Επτά καταστάσεις τυχαιότητας

Οι επτά καταστάσεις τυχαιότητας στη θεωρία πιθανοτήτων, τα φράκταλ και την ανάλυση κινδύνου αποτελούν επεκτάσεις της έννοιας της τυχαιότητας όπως αυτή διαμορφώνεται από την κανονική κατανομή. Αυτές οι επτά καταστάσεις εισήχθησαν για πρώτη φορά από τον Μπενουά Μάντελμπροτ στο βιβλίο του με τίτλο " Φράκταλ και κλιμάκωση στα χρηματοοικονομικά" το 1997, το οποίο εφάρμοσε την ανάλυση φράκταλ στη μελέτη του κινδύνου και της τυχαιότητας^[1]. Η ταξινόμηση αυτή βασίζεται στις τρεις κύριες καταστάσεις της τυχαιότητας: ήπια, αργή και άγρια.

Η σημασία της ταξινόμησης των επτά καταστάσεων τυχαιότητας για τη μαθηματική χρηματοοικονομική είναι ότι μέθοδοι όπως το χαρτοφυλάκιο μέσης διακύμανσης του Μάρκοβιτς και το μοντέλο Black-Scholes^[2] μπορεί να ακυρωθούν καθώς οι ουρές της κατανομής των αποδόσεων παχαίνουν: η πρώτη βασίζεται στην πεπερασμένη τυπική απόκλιση (μεταβλητότητα) και στη σταθερότητα της συσχέτισης, ενώ η δεύτερη είναι κατασκευασμένη πάνω στην κίνηση Μπράουν.

Ιστορία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αυτές οι επτά καταστάσεις βασίζονται σε προηγούμενες εργασίες του Μάντελμπροτ το 1963: " Οι διακυμάνσεις ορισμένων κερδοσκοπικών τιμών"^[3] και "Νέες μέθοδοι στη στατιστική οικονομία"^[4], στις οποίες υποστήριξε ότι τα περισσότερα στατιστικά μοντέλα προσέγγιζαν μόνο ένα πρώτο στάδιο αντιμετώπισης της απροσδιοριστίας στην επιστήμη και ότι αγνοούσαν πολλές πτυχές της αναταραχής του πραγματικού κόσμου, ιδίως στις περισσότερες περιπτώσεις χρηματοοικονομικής μοντελοποίησης.^[5]^[6] Αυτό παρουσιάστηκε στη συνέχεια από τον Μάντελμπροτ στο Διεθνές Συνέδριο Λογικής (1964) σε μια ομιλία με τίτλο "Η επιστημολογία της τύχης σε ορισμένες νεότερες επιστήμες"^[7].

Από διαισθητική άποψη, ο Μάντελμπροτ υποστήριξε^[7] ότι η παραδοσιακή κανονική κατανομή δεν αποτυπώνει σωστά τις εμπειρικές και "πραγματικές" κατανομές και ότι υπάρχουν άλλες μορφές τυχαιότητας που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη διαμόρφωση ακραίων μεταβολών στον κίνδυνο και την τυχαιότητα. Παρατήρησε ότι η τυχαιότητα μπορεί να γίνει αρκετά "άγρια" αν εγκαταλειφθούν οι απαιτήσεις σχετικά με την πεπερασμένη μέση τιμή και τη διακύμανση. Η άγρια τυχαιότητα αντιστοιχεί σε καταστάσεις στις οποίες μια μεμονωμένη παρατήρηση ή ένα συγκεκριμένο αποτέλεσμα μπορεί να επηρεάσει το σύνολο με πολύ δυσανάλογο τρόπο.

