Μετρική Lévy–Prokhorov

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Θεωρία Πιθανοτήτων
Ταξινόμηση
Dewey 519
MSC2010 60B05

Στα μαθηματικά, η μετρική Lévy-Prokhorov (μερικές φορές γνωστή απλά ως «Prokhorov μετρική) είναι μια μετρική (δηλαδή, ένας ορισμός απόστασης) της συλλογής των μέτρων στις πιθανότητες σε ένα δεδομένο μετρικό χώρο. Ονομάστηκε από το Γάλλο μαθηματικό Paul Pierre Levy και τον Σοβιετικό μαθηματικό Yuri Vasilevich Prokhorov. Ο Prokhorov την εισήγαγε το 1956, ως την γενίκευση της προηγούμενης Lévy μετρικής.

Ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ας είναι ένας μετρικός χώρος με την Borel σ-άλγεβρα . Έστω ότι η την συλλογή όλων μέτρων πιθανότητας σε έναν μετρήσιμο χώρο .

Για ένα υποσύνολο , ορίζουμε την ε-γειτονιά του με

όπου είναι η ανοιχτή μπάλα ακτίνας με κέντρο .

Η μετρική Lévy-Prokhorov ορίζεται θέτοντας την απόσταση μεταξύ δυο μέτρων πιθανότητας και να είναι

Για μέτρα πιθανοτήτων που ξεκάθαρα ισχύει .

Μερικοί συγγραφείς παραλείπουν μια από τις δύο ανισότητες ή να επιλέγουν μόνο ανοιχτό ή κλειστό ; Καθεμιά ανισότητα συνεπάγεται την άλλη, αλλά περιορίζοντας σε ανοικτή ή κλειστή αλλάζει το πως ορίζεται η μετρική.

Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Εάν ο είναι διαχωρίσιμος, η απόκλιση των μέτρων με την μετρική Lévy–Prokhorov είναι ισοδύναμη με την αδύναμη απόκλιση των μέτρων. Έτσι το είναι μια μετροποίηση της τοπολογίας των αδύναμων αποκλίσεων.
  • Ο μετρικός χώρος είναι διαχωρίσιμος αν και μόνο αν ο είναι διαχωρίσιμος.
  • Αν ο είναι πλήρης τότε και ο είναι πλήρης. Αν όλα τα μέτρα στην έχουν διαχωρίσιμη υποστήριξη, τότε υπονοείται ότι: αν ο είναι πλήρης τότε και ο είναι πλήρης.
  • Αν ο είναι διαχωρίσιμος και πλήρης, τότε ένα υποσύνολο είναι σχετικά συμπαγές αν και μόνο αν το -closure είναι και -compact.

Αναφορές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Billingsley, Patrick (1999). Convergence of Probability Measures. John Wiley & Sons, Inc., New York. ISBN 0-471-19745-9. OCLC 41238534. 
  • Zolotarev, V.M.. Lévy–Prokhorov metric. l/l058320.