Ναιτεριανό σχήμα

Στην αλγεβρική γεωμετρία, ένα Ναιτεριανό σχήμα είναι ένα σχήμα που επιδέχεται πεπερασμένη κάλυψη από ανοικτά αφινικά υποσύνολα $\operatorname {Spec} A_{i}$, όπου κάθε $A_{i}$ είναι ένας Ναιτεριανός δακτύλιος. Σε γενικές γραμμές, ένα σχήμα είναι τοπικά Ναιτεριανό αν καλύπτεται από φάσματα Ναιτεριανών δακτυλίων. Έτσι, ένα σχήμα είναι Ναιτεριανό αν και μόνο αν είναι τοπικά Ναιτεριανό και συμπαγές. Όπως και με τους ναιτεριανούς δακτυλίους, η έννοια πήρε το όνομά της από την Έμι Νέτερ.

Μπορεί να αποδειχθεί ότι, σε ένα τοπικά Ναιτεριανό σχήμα, αν $\operatorname {Spec} A$ είναι ένα ανοικτό αφινικό υποσύνολο, τότε το A είναι ένας Ναιτεριανός δακτύλιος. Ειδικότερα, το $\operatorname {Spec} A$ είναι ένα Ναιτεριανό σχήμα αν και μόνο αν το A είναι ένας Ναιτεριανός δακτύλιος. Έστω X ένα τοπικά Ναιτεριανό σχήμα. Τότε οι τοπικοί δακτύλιοι ${\mathcal {O}}_{X,x}$ είναι Ναιτεριανοί δακτύλιοι.

Ένα Ναιτεριανό σχήμα είναι ένας Ναιτεριανός τοπολογικός χώρος. Αλλά το αντίστροφο είναι λανθασμένο γενικά- θεωρήστε, για παράδειγμα, το φάσμα ενός μη-Ναιτεριανού δακτυλίου αποτίμησης.

Οι ορισμοί επεκτείνονται σε τυπικά σχήματα.

Ιδιότητες και Ναιτεριανες υποθέσεις

Η ύπαρξη μιας (τοπικά) Ναιτεριανής υπόθεσης για μια πρόταση σχετικά με τα σχήματα καθιστά πολλά προβλήματα γενικά ευκολότερα προσβάσιμα, επειδή αυστηροποιούν επαρκώς πολλές από τις ιδιότητές της.

Ξεβίδωμα

Ένα από τα σημαντικότερα θεωρήματα δομής για τους δακτυλίους και τα Ναιτεριανά σχήματα είναι το θεώρημα ντεβισάζ (dévissage theorem). Αυτό το θεώρημα καθιστά δυνατή την αποσύνθεση επιχειρημάτων σχετικά με συνεκτικές δέσμες σε επαγωγικά επιχειρήματα. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι δεδομένης μιας σύντομης ακριβούς ακολουθίας συνεκτικών δεσμών

$0\to {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}''\to 0$

η απόδειξη ότι μία από τις δέσμες έχει κάποια ιδιότητα είναι ισοδύναμη με την απόδειξη ότι οι άλλες δύο έχουν την ίδια ιδιότητα. Συγκεκριμένα, μιας σταθερής συνεκτικής δέσμης ${\mathcal {F}}$ και μιας υπο-συνεκτικής δέσμης ${\mathcal {F}}'$, η απόδειξη ότι η ${\mathcal {F}}$ έχει κάποια ιδιότητα μπορεί να περιοριστεί στην εξέταση των ${\mathcal {F}}'$ και ${\mathcal {F}}/{\mathcal {F}}'$. Δεδομένου ότι αυτή η διαδικασία μπορεί να εφαρμοστεί μόνο έναν πεπερασμένο αριθμό φορών με μη τετριμμένο τρόπο, αυτό καθιστά πολλά επαγωγικά επιχειρήματα δυνατά.

Αριθμός μη αναγώγιμων συνιστωσών

Κάθε Ναιτεριανό σχήμα μπορεί να έχει μόνο πεπερασμένα πολλά συστατικά.

Μορφισμοί από τα Ναιτεριανά σχήματα είναι οιονεί συμπαγείς

Κάθε μορφισμός από ένα Ναιτεριανό σχήμα $X\to S$ είναι οιονεί συμπαγής.

Ομολογικές ιδιότητες

Υπάρχουν πολλές ωραίες ομολογικές ιδιότητες των ναιτεριανών συστημάτων.