Η ταξινόμηση αυτή παρουσιάστηκε επίσημα στο βιβλίο του "Φράκταλ και Κλιμάκωση στα Χρηματοοικονομικά" (Fractals and Scaling in Finance), που δημοσιεύθηκε το 1997^[1] , ως ένας τρόπος κατανόησης των τριών κύριων καταστάσεων της τυχαιότητας: μαλακή, αργή και άγρια. Δεδομένων Ν προσθηκών, η μερισμός αφορά τη σχετική συμβολή των προσθηκών στο άθροισμά τους. Με τον όρο ομοιόμορφη μεριδοποίηση, ο Μάντελμπροτ εννοούσε ότι οι προσθήκες είναι της ίδιας τάξης μεγέθους, διαφορετικά θεωρούσε ότι η μεριδοποίηση είναι συγκεντρωτική. Δεδομένης της στιγμής τάξης q μιας τυχαίας μεταβλητής, ο Μάντελμπροτ ονόμασε τη ρίζα βαθμού q της εν λόγω στιγμής παράγοντα κλιμάκωσης (τάξης q).

Οι επτά καταστάσεις είναι οι εξής:

Σωστή ήπια τυχαιότητα: η βραχυχρόνια μεριδοποίηση είναι ομοιόμορφη για N = 2,, π.χ. η κανονική κατανομή
Οριακή ήπια τυχαιότητα: η βραχυχρόνια μερίδα είναι συγκεντρωμένη για N = 2, αλλά τελικά γίνεται ομοιόμορφη καθώς το N αυξάνεται, π.χ. η εκθετική κατανομή με ρυθμό λ = 1 (και έτσι με αναμενόμενη τιμή 1/λ = 1)
Αργή τυχαιότητα με πεπερασμένες αποκεντρωμένες ροπές: ο παράγοντας κλίμακας αυξάνεται ταχύτερα από το q αλλά όχι ταχύτερα από ${\sqrt[{w}]{q}}$ , w < 1
Αργή τυχαιότητα με πεπερασμένες και εντοπισμένες ροπές: ο συντελεστής κλίμακας αυξάνεται ταχύτερα από οποιαδήποτε δύναμη του q, αλλά παραμένει πεπερασμένος, π.χ. η λογαριθμική-κανονική κατανομή και, κυρίως, η περιορισμένη ομοιόμορφη κατανομή (η οποία από την κατασκευή της με πεπερασμένη κλίμακα για όλα τα q δεν μπορεί να είναι προ-άγρια τυχαιότητα).
Προ-άγρια τυχαιότητα: ο παράγοντας κλίμακας γίνεται άπειρος για q > 2, π.χ. η κατανομή Παρέτο με α = 2.5
Άγρια τυχαιότητα: άπειρη δεύτερη ροπή, αλλά πεπερασμένη ροπή κάποιας θετικής τάξης, π.χ. η κατανομή Παρέτο με $\alpha \leq 2$
Ακραία τυχαιότητα: όλες οι ροπές είναι άπειρες, π.χ. η κατανομή log-Cauchy

Η άγρια τυχαιότητα έχει εφαρμογές εκτός των χρηματοπιστωτικών αγορών, π.χ. έχει χρησιμοποιηθεί στην ανάλυση ταραχώδους κατάστασης, όπως οι άγριες δασικές πυρκαγιές^[8].

Χρησιμοποιώντας στοιχεία αυτής της διάκρισης, τον Μάρτιο του 2006, ένα χρόνο πριν από τη χρηματοπιστωτική κρίση του 2007-2010, και τέσσερα χρόνια πριν από το Flash crash του Μαΐου 2010, κατά τη διάρκεια του οποίου ο βιομηχανικός μέσος όρος του Ντάου Τζόουνς είχε ενδοημερήσια διακύμανση 1.000 μονάδων μέσα σε λίγα λεπτά,^[9] οι Μάντελμπροτ και Νασίμ Τάλεμπ δημοσίευσαν ένα άρθρο στους Φαϊνάνσιαλ Τάιμς υποστηρίζοντας ότι οι παραδοσιακές "καμπύλες καμπάνας" που χρησιμοποιούνται για πάνω από έναν αιώνα είναι ανεπαρκείς για τη μέτρηση του κινδύνου στις χρηματοπιστωτικές αγορές, δεδομένου ότι οι καμπύλες αυτές αγνοούν την πιθανότητα απότομων αλμάτων ή ασυνεχειών. Αντιπαραβάλλοντας την προσέγγιση αυτή με τις παραδοσιακές προσεγγίσεις που βασίζονται σε τυχαίους περιπάτους, δήλωσαν:^[10]

Ζούμε σε έναν κόσμο που καθοδηγείται κυρίως από τυχαία άλματα και τα εργαλεία που έχουν σχεδιαστεί για τυχαίους περιπάτους αντιμετωπίζουν λάθος πρόβλημα.

