Κανονικό σχήμα

Η καμπύλη $x^{3}-y^{2}=0$ δεν είναι κανονική, επειδή $t\to (t^{2},t^{3})$ είναι ένας πεπερασμένος διαιρετικός μορφισμός από A'¹ στην καμπύλη, ο οποίος δεν είναι ισομορφισμός.

Στην αλγεβρική γεωμετρία, μια αλγεβρική ποικιλία ή ένα σχήμα X μπορεί να θεωρηθεί κανονικό σχήμα αν είναι κανονικό σε οποιοδήποτε σημείο, πράγμα που σημαίνει ότι ο τοπικός δακτύλιος στο σημείο αυτό είναι μια πλήρως κλειστή περιοχή. Μια αφινική ποικιλία X (που νοείται ως μη αναγώγιμη) είναι κανονική εάν και μόνο εάν ο δακτύλιος O(X) των κανονικών συναρτήσεων στη X μια ολοκληρωτικά κλειστή περιοχή. Μια ποικιλία X πάνω σε ένα πεδίο είναι κανονική αν και μόνο αν κάθε πεπερασμένος αμφίρητος μορφισμός από μια ποικιλία Y στη X είναι ισομορφισμός.

Οι κανονικές ποικιλίες εισήχθησαν από τον Ζαρίσκι (Zariski (1939, section III).

Γεωμετρικές και αλγεβρικές ερμηνείες της κανονικότητας

Ένας μορφισμός ποικιλιών είναι πεπερασμένος αν η αντίστροφη εικόνα κάθε σημείου είναι πεπερασμένη και ο μορφισμός είναι γνήσιος.

Ένας μορφισμός ποικιλιών είναι αμφίρητος αν περιορίζεται σε ισομορφισμό μεταξύ πυκνών ανοικτών υποσυνόλων. Έτσι, λόγου χάριν, η κυβική καμπύλη X στο αφινικό επίπεδο A² που ορίζεται από τη σχέση x² = y³ δεν είναι κανονική, επειδή υπάρχει ένας πεπερασμένος αμφίρητος μορφισμός A¹ → X (δηλαδή το t απεικονίζει το (t³, t²)) που δεν είναι ισομορφισμός. Αντίθετα, η αφινική ευθεία A¹ είναι κανονική: δεν μπορεί να απλοποιηθεί περαιτέρω με πεπερασμένους αμφίρητους μορφισμούς.

Μια κανονική μιγαδική ποικιλία X έχει την ιδιότητα, όταν θεωρείται ως στρωματοποιημένος χώρος με την κλασική τοπολογία, ότι κάθε σύνδεσμος είναι συνδεδεμένος. Ισοδύναμα, κάθε μιγαδικό σημείο x έχει αυθαίρετα μικρές γειτονιές U τέτοιες ώστε το U μείον το ιδιάζον σύνολο του X να είναι συνδεδεμένο. Παραδείγματος χάριν, προκύπτει ότι η κομβική κυβική καμπύλη X του σχήματος, που ορίζεται από τη σχέση x² = y²(y + 1), δεν είναι κανονική. Αυτό προκύπτει επίσης από τον ορισμό της κανονικότητας, αφού υπάρχει ένας πεπερασμένος αμφίρητος μορφισμός από το A¹ στο X που δεν είναι ισομορφισμός- στέλνει δύο σημεία του A¹ στο ίδιο σημείο του X.

Καμπύλη y² = x²(x + 1)

Γενικότερα, ένα σχήμα X είναι κανονικό αν κάθε ένας από τους τοπικούς δακτυλίους του

O_X,x

είναι μια ολοκληρωτικά κλειστή περιοχή. Δηλαδή, κάθε ένας από αυτούς τους δακτυλίους είναι ένα ολοκληρωτικό πεδίο R, και κάθε δακτύλιος S με R ⊆ S ⊆ Frac(R) έτσι ώστε ο S να παράγεται πεπερασμένα ως R-module είναι ίσος με τον R. (Εδώ Frac(R) συμβολίζει το πεδίο των κλασμάτων του R). Αυτό είναι μια άμεση μεταγραφή, ως προς τους τοπικούς δακτυλίους, της γεωμετρικής συνθήκης ότι κάθε πεπερασμένος αμφίρητος μορφισμός στο X είναι ισομορφισμός.

Μια παλαιότερη έννοια είναι ότι μια υποδιαίρεση X του προβολικού χώρου είναι γραμμικά κανονική αν το γραμμικό σύστημα που δίνει την ενσωμάτωση είναι πλήρες. Ισοδύναμα, το X ⊆ Pⁿ δεν είναι η γραμμική προβολή μιας ενσωμάτωσης X ⊆ Pⁿ⁺¹ (εκτός αν το X περιέχεται σε ένα υπερεπίπεδο Pⁿ). Αυτή είναι η έννοια του «κανονικού» στις εκφράσεις ρητή κανονική καμπύλη και ρητή κανονική κύλιση.

