Μέτρο Χάουσντορφ

Στα μαθηματικά, το μέτρο Χάουσντορφ είναι μια γενίκευση των κλασικών εννοιών του εμβαδού και του όγκου σε μη ακέραιες διαστάσεις, συγκεκριμένα στα φράκταλ και στις διαστάσεις Χάουσντορφ τους. Είναι ένας τύπος εξωτερικού μέτρου, που πήρε το όνομά του από τον Φέλιξ Χάουσντορφ, που αποδίδει έναν αριθμό στο [0,∞] σε κάθε σύνολο στον $\mathbb {R} ^{n}$ ή, γενικότερα, σε κάθε μετρικό χώρο.

Το μηδενικής διάστασης μέτρο Χάουσντορφ είναι ο αριθμός των σημείων του συνόλου (αν το σύνολο είναι πεπερασμένο) ή ∞ αν το σύνολο είναι άπειρο. Αντίστοιχα, το μονοδιάστατο μέτρο Χάουσντορφ μιας απλής καμπύλης στο $\mathbb {R} ^{2}$ είναι ίσο με το μήκος της καμπύλης, και το δισδιάστατο μέτρο Χάουσντορφ ενός υποσυνόλου του $\mathbb {R} ^{2}$ με μέτρο Λεμπέσγκ είναι ανάλογο με το εμβαδόν του συνόλου. Έτσι, η έννοια του μέτρου Χάουσντορφ γενικεύει το μέτρο Λεμπέσγκ και τις έννοιες της αρίθμησης, του μήκους και του εμβαδού. Γενικεύει επίσης τον όγκο. Στην πραγματικότητα, υπάρχουν μέτρα Χάουσντορφ d-διαστάσεων για οποιοδήποτε d ≥ 0, το οποίο δεν είναι απαραίτητα ακέραιος αριθμός. Αυτά τα μέτρα είναι θεμελιώδη στη γεωμετρική θεωρία μέτρου. Εμφανίζονται φυσικά στην αρμονική ανάλυση ή στη θεωρία δυναμικού.

Ορισμός

Έστω $(X,\rho )$ ένας μετρικός χώρος. Για κάθε υποσύνολο $U\subset X$, έστω $\operatorname {diam} U$ που συμβολίζει τη διάμετρό του, δηλαδή

$\operatorname {diam} U:=\sup\{\rho (x,y):x,y\in U\},\quad \operatorname {diam} \emptyset :=0.$

Έστω $S$ ένα οποιοδήποτε υποσύνολο του $X,$ και $\delta >0$ ένας πραγματικός αριθμός. Ορίζουμε

$H_{\delta }^{d}(S)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }(\operatorname {diam} U_{i})^{d}:\bigcup _{i=1}^{\infty }U_{i}\supseteq S,\operatorname {diam} U_{i}<\delta \right\},$

όπου το ελάχιστο είναι σε όλα τα μετρήσιμα καλύμματα του $S$ από σύνολα $U_{i}\subset X$ που ικανοποιούν $\operatorname {diam} U_{i}<\delta$.

Να σημειωθεί ότι η $H_{\delta }^{d}(S)$ είναι μονοτονικά μη αύξουσα στο $\delta$, καθώς όσο μεγαλύτερο είναι το $\delta$, τόσο περισσότερες συλλογές συνόλων επιτρέπονται, καθιστώντας το infimum όχι μεγαλύτερο. Συνεπώς, η $\lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S)$ υπάρχει αλλά μπορεί να είναι άπειρη. Έστω

Ας σημειωθεί ότι το $H_{\delta }^{d}(S)$ είναι μονοτονικό και δεν αυξάνεται στο $\delta$, καθώς όσο μεγαλύτερο είναι το $\delta$, τόσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός των συλλογών συνόλων που επιτρέπονται, καθιστώντας το υπέρτατο όχι μεγαλύτερο. Έτσι, το $\lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S)$ υπάρχει αλλά μπορεί να είναι άπειρο. Έστω

$H^{d}(S):=\sup _{\delta >0}H_{\delta }^{d}(S)=\lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S).$

Μπορεί να φανεί ότι το $H^{d}(S)$ είναι ένα εξωτερικό μέτρο (ακριβέστερα, είναι ένα μετρικό εξωτερικό μέτρο). Σύμφωνα με το θεώρημα επέκτασης του Καραθεοδωρή, ο περιορισμός του στο σ-πεδίο των μετρήσιμων συνόλων του Καραθεοδωρή είναι ένα μέτρο. Ονομάζεται το $d$-διάστατο μέτρο Χάουστορφ του $S$. Λόγω της ιδιότητας του μετρικού εξωτερικού μέτρου, όλα τα υποσύνολα Borel του $X$ είναι $H^{d}$ μετρήσιμα.

