Θεώρημα τεμνουσών

Το θεώρημα τεμνουσών λέει ότι ${\rm {PA\cdot PB=P\Gamma \cdot P\Delta }}$.

Στην γεωμετρία, το θεώρημα των τεμνουσών είναι μία μετρική σχέση για δύο τέμνουσες ενός κύκλου που διέρχονται από το ίδιο σημείο. Είναι ειδική περίπτωση της δύναμης σημείου ως προς κύκλου.

Πιο συγκεκριμένα, έστω ένας κύκλος με κέντρο ${\rm {O}}$ και δύο τέμνουσες του που διέρχονται από το σημείο ${\rm {P}}$ (εξωτερικό του κύλου) και τέμνουν τον κύκλο στα σημεία ${\rm {A,B}}$ και ${\rm {\Gamma ,\Delta }}$ αντίστοιχα. Τότε, ισχύει ότι

${\rm {PA\cdot PB=P\Gamma \cdot P\Delta }}$.

Απόδειξη

Τα τρίγωνα ${\rm {PA\Delta }}$ και ${\rm {P\Gamma B}}$ είναι όμοια.

Η απόδειξη προκύπτει από το γεγονός ότι τα τρίγωνα ${\rm {PB\Gamma }}$ και ${\rm {PA\Delta }}$ είναι όμοια. Τα τρίγωνα αυτά είναι όμοια καθώς έχουν δύο γωνίες ίσες:

• ${\rm {\angle PB\Gamma =\angle P\Delta A}}$, ως εγγεγραμμένες γωνίες στο τόξο ${\rm {A\Gamma }}$, και
• η γωνία ${\rm {\hat {P}}}$ είναι κοινή.

Επομένως, έχουμε ότι

${\rm {{\frac {PA}{P\Gamma }}={\frac {P\Delta }{PB}}}}$.

Πολλαπλασιάζοντας χιαστί καταλήγουμε στην ζητούμενη σχέση.

Δείτε επίσης

• Δύναμη σημείου ως προς κύκλο
• Θεώρημα τεμνόμενων χορδών
• Θεώρημα τέμνουσας και εφαπτόμενης