Κάθε κανονικό σχήμα είναι κανονικό. Αντίστροφα, ο Ζαρίσκι (Zariski (1939, theorem 11)) έδειξε ότι κάθε κανονική ποικιλία είναι κανονική έξω από ένα υποσύνολο συνδιαστάσεων τουλάχιστον 2, και ένα παρόμοιο αποτέλεσμα ισχύει για τα σχήματα. έτσι, παραδείγματος χάριν, κάθε κανονική καμπύλη είναι κανονική.

Κανονικοποίηση

Κάθε μειωμένο σχήμα X έχει μια μοναδική κανονικοποίηση: ένα κανονικό σχήμα Y με έναν ολοκληρωτικό αμφίρητο μορφισμό Y → X. (Για X μια ποικιλία πάνω σε ένα πεδίο, ο μορφισμός Y → X είναι πεπερασμένος, πράγμα που είναι ισχυρότερο από το «ολοκληρωτικός») Η κανονικοποίηση ενός σχήματος διάστασης 1 είναι κανονική, και η κανονικοποίηση ενός σχήματος διάστασης 2 έχει μόνο απομονωμένες ιδιομορφίες. Η κανονικοποίηση δεν χρησιμοποιείται συνήθως για την επίλυση ιδιομορφιών για σχήματα υψηλότερης διάστασης.

Για να ορίσουμε την κανονικοποίηση, υποθέτουμε πρώτα ότι το X είναι ένα μη αναγωγήσιμο μειωμένο σχήμα X. Κάθε αφινικό ανοικτό υποσύνολο του X έχει τη μορφή Spec R με το R ένα ολοκληρωτικό πεδίο. Γράφουμε το X ως ένωση των αφινικών ανοικτών υποσυνόλων Spec A_i. Έστω B_i το ολοκληρωτικό κλείσιμο του A_i στο κλασματικό του πεδίο. Τότε η κανονικοποίηση του X ορίζεται με τη συγκόλληση των αφινικών συστημάτων Spec B_i.

Εάν το αρχικό σχήμα δεν είναι μη αναγώγιμο, η κανονικοποίηση ορίζεται ως η διαζευκτική ένωση των κανονικοποιήσεων των μη αναγώγιμων συνιστωσών.

Παραδείγματα

Κανονικοποίηση μιας κορυφής

Ας θεωρήσουμε την αφινική καμπύλη

$C={\text{Spec}}\left({\frac {k[x,y]}{y^{2}-x^{5}}}\right)$

με την ιδιομορφία της άκρης στην αρχή. Η κανονικοποίησή του μπορεί να δοθεί από τον χάρτη

${\text{Spec}}(k[t])\to C$

που προκύπτει από τον αλγεβρικό χάρτη

$x\mapsto t^{2},y\mapsto t^{5}$

Κανονικοποίηση των αξόνων στο αφινικό επίπεδο

Παραδείγματος χάριν,

$X={\text{Spec}}(\mathbb {C} [x,y]/(xy))$

δεν είναι μη αναγώγιμο σχήμα, δεδομένου ότι έχει δύο συνιστώσες. Η κανονικοποίησή του δίνεται από τον μορφισμό σχήματος

${\text{Spec}}(\mathbb {C} [x,y]/(x)\times \mathbb {C} [x,y]/(y))\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} [x,y]/(xy))$

που επάγεται από τους δύο πηλίκο χάρτες

$\mathbb {C} [x,y]/(xy)\to \mathbb {C} [x,y]/(x,xy)=\mathbb {C} [x,y]/(x)$

$\mathbb {C} [x,y]/(xy)\to \mathbb {C} [x,y]/(y,xy)=\mathbb {C} [x,y]/(y)$

Κανονικοποίηση της αναγώγιμης προβολικής ποικιλίας

Ομοίως, για ομογενή μη αναγώγιμα πολυώνυμα $f_{1},\ldots ,f_{k}$ σε μια UFD, η κανονικοποίηση της

${\text{Proj}}\left({\frac {k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1}\cdots f_{k},g)}}\right)$

δίνεται από τον μορφισμό

${\text{Proj}}\left(\prod {\frac {k[x_{0}\ldots ,x_{n}]}{(f_{i},g)}}\right)\to {\text{Proj}}\left({\frac {k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1}\cdots f_{k},g)}}\right)$

Δημοσιεύσεις

• Eisenbud, David (1995), Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry., Graduate Texts in Mathematics, 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN 978-0-387-94268-1 
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157, p. 91, p. 91
• Zariski, Oscar (1939), «Some Results in the Arithmetic Theory of Algebraic Varieties.», Amer. J. Math. 61 (2): 249–294, doi:10.2307/2371499 

Δείτε επίσης

• Algebraic Geometry
• Αλγεβρική ποικιλία
• Τοπολογία

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Regular scheme - Encyclopedia of Math
• Crystalline Cohomology of Superschemes
• The Affine Class Group of a Normal Scheme
• Algebraic Geometry: A First Course
• Mixed Motives