Τσεχ και συνομολογία των δεσμών (sheaf)

Η συνομολογία Τσεχ και η συνομολογία των δεσμών συμφωνούν σε ένα αφινικό ανοικτό κάλυμμα. Αυτό καθιστά δυνατό τον υπολογισμό της συνομολογίας της δέσμης του $\mathbb {P} _{S}^{n}$ χρησιμοποιώντας τη συνομολογία Τσεχ για το τυπικό ανοικτό κάλυμμα.

Συμβατότητα των ορίων με τη συνομολογία

Δεδομένου ενός άμεσου συστήματος $\{{\mathcal {F}}_{\alpha },\phi _{\alpha \beta }\}_{\alpha \in \Lambda }$ των κυλίνδρων των αβελιανών ομάδων σε ένα Ναιτεριανό σχήμα, υπάρχει ένας κανονικός ισομορφισμός

$\varinjlim H^{i}(X,{\mathcal {F}}_{\alpha })\to H^{i}(X,\varinjlim {\mathcal {F}}_{\alpha })$

που σημαίνει ότι οι τελεστές

$H^{i}(X,-):{\text{Ab}}(X)\to {\text{Ab}}$

διατηρούν τα άμεσα όρια και τα συμπαράγωγα.

Παραγόμενη άμεση εικόνα

Δεδομένου ενός τοπικά πεπερασμένου τύπου μορφισμού $f:X\to S$ σε ένα Ναιτεριανό σχήμα $S$ και ένα σύμπλεγμα δεσμών ${\mathcal {E}}^{\bullet }\in D_{Coh}^{b}(X)$ με περιορισμένη συνεκτική συνομολογία τέτοια ώστε οι δέσμες $H^{i}({\mathcal {E}}^{\bullet })$ να έχουν κατάλληλη υποστήριξη πάνω στο $S$, τότε το παράγωγο pushforward $\mathbf {R} f_{*}({\mathcal {E}}^{\bullet })$ έχει περιορισμένη συνεκτική συνομολογία πάνω στο $S$, δηλαδή είναι αντικείμενο στο $D_{Coh}^{b}(S)$.

Παραδείγματα

Πολλά από τα σχήματα που συναντώνται στη φύση είναι Ναιτεριανά σχήματα.

Τοπικά πεπερασμένου τύπου πάνω σε μια βάση Ναιτεριανού τύπου

Μια άλλη κατηγορία παραδειγμάτων Ναιτεριανών σχημάτων είναι οικογένειες σχημάτων$X\to S$ όπου η βάση $S$ είναι Ναιτεριανή και το $X$ είναι πεπερασμένου τύπου πάνω στο $S$. Αυτό περιλαμβάνει πολλά παραδείγματα, όπως οι συνδεδεμένες συνιστώσες ενός σχήματος Χίλμπερτ, δηλαδή με ένα σταθερό πολυώνυμο Χίλμπερτ. Το στοιχείο αυτό είναι σημαντικό, διότι συνεπάγεται ότι πολλοί χώροι moduli που συναντάμε στη φύση είναι Ναιτεριανοί, όπως οι Moduli των αλγεβρικών καμπυλών και οι Moduli των σταθερών διανυσματικών δεσμίδων. Επίσης, αυτή η ιδιότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δείξει ότι πολλά σχήματα που εξετάζονται στην αλγεβρική γεωμετρία είναι στην πραγματικότητα Ναιτεριανά.

Οιονεί προβολικές ποικιλίες

Ειδικότερα, οι οιονεί προβολικές ποικιλίες είναι Ναιτεριανά σχήματα. Αυτή η κατηγορία περιλαμβάνει αλγεβρικές καμπύλες, ελλειπτικές καμπύλες, αβελιανές ποικιλίες, σχήματα Καλάμπι-Γιάου, ποικιλίες Σιμούρα, επιφάνειες Κ3 και κυβικές επιφάνειες. Ουσιαστικά όλα τα αντικείμενα της κλασικής αλγεβρικής γεωμετρίας ταιριάζουν σε αυτή την κατηγορία παραδειγμάτων.

Απειροστικές παραμορφώσεις των Ναιτεριανών σχημάτων

Ειδικότερα, οι απειροελάχιστες παραμορφώσεις των Ναιτεριανών σχημάτων είναι και πάλι Ναιτεριανές. Παραδείγματος χάριν, δεδομένης μιας καμπύλης $C/{\text{Spec}}(\mathbb {F} _{q})$, οποιαδήποτε παραμόρφωση ${\mathcal {C}}/{\text{Spec}}(\mathbb {F} _{q}[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{n}))$ είναι επίσης ένα Ναιτεριανό σχήμα. Ένας πύργος από τέτοιες παραμορφώσεις μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή τυπικών Ναιτεριανών σχημάτων.

