14400 – 25 = 14375

98.7x101.3 = (100 – 1.3)(100 + 1.3) = 100² – 1.3² = 10000 – 1.69 = 9998.31

(Σημείωση: 1.32 ισούται με 132 διαιρούμενο δια 100, πίνακας 1).

Ταυτότητα (α + β)(α + γ) = α² + (β + γ)α + βγ

Παράδειγμα 5.

Ζητούνται οι υπολογισμοί 13x14, 73x77, 907x908 και 100.7x100.8

Λύση:

13x14 = (12 + 1)(12 + 2) = 12² + (1 + 2)x12 + 1x2 = 144 + 36 + 2 = 182

73x77 = (70 + 3)(70 + 7) = 70² + (3+7)x70 + 3x7 = 4900 + 700 + 21 = 5621

907x908 = (900 + 7)(900 + 8) = 900² + (7+8)x900 + 7x8 = 810000 + 1350 + 56 = 811406

100.7x100.8 = (100 + 0.7)(100 + 0.8) = 100² + (0.7+0.8)x100 + 0.7x0.8 = 10000 + 150 + 0.56 = 10150.56

Πολλαπλασιασμοί

Πολλαπλασιάζοντας διπλανούς αριθμούς

Εάν οι προς πολλαπλασιασμό αριθμοί είναι διπλανοί, μπορούμε να βρούμε το τετράγωνο του ενός αριθμού και να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε κατάλληλα.

Παράδειγμα 6.

Εστω οι πολλαπλασιασμοί 13x14 και 13x15

Λύση:

13x14 = 13² + 1x13 = 169 + 13 = 182

ή

13x14 = 14² – 1x14 = 196 – 14 = 182

13x15 = 13² + 2x13 = 169 + 26 = 195

ή

13x15 = 15² - 2x15 = 225 – 30 = 195

Πολλαπλασιάζοντας επί 10 ή 100

Πολλαπλασιάζοντας επί 10 ή 100 είναι πολύ εύκολο. Αρκεί να προσέξουμε εάν ένας τέτοιος κατάλληλος μετασχηματισμός - απλοποίηση μπορεί να εφαρμοστεί.

Παράδειγμα 7.

Εστω οι πολλαπλασιασμοί 52x97, 11x5x8x2 και 30x25x8x4

Λύση:

52x97 = 52x(100 – 3) = 5200 – 156 = 5044

11x5x8x2 = 11x8x10 = 88x10 = 880

30x25x8x4 = 30x8x100 = 240x100 = 24000

Πράξεις με μεγάλους αριθμούς

Μια νέα προσεγγιστική μέθοδος παρουσιάζεται εδώ για νοερές πράξεις με μεγάλους έως τεράστιους αριθμούς π.χ. εύρεση εκθετικών, δυνάμεων, λογαρίθμων, ριζών και εκτέλεση πολλαπλασιασμών ή διαιρέσεων.

Τα απαραίτητα βήματα της όλης διαδικασίας είναι:
α. Γραφή του αριθμού σε επιστημονική σημειογραφία.
β. Μετατροπή των συντελεστών σε δεκαδικές δυνάμεις του 10 με τη βοήθεια του πίνακα 2.
γ. Εκτέλεση πράξεων στον εκθέτη.
δ. Μετατροπή της επιστημονικής σημειογραφίας σε κανονικό αριθμό (εάν απαιτείται).

Ο πίνακας 2 δίνει τις δεκαδικές δυνάμεις του 10 και τους αντίστοιχους αριθμούς. Με τη βοήθεια των αριθμών αυτών κάθε αριθμός - όσονδήποτε μεγάλος - μπορεί κατά προσσέγγιση να μετατραπεί σε δεκαδική δύναμη του 10 για εύκολες εκτελέσεις νοερών υπολογισμών. Οι παρατιθέμενοι αριθμοί του πίνακα 2 είναι αριθμοί – κλειδιά και πρέπει να απομνημονευτούν.

Πίνακας 2. Δεκαδικές δυνάμεις του 10 με τους αντίστοιχους αριθμούς

10^0,1 = 1.258

10^0,2 = 1.584

10^0,3 = 1.995

10^0,4 = 2.511

10^0,5 = 3.162

10^0,6 = 3.981

10^0,7 = 5.011

10^0,8 = 6.309

10^0,9 = 7.943

Για παράδειγμα, η επιστημονική σημειογραφία του αριθμού 125812 είναι 1,25812x10⁵. Μια καλή προσέγγιση του αριθμού αυτού είναι 1,258x10⁵. Σύμφωνα με τον πίνακα 2, ο συντελεστής 1,258 αντιστοιχεί στη δεκαδική δύναμη 10^0.1. Επομένως ο δεδομένος αριθμός μπορεί κατά προσέγγιση να γραφτεί ως δεκαδική δύναμη:

10^0.1 x 10⁵ = 10^5,1.

(Σημείωση: Για ακριβέστερη προσέγγιση, ο πίνακας 2 μπορεί να επεκταθεί με περισσότερες ενδιάμεσες δεκαδικές δυνάμεις του 10 και τους αντίστοιχους αριθμούς π.χ. 10 ^0,15, 10^0.25, κ.ο.κ.).

Υψώνοντας μεγάλους αριθμούς στη ν-στή δύναμη

Ακολουθώντας τη παραπάνω διαδικασία μπορούμε απεριόριστα να υψώσουμε μεγάλους αριθμούς σε οποιαδήποτε δύναμη.

