Φραγμένο σύνολο
Στην μαθηματική ανάλυση, ένα σύνολο ονομάζεται φραγμένο, αν κατά κάποιο τρόπο είναι περιορισμένου μεγέθους. Αντιστρόφως, ένα σύνολο το οποίο δεν περιορίζεται ονομάζεται μη φραγμένο ή απέραντο. Η λέξη φραγμένο δεν έχει κανένα νόημα σε ένα γενικό τοπολογικό χώρο, χωρίς κάποια μετρική.
Ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Ένα σύνολο S πραγματικών αριθμών ονομάζεται άνω φραγμένο, αν υπάρχει ένας πραγματικός αριθμός k έτσι ώστε να ισχύει k ≥ s για όλους s στο S.[1][2] Ο αριθμός κ ονομάζεται ανώτερο όριο ή άνω φράγμα του S. Οι όροι κάτω φραγμένο και κατώτερο όριο ή κάτω φράγμα ορίζονται ομοίως.
Ένα σύνολο S είναι φραγμένο αν έχει άνω και κάτω όρια. Ως εκ τούτου, το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι φραγμένο αν περιέχεται σε ένα πεπερασμένο διάστημα.
Μετρικός χώρος[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Ένα υποσύνολο S ενός μετρικού χώρου (M, d) είναι φραγμένο εάν περιέχεται σε μια μπάλα πεπερασμένης ακτίνας, δηλαδή εάν υπάρχει x στον Μ και r>0 έτσι ώστε για όλα τα s στο S, να έχουμε d(x, s) < r. Ο M είναι ένας φραγμένος μετρικός χώρος (ή η d είναι μια φραγμένη μετρική) εάν ο Μ είναι φραγμένος ως υποσύνολο του εαυτού του.
- Ο πλήρως οριοθετημένος χώρος συνεπάγεται οριοθέτηση. Για υποσύνολα του Rn που είναι ισοδύναμα τα δύο.
- Ένας μετρικός χώρος είναι συμπαγής αν και μόνον αν είναι πλήρης και οριοθετείται πλήρως.
- Ένα υποσύνολο Ευκλείδειου χώρου Rn είναι συμπαγές αν και μόνον αν είναι κλειστό και φραγμένο.
Οριοθέτηση σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Στους τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους υφίσταται ένας διαφορετικός ορισμός για τα φραγμένα σύνολα, ο οποίος ονομάζεται και οριοθέτηση von Neumann. Οι δύο ορισμοί συμπίπτουν, εάν η τοπολογία του τοπολογικού διανυσματικού χώρου επάγεται από κάποια μετρική η οποία είναι ομοιογενής, όπως στην περίπτωση μιας μετρικής που προκαλείται από τη νόρμα του διανυσματικού χώρου.
Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
- ↑ Ζυγκιρίδης, Θ. «Μαθηματική ανάλυση Ι: Σύνολα, πραγματικοί αριθμοί» (PDF). Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών. Ανακτήθηκε στις 10 Ιουλίου 2023.
- ↑ Παπαδημητράκης, Μ. «Ανάλυση 1 σε 39 μαθήματα» (PDF). Πανεπιστήμιο Κρήτης. Ανακτήθηκε στις 10 Ιουλίου 2023.
- R. G. Bartle & D. R. Sherbert, Introduction to Real Analysis, Limusa S.A., 2009.
- Robert D. Richmyer, Principles of advanced mathematical physics, Springer-Verlag, New York, 1978.