Κανονική ακολουθία

Για την κανονική ακολουθία Κωσύ, δείτε Ακολουθία Κωσύ § Στα εποικοδομητικά μαθηματικά.

Στην αντιμεταθετική άλγεβρα, μια κανονική ακολουθία^[1] είναι μια ακολουθία στοιχείων ενός αντιμεταθετικού δακτυλίου τα οποία είναι όσο το δυνατόν πιο ανεξάρτητα, με μια ακριβή έννοια. Πρόκειται για το αλγεβρικό ανάλογο της γεωμετρικής έννοιας της πλήρους τομής^[2].

Ορισμοί[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Για έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο R και ένα R-module M, ένα στοιχείο r στον R χαρακτηρίζεται ως μη μηδενικός διαιρέτης στον M αν r m = 0 συνεπάγεται m = 0 για m στον M. Μία M-κανονική ακολουθία είναι μια ακολουθία

r₁, ..., r_d in R

έτσι ώστε το r_i να μην είναι μηδενικός διαιρέτης στο M/(r₁, ..., r_i-1)M για i = 1, ..., d.^[3] Ορισμένοι συγγραφείς απαιτούν επίσης το M/(r₁, ..., r_d)M να μην είναι μηδενικό. Διαισθητικά, το να λέμε ότι τα r₁, ..., r_d είναι μια M-κανονική ακολουθία σημαίνει ότι αυτά τα στοιχεία «κόβουν» το M όσο το δυνατόν περισσότερο, όταν περνάμε διαδοχικά από το M στο M/(r₁)M, στο M/(r₁, r₂)M, και ούτω καθεξής.

Μια R-κανονική ακολουθία ονομάζεται απλά κανονική ακολουθία. Δηλαδή, r₁, ..., r_d είναι μια κανονική ακολουθία αν r₁ είναι ένας μη μηδενικός διαιρέτης στον R, r₂ είναι ένας μη μηδενικός διαιρέτης στον δακτύλιο R/(r₁), και ούτω καθεξής. Σε γεωμετρική γλώσσα, αν το X είναι ένα αφινικό σχήμα και τα r1, ..., rd είναι μια κανονική ακολουθία στον δακτύλιο των κανονικών συναρτήσεων στο X, τότε λέμε ότι το κλειστό υποσύστημα {r₁=0, ..., r_d=0} ⊂ X είναι ένα πλήρες υποσύστημα τομής του X.

Η ύπαρξη κανονικής ακολουθίας μπορεί να εξαρτάται από τη σειρά των στοιχείων. Παραδείγματος χάριν,x, y(1-x), z(1-x) είναι μια κανονική ακολουθία στον πολυωνυμικό δακτύλιο C[x, y, z], ενώ y(1-x), z(1-x), x δεν είναι μια κανονική ακολουθία. Αλλά αν ο R είναι ένας τοπικός Ναιτεριανός δακτύλιος και τα στοιχεία r_i βρίσκονται στο μέγιστο ιδεώδες, ή αν ο R είναι ένας βαθμωτός δακτύλιος και τα r_i είναι ομογενή θετικού βαθμού, τότε κάθε μετάθεση μιας κανονικής ακολουθίας είναι μια κανονική ακολουθία.

Έστω R ένας Ναιτεριανός δακτύλιος, I ένα ιδεώδες στον R, και M ένα πεπερασμένο R-σύνολο. Το βάθος του I στο M, που γράφεται depth_R(I, M) ή απλά depth(I, M), είναι το άθροισμα των μηκών όλων των M-κανονικών ακολουθιών των στοιχείων του I. Όταν ο R είναι ένας τοπικός Ναιτεριανός δακτύλιος και ο M είναι ένα πεπερασμένο R-module, το βάθος του M, που γράφεται depth_R(M) ή απλά depth(M), σημαίνει depth_R(m, M), δηλαδή είναι το υπέρτατο των μηκών όλων των M-κανονικών ακολουθιών στο μέγιστο ιδεώδες m του R. Ειδικότερα, το βάθος ενός Ναιτεριανού τοπικού δακτυλίου R σημαίνει το βάθος του R ως R-σύνολο. Δηλαδή, το βάθος του R είναι το μέγιστο μήκος μιας κανονικής ακολουθίας στο μέγιστο ιδεώδες.