Στον παραπάνω ορισμό τα σύνολα στην κάλυψη είναι αυθαίρετα. Ωστόσο, μπορούμε να απαιτήσουμε τα σύνολα κάλυψης να είναι ανοικτά ή κλειστά, ή σε κανονικοποιημένους χώρους ακόμη και κυρτά, που θα δώσουν τους ίδιους αριθμούς $H_{\delta }^{d}(S)$, άρα το ίδιο μέτρο. Στο $\mathbb {R} ^{n}$ ο περιορισμός των συνόλων κάλυψης να είναι σφαίρες μπορεί να αλλάξει τα μέτρα αλλά δεν αλλάζει τη διάσταση των μετρούμενων συνόλων.

Ιδιότητες του μέτρου Χάουσντορφ

Ας σημειωθεί ότι αν d είναι θετικός ακέραιος, το d-διάστατο μέτρο Χάουσντορφ του $\mathbb {R} ^{d}$ είναι μια αναδιαβάθμιση του συνήθους d-διάστατου μέτρου Λεμπέσγκ $\lambda _{d}$, το οποίο κανονικοποιείται έτσι ώστε το μέτρο Λεμπέσγκ του μοναδιαίου κύβου [0,1]^d να είναι 1. Στην πραγματικότητα, για κάθε σύνολο Μπορέλ E,

$\lambda _{d}(E)=2^{-d}\alpha _{d}H^{d}(E),$

όπου α_d είναι ο όγκος της μοναδιαίας σφαίρας d- μπορεί να αποτυπωθεί χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση γάμμα του Όιλερ.

$\alpha _{d}={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)^{d}}{\Gamma \left({\frac {d}{2}}+1\right)}}={\frac {\pi ^{d/2}}{\Gamma \left({\frac {d}{2}}+1\right)}}.$

Αυτό σημαίνει

$\lambda _{d}(E)=\beta _{d}H^{d}(E)$,

όπου $\beta _{d}$ είναι ο όγκος της σφαίρας διαμέτρου d.

Παρατήρηση. Μερικοί συγγραφείς υιοθετούν έναν ορισμό του μέτρου Χάουσντορφ ελαφρώς διαφορετικό από αυτόν που επιλέγεται εδώ, με τη διαφορά ότι η τιμή $H^{d}(E)$ που ορίζεται παραπάνω πολλαπλασιάζεται με τον παράγοντα $\beta _{d}=2^{-d}\alpha _{d}$, έτσι ώστε το d-διάστατο μέτρο Χάουσντορφ να συμπίπτει ακριβώς με το μέτρο Λεμπέσγκ στην περίπτωση του Ευκλείδειου χώρου.

Σχέση με τη διάσταση Χάουσντορφ

Κύριο λήμμα: Διάσταση Χάουσντορφ

Αποδεικνύεται ότι το $H^{d}(S)$ μπορεί να έχει πεπερασμένη, μη μηδενική τιμή για το πολύ ένα $d$. Δηλαδή, το Μέτρο Χάουστορφ είναι μηδέν για οποιαδήποτε τιμή πάνω από μια ορισμένη διάσταση και άπειρο κάτω από μια ορισμένη διάσταση, κατ' αναλογία με την ιδέα ότι το εμβαδόν μιας γραμμής είναι μηδέν και το μήκος ενός δισδιάστατου σχήματος είναι κατά μία έννοια άπειρο. Αυτό οδηγεί σε έναν από τους πολλούς πιθανούς ισοδύναμους ορισμούς της διάστασης Χάουσντορφ:

$\dim _{\mathrm {Haus} }(S)=\inf\{d\geq 0:H^{d}(S)=0\}=\sup\{d\geq 0:H^{d}(S)=\infty \},$

όπου λαμβάνουμε $\inf \emptyset =+\infty$ και $\sup \emptyset =0$.

Ας σημειωθεί ότι δεν είναι εγγυημένο ότι το μέτρο Χάουσντορφ πρέπει να είναι πεπερασμένο και μη μηδενικό για κάποιο d, και μάλιστα το μέτρο στη διάσταση Χάουσντορφ μπορεί να εξακολουθεί να είναι μηδέν- σε αυτή την περίπτωση, η διάσταση Χάουσντορφ εξακολουθεί να λειτουργεί ως σημείο αλλαγής μεταξύ μέτρων μηδέν και απείρου.