Μη παραδείγματα

Σχήματα πάνω σε Adelic βάσεις

Ένας από τους φυσικούς δακτυλίους που είναι μη-Ναιτεριανοί είναι ο δακτύλιος "adeles" $\mathbb {A} _{K}$ για ένα αλγεβρικό αριθμητικό πεδίο $K$. Προκειμένου να αντιμετωπιστούν τέτοιοι δακτύλιοι, εξετάζεται μια τοπολογία, η οποία δίνει τοπολογικούς δακτυλίους. Υπάρχει μια έννοια της αλγεβρικής γεωμετρίας πάνω σε τέτοιους δακτυλίους που αναπτύχθηκε από τους Βέιλ και Αλεξάντερ Γκροτέντιεκ.

Η λέξη "adeles" σημαίνει "ιδεώδες στοιχείο" (συντομογραφία: id.el.). Adele (γαλλικά: "adèle")

Δακτύλιοι ακεραίων αριθμών σε άπειρες επεκτάσεις

Δίνεται μια άπειρη επέκταση πεδίου Γαλουά $K/L$, όπως $\mathbb {Q} (\zeta _{\infty })/\mathbb {Q}$ (με προσάρτηση όλων των ριζών της μονάδας), ο δακτύλιος των ακεραίων ${\mathcal {O}}_{K}$ είναι ένας μη-Ναιτερικός δακτύλιος που έχει διάσταση $1$. Το γεγονός αυτό καταρρίπτει τη διαίσθηση ότι τα σχήματα πεπερασμένης διάστασης είναι απαραίτητα Ναιτεριανά. Επίσης, αυτό το παράδειγμα παρέχει κίνητρα για το γιατί η μελέτη σχημάτων πάνω σε μη-Ναιτεριανή βάση, δηλαδή σχημάτων ${\text{Sch}}/{\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{E})$, μπορεί να είναι ένα ενδιαφέρον και γόνιμο θέμα.

Μια ειδική περίπτωση^{pg 93} μιας τέτοιας επέκτασης είναι η λήψη της μέγιστης μη ενοποιημένης επέκτασης $K^{ur}/K$ και η εξέταση του δακτυλίου των ακεραίων ${\mathcal {O}}_{K^{ur}}$. Ο επαγόμενος μορφισμός

${\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K^{ur}})\to {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})$

αποτελεί την καθολική κάλυψη του ${\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})$.

Πολυωνυμικός δακτύλιος με απείρως πολλούς γεννήτορες

Ένα άλλο παράδειγμα ενός μη-Ναιτεριανού πεπερασμένης διάστασης σχήματος (στην πραγματικότητα μηδενικής διάστασης) δίνεται από το ακόλουθο πηλίκο ενός πολυωνυμικού δακτυλίου με απείρως πολλούς γεννήτορες.

${\frac {\mathbb {Q} [x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ]}{(x_{1},x_{2}^{2},x_{3}^{3},\ldots )}}$

Δημοσιεύσεις

• Hartshorne, Robin (1977). Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics. 52. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90244-9. MR 0463157. Zbl 0367.14001. 
• Harder, Günter. «Cohomology of Arithmetic Groups» (PDF). Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο (PDF) στις 24 Ιουλίου 2020. 
• Danilov, V.I. (2001) [1994], "Noetherian scheme", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

Δείτε επίσης

• Algebraic Geometry

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Worksheet on Affine Noetherian Schemes
• On Noether's Normalization Lemma for projective schemes
• Hochschild cohomology of complex spaces and Noetherian schemes. European Digital Mathematics Library.

Σημειώσεις

• H. Matsumura, Commutative algebra 1980 (ISBN 0-8053-7026-9).
• Nagata, Masayoshi (1956), «On the chain problem of prime ideals», Nagoya Math. J. 10: 51–64, doi:10.1017/S0027763000000076, http://projecteuclid.org/euclid.nmj/1118799769 
• Nagata, Masayoshi (1962), Local rings, Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, 13, New York-London: Interscience Publishers, a division of John Wiley & Sons ; reprinted by R. E. Krieger Pub. Co (1975) (ISBN 0-88275-228-6)