Για ένα Ναιτεριανό τοπικό δακτύλιο R, το βάθος της μηδενικής ενότητας είναι ∞,^[4] ενώ το βάθος μιας μη μηδενικής πεπερασμένης R-ενότητας M είναι το πολύ η διάσταση Κρουλ του M (που ονομάζεται επίσης διάσταση της υποστήριξης του M).^[5]

Παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έχοντας ένα ολοκληρωτικό πεδίο $R$ κάθε μη μηδενικό $f\in R$ δίνει μια κανονική ακολουθία.
Για έναν πρώτο αριθμό p, ο τοπικός δακτύλιος Z_(p) είναι ο υποδακτύλιος των ρητών αριθμών που αποτελείται από κλάσματα των οποίων ο παρονομαστής δεν είναι πολλαπλάσιο του p. Το στοιχείο p είναι ένας μη μηδενικός διαιρέτης στον Z_(p), και ο πηλίκο του Z_(p) με το ιδανικό που παράγεται από το p είναι το σώμα Z/(p). Επομένως, το p δεν μπορεί να επεκταθεί σε μια μεγαλύτερη κανονική ακολουθία στο μέγιστο ιδεώδες (p), και στην πραγματικότητα ο τοπικός δακτύλιος Z_(p) έχει βάθος 1.
Για οποιοδήποτε σώμα k, τα στοιχεία x₁, ..., x_n στον πολυωνυμικό δακτύλιο A = k[x₁, ..., x_n] σχηματίζουν μια κανονική ακολουθία. Προκύπτει ότι ο εντοπισμός R του A στο μέγιστο ιδεώδες m = (x₁, ..., x_n) έχει βάθος τουλάχιστον n. Στην πραγματικότητα, το R έχει βάθος ίσο με n, δηλαδή δεν υπάρχει κανονική ακολουθία στο μέγιστο ιδεώδες με μήκος μεγαλύτερο από n.
Γενικότερα, έστω R ένας κανονικός τοπικός δακτύλιος με μέγιστο ιδεώδες m. Τότε όλα τα στοιχεία r₁, ..., r_d του m που αντιστοιχούν σε μια βάση για το m/m² ως R/m-διανυσματικό χώρο σχηματίζουν μια κανονική ακολουθία.

Μια σημαντική περίπτωση είναι όταν το βάθος ενός τοπικού δακτυλίου R είναι ίσο με τη διάσταση Κρουλ: Τότε ο R λέγεται ότι είναι Κοέν-Μακόλεϊ. Τα τρία παραδείγματα που παρουσιάζονται είναι όλοι δακτύλιοι Κοέν-Μακόλεϊ. Παρομοίως, ένα πεπερασμένα παραγόμενο R-module M λέγεται ότι είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν το βάθος του ισούται με τη διάστασή του.

Μη παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένα απλό μη-παράδειγμα κανονικής ακολουθίας δίνεται από την ακολουθία $(xy,x^{2})$ των στοιχείων της $\mathbb {C} [x,y]$ since

\cdot x^{2}:{\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(xy)}}\to {\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(xy)}}

έχει έναν μη τετριμμένο πυρήνα που δίνεται από το ιδεώδες $(y)\subset \mathbb {C} [x,y]/(xy)$ . Παρόμοια παραδείγματα μπορούν να βρεθούν εξετάζοντας τους ελάχιστους γεννήτορες για τα ιδεώδη που παράγονται από αναγώγιμα σχήματα με πολλαπλές συνιστώσες και παίρνοντας το υποσύστημα μιας συνιστώσας, αλλά παχυνόμενο.

Εφαρμογές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αν r₁, ..., r_d είναι μια κανονική ακολουθία σε έναν δακτύλιο R, τότε το σύμπλοκο Κοσζύλ (Koszul)^[6] είναι μια ρητή ελεύθερη ανάλυση του R/(r₁, ..., r_d) ως R-module, της μορφής:

0\rightarrow R^{\binom {d}{d}}\rightarrow \cdots \rightarrow R^{\binom {d}{1}}\rightarrow R\rightarrow R/(r_{1},\ldots ,r_{d})\rightarrow 0

Στην ειδική περίπτωση όπου ο R είναι ο πολυωνυμικός δακτύλιος k[r₁, ..., r_d], αυτό δίνει μια ανάλυση του k ως R- module (Πρότυπο).

Αν το I είναι ένα ιδεώδες που παράγεται από μια κανονική ακολουθία σε έναν δακτύλιο R, τότε ο σχετικός βαθμωτός δακτύλιος

\oplus _{j\geq 0}I^{j}/I^{j+1}

είναι ισόμορφος με τον πολυωνυμικό δακτύλιο (R/I)[x₁, ..., x_d]. Με γεωμετρικούς όρους, προκύπτει ότι ένας τοπικός δακτύλιος διατομής Y οποιουδήποτε σχήματος X έχει μια κανονική δέσμη που είναι διανυσματική δέσμη, ακόμη και αν το Y ενδέχεται να είναι ιδιάζον.