Γενικεύσεις

Στη γεωμετρική θεωρία μέτρων και σε συναφή πεδία, το περιεχόμενο Μινκόφσκι χρησιμοποιείται συχνά για να μετρήσει το μέγεθος ενός υποσυνόλου ενός μετρικού χώρου μέτρων. Για κατάλληλες περιοχές στον Ευκλείδειο χώρο, οι δύο έννοιες του μεγέθους συμπίπτουν, μέχρι συνολικών κανονικοποιήσεων ανάλογα με τις συμβάσεις. Πιο συγκεκριμένα, ένα υποσύνολο του $\mathbb {R} ^{n}$ λέγεται ότι είναι |$m$-ορθωτό αν είναι η εικόνα ενός φραγμένου συνόλου στον $\mathbb {R} ^{m}$ υπό μια συνάρτηση του Λίπσιτς. Αν $m<n$, τότε το $m$-διάστατο περιεχόμενο Μινκόφσκι ενός κλειστού $m$-ορθολογικού υποσυνόλου του $\mathbb {R} ^{n}$ είναι ίσο με $2^{-m}\alpha _{m}$ επί το $m$-διάστατο μέτρο Χάουστορφ (Federer 1969, Theorem 3.2.29).

Στην μορφοκλασματική γεωμετρία, ορισμένα fractals με διάσταση Χάουστορφ $d$ έχουν μηδενικό ή άπειρο $d$-διάστατο μέτρο Χάουστορφ. Παραδείγματος χάριν, θεωρείται σχεδόν βέβαιο ότι η εικόνα της επίπεδης κίνηση Μπράουν έχει διάσταση Χάουστορφ 2 και το δισδιάστατο μέτρο Χάουστορφ είναι μηδέν. Προκειμένου να "μετρήσουμε" το "μέγεθος" τέτοιων συνόλων, μπορεί να θεωρηθεί η ακόλουθη παραλλαγή της έννοιας του μέτρου Χάουσντορφ:

Στον ορισμό του μέτρου $(\operatorname {diam} U_{i})^{d}$ αντικαθίσταται με $\phi (U_{i}),$ όπου $\phi$ είναι οποιαδήποτε μονοτονική αυξανόμενη συνάρτηση συνόλου που ικανοποιεί $\phi (\emptyset )=0.$

Αυτό είναι το μέτρο Hausdorff του $S$ με τη συνάρτηση μέτρου $\phi ,$ ή μέτρο $\phi$-Χάουσντορφ. Ένα $d$-διάστατο σύνολο $S$ μπορεί να ικανοποιεί $H^{d}(S)=0,$ αλλά $H^{\phi }(S)\in (0,\infty )$ με κατάλληλο $\phi .$ Παραδείγματα συναρτήσεων μέτρου περιλαμβάνουν

$\phi (t)=t^{2}\log \log {\frac {1}{t}}\quad {\text{or}}\quad \phi (t)=t^{2}\log {\frac {1}{t}}\log \log \log {\frac {1}{t}}.$

Η πρώτη δίνει σχεδόν σίγουρα θετικό και $\sigma$-πεπεπερασμένο μέτρο στο μονοπάτι Μπράουν στο $\mathbb {R} ^{n}$ όταν $n>2$, και η δεύτερη όταν $n=2$.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• «FracLac User's Guide».  An online guide to lacunarity theory and analysis using free, open source biological imaging software.

Βιβλιογραφία

• Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992), Measure Theory and Fine Properties of Functions, CRC Press .
• Federer, Herbert (1969), Geometric Measure Theory, Springer-Verlag, ISBN 3-540-60656-4 .
• Hausdorff, Felix (1918), «Dimension und äusseres Mass», Mathematische Annalen 79 (1–2): 157–179, doi:10.1007/BF01457179, http://dml.cz/bitstream/handle/10338.dmlcz/100363/CzechMathJ_09-1959-3_5.pdf .
• Morgan, Frank (1988), Geometric Measure Theory, Academic Press .
• Rogers, C. A. (1998), Hausdorff measures, Cambridge Mathematical Library (3rd έκδοση), Cambridge University Press, ISBN 0-521-62491-6 
• Szpilrajn, E (1937), «La dimension et la mesure», Fundamenta Mathematicae 28: 81–89, doi:10.4064/fm-28-1-81-89, http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm28/fm28111.pdf .

Δείτε επίσης

• Αλγόριθμος διαμαντιού τετραγώνου
• Καμπύλη που γεμίζει το χώρο
• Νιφάδα του Κοχ
• Καμπύλη Χίλμπερτ
• Καμπύλη του δράκου
• Σπόγγος του Μένγκερ

• Σύνολο Μάντελμπροτ
• Σύνολο Julia
• Σύνολο Κάντορ
• Οικοδομήσιμο Σύμπαν