Παράδειγμα 8.

2η, 3η, 11η και 20η δύναμη του 6-ψήφιου αριθμού 630912

Λύση:

630912 = 6.30912x10⁵ ≈ 6,309x10⁵ = 10^0,8 x 10⁵ = 10^5,8

επομένως

630912² = (10^5,8)² = 10^11,6 = 10^0,6x10¹¹ = 3,981x10¹¹

630912³ = (10^5,8)³ = 10^17,4 = 10^0.4 x 10¹⁷ = 2,511x10¹⁷

630912¹¹ = (10^5,8)¹¹ = 10^63,8 = 10^0,8 x10⁶³ = 6,309x10⁶³

630912²⁰ = (10^5,8)²⁰ = 10¹¹⁶

Παράδειγμα 9.

Νοερός υπολογισμός της 10ης δύναμης του 15-ψήφιου αριθμού 158412554712399

Λύση:

158412554712399 = 1.58412554712399x10¹⁴ ≈ 1,584x10¹⁴ = 10^0,2x10¹⁴ = 10^14,2

και

158412554712399¹⁰ = (10^14,2)¹⁰ = 10¹⁴²

(Σημείωση: Οι αριθμοί 630912²⁰ = 10¹¹⁶ και 158412554712399¹⁰ = 10¹⁴² είναι τόσο μεγάλοι που ξεπερνούν τα όρια λειτουργίας του υπολογιστή τσέπης. Οι γνωστοί υπολογιστές τσέπης αδυνατούν να εκτελέσουν πράξεις με αριθμούς > 10¹⁰⁰. Στους νοερούς υπολογισμούς δεν υπάρχουν όρια).

Εξαγωγή ριζών.

Για εξαγωγή τετραγωνικών, κυβικών ή υψηλοτέρων ριζών οσωνδήποτε μεγάλων αριθμών ακολουθούμε παρόμοια διαδικασία με τη βοήθεια του πίνακα 2, όπως στη προηγούμενη παράγραφο.

Παράδειγμα 10.

Τετραγωνική ρίζα του 12-ψήφιου αριθμού 398122558833

Λύση:

398122558833 ≈ 3,981x10¹¹ = 10^0,6x10¹¹ = 10^11.6 και 398122558833^1/2 = (10^11,6)^1/2 = 10^5,8 = 10^0,8x10⁵ = 6,309x10⁵

Παράδειγμα 11.

5η ρίζα του 21-ψήφιου αριθμού 316211250077446688222

Λύση:

316211250077446688222 ≈ 3,162x10²⁰ = 10^0,5x10²⁰ = 10 ^20.5

316211250077446688222^1/5 = (10^20,5)^1/5 = 10^4,1 = 10^0.1x10⁴ = 1,258x10⁴

Πολλαπλασιασμός - διαίρεση

Μπορούμε να εκτελούμε νοερά πράξεις πολλαπλασιασμού και διαίρεσης με μεγάλους αριθμούς σύμφωνα με τη προαναφερθείσα διαδικασία και τη βοήθεια του πίνακα 2.

Παράδειγμα 12.

Πολλαπλασιασμός 1258 επί 7943 και διαίρεση 5011000 δια 1584

Λύση:

1584x7943 = 1,584x10³x7.943x10³ = 10^0,2x10³x10^0,9x10³ = 10^7,1 = 10^0.1x10⁷ = 1,258x10⁷

και

5011000 / 1584 = 5,011x10⁶ / 1,584x10³ = 10^0,7x10⁶ / 10^0,2x10³ = 10^6,7 / 10^3,2 = 10^3,5 = 10^0,5x10³ = 3,162x10³

Λογάριθμοι

Ο δεκαδικός λογάριθμος κάθε αριθμού είναι ο εκθέτης της δύναμης του 10 του αντίστοιχου αριθμού π.χ.

100 = 10² => log100 = log 10² = 2

Παράδειγμα 13.

Λογάριθμοι των 794301100 και 45112233

Λύση:

log794301100 ≈ log(7,943x10⁸) = log(10^0,9x10⁸) = log10^8,9 = 8,9

log45112233 ≈ log(4,511x10⁷) ≈ log(10^0.65x10⁷) = log 10^7,65 = 7,65

(Σημείωση: ο αριθμός 4.511 βρίσκεται περίπου στο μέσο μεταξύ 3.981 (=10^0.6) και 5.011 (=10^0.7), επομένως αντιστοιχεί κατά προσέγγιση σε 10^0.65, βλ. πίνακα 2).

Βιβλιογραφία και άλλες σημειώσεις

• Konstantinos Dermentzis, Technological Education Institute (Τ.Ε.Ι.) of Kavala, Mental Calculations - Appications in Chemistry, www.teikav.edu.gr/gdp.
• Κωνσταντίνος Δερμεντζής, Νοεροί υπολογισμοί στη χημεία, www.teikav.edu.gr/gdp.
• R.W. Dorfler, Dead reckoning: Calculating without Instruments, Houston, Texas,Gulf Publishing Company, (1993).
• A. Benjamin, M. Shermer, Secrets of mental Math: The Mathemagicians Guide to Lightning Calculation and Amazing Math Tricks, Random House, Inc., New York, Crown Publishing Group, (2006).
• G.W. Kelly , Short-cut Mathematics, Dover Publications, (2003).
• S.B. Smith, The Great Mental Calculators, New York: Columbia University Press, (1983).