Οι Μάντελμπροτ και Τάλεμπ επεσήμαναν ότι, αν και μπορεί κανείς να υποθέσει ότι οι πιθανότητες να βρει ένα άτομο που έχει ύψος πολλών χιλιομέτρων είναι εξαιρετικά χαμηλές, παρόμοιες υπερβολικές παρατηρήσεις δεν μπορούν να αποκλειστούν σε άλλους τομείς εφαρμογής. Υποστήριξαν ότι ενώ οι παραδοσιακές καμπύλες καμπάνας μπορεί να παρέχουν μια ικανοποιητική αναπαράσταση του ύψους και του βάρους στον πληθυσμό, δεν παρέχουν κατάλληλο μηχανισμό μοντελοποίησης για τους κινδύνους ή τις αποδόσεις της αγοράς, όπου μόλις δέκα ημέρες διαπραγμάτευσης αντιπροσωπεύουν το 63% των αποδόσεων μεταξύ 1956 και 2006.

Ορισμοί[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Διπλή συνέλιξη[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Εάν η πιθανή πυκνότητα της $U=U'+U''$ συμβολίζεται με $p_{2}(u)$ , τότε μπορεί να προκύψει από τη διπλή συνέλιξη $p_{2}(x)=\int p(u)p(x-u)\,du$ .

Αναλογία μερίδων μικρής διάρκειας[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Όταν το u είναι γνωστό, η υπό συνθήκη πυκνότητα πιθανότητας u′ προκύπτει από την αναλογία διαμοιρασμού :

{\frac {p(u')p(u-u')}{p_{2}(u)}}

Συγκέντρωση σε λειτουργία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σε πολλές σημαντικές περιπτώσεις, το μέγιστο του $p(u')p(u-u')$ εμφανίζεται κοντά στο $u'=u/2$ ή κοντά στο $u'=0$ και $u'=u$ . Πάρτε τον λογάριθμο του $p(u')p(u-u')$ και γράψτε:

\Delta (u)=2\log p(u/2)-[\log p(0)+\log p(u)]

Αν το $\log p(u)$ είναι καμπυλόγραμμο, ο λόγος μερισμού είναι μέγιστος για $u'=u/2$
Εάν η $\log p(u)$ είναι ευθεία, ο λόγος μερισμού είναι σταθερός
Αν το $\log p(u)$ είναι κυρτό, ο λόγος μερίδας είναι ελάχιστος για $u'=u/2$ .

Συγκέντρωση πιθανοτήτων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η διάσπαση της διπλασιαστικής συνέλιξης σε τρία μέρη δίνει:

p_{2}(x)=\int _{0}^{x}p(u)p(x-u)\,du=\left\{\int _{0}^{\tilde {x}}+\int _{\tilde {x}}^{x-{\tilde {x}}}+\int _{x-{\tilde {x}}}^{x}\right\}p(u)p(x-u)\,du=I_{L}+I_{0}+I_{R}

Το p(u)είναι βραχυχρόνια συγκεντρωμένο σε πιθανότητα αν είναι δυνατόν να επιλεγεί ${\tilde {u}}(u)$ έτσι ώστε το μεσαίο διάστημα του ( ${\tilde {u}},u-{\tilde {u}}$ ) να έχει τις ακόλουθες δύο ιδιότητες καθώς u→∞:

I₀/p₂(u) → 0
$(u-2{\tilde {u}})u$ δεν είναι → 0

Εντοπισμένες και αποκεντρωμένες ροπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Θεωρούμε τον τύπο $\operatorname {E} [U^{q}]=\int _{0}^{\infty }u^{q}p(u)\,du$ , αν p(u) είναι η κατανομή κλιμάκωσης το ολοκλήρωμα έχει μέγιστο στις τιμές 0 και ∞, σε άλλες περιπτώσεις το ολοκλήρωμα μπορεί να έχει ένα απότομο συνολικό μέγιστο για κάποια τιμή ${\tilde {u}}_{q}$ που ορίζεται από την ακόλουθη εξίσωση:

0={\frac {d}{du}}(q\log u+\log p(u))={\frac {q}{u}}-\left|{\frac {d\log p(u)}{du}}\right|

Πρέπει επίσης να γνωρίζουμε το $u^{q}p(u)$ στη γειτονιά του ${\tilde {u}}_{q}$ . Η συνάρτηση $u^{q}p(u)$ συχνά δέχεται μια "γκαουσιανή" προσέγγιση που δίνεται από:

\log[u^{q}p(u)]=\log p(u)+qu={\text{constant}}-(u-{\tilde {u}}_{q})^{2}{\tilde {\sigma }}_{q}^{-2/2}

Όταν η $u^{q}p(u)$ προσεγγίζεται καλά από μια γκαουσιανή πυκνότητα, ο όγκος της $\operatorname {E} [U^{q}]$ προέρχεται από το "διάστημα "q που ορίζεται ως $[{\tilde {u}}_{q}-{\tilde {\sigma }}_{q},{\tilde {u}}_{q}+{\tilde {\sigma }}_{q}]$ . Τα γκαουσιανά q-διαστήματα επικαλύπτονται σε μεγάλο βαθμό για όλες τις τιμές του $\sigma$ . Οι γκαουσιανές ροπές ονομάζονται αποκεντρωμένες. Τα q-διαστήματα της λογαριθμοκανονικής είναι ομοιόμορφα διατεταγμένα και το πλάτος τους είναι ανεξάρτητο από το q. Επομένως, εάν η λογαριθμοκανονική είναι επαρκώς λοξή, το q-διάστημα και το (q + 1)-διάστημα δεν επικαλύπτονται. Οι ροπές της λογαριθμοκανονικής ονομάζονται ομοιόμορφα εντοπισμένες. Σε άλλες περιπτώσεις, τα γειτονικά q-διαστήματα παύουν να επικαλύπτονται για αρκετά υψηλό q, οι ροπές αυτές ονομάζονται ασυμπτωτικά εντοπισμένες.

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

↑ ^1,0 ^1,1 Benoît Mandelbrot (1997) Fractals and scaling in finance ISBN 0-387-98363-5 pages 136–142 https://books.google.com/books/about/Fractals_and_Scaling_in_Finance.html?id=6KGSYANlwHAC&redir_esc=y
↑ «What is the Black Scholes Option Pricing Model?». FutureLearn (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 31 Οκτωβρίου 2023.
↑ B. Mandelbrot, The variation of certain Speculative Prices, The Journal of Business 1963 [1]
↑ B. Mandelbrot, New methods in statistical economics, The Journal of Political Economy 1963 https://www.jstor.org/stable/1829014
↑ Benoit Mandelbrot, F.J. Damerau, M. Frame, and K. McCamy (2001) Gaussian Self-Affinity and Fractals ISBN 0-387-98993-5 page 20
↑ Philip Mirowski (2004) The effortless economy of science? ISBN 0-8223-3322-8 page 255
↑ ^7,0 ^7,1 B. Mandelbrot, Toward a second stage of indeterminism in Science, Interdisciplinary Science Reviews 1987 [2]
↑ The Economics of Forest Disturbances: Wildfires, Storms and Invasive Species by Thomas P. Holmes, Jeffrey P. Prestemon, and Karen L. Abt. 2008. Springer: Dordrecht, The Netherlands. 422 p. ISBN 978-1-4020-4369-7
↑ Wall Street Journal May 11, 2010
↑ Benoît Mandelbrot and Nassim Taleb (23 March 2006), "A focus on the exceptions that prove the rule", Financial Times.

[Mandelbrot1977-1] 1,0 ^1,1 Benoît Mandelbrot (1997) Fractals and scaling in finance ISBN 0-387-98363-5 pages 136–142 https://books.google.com/books/about/Fractals_and_Scaling_in_Finance.html?id=6KGSYANlwHAC&redir_esc=y

[2] «What is the Black Scholes Option Pricing Model?». FutureLearn (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 31 Οκτωβρίου 2023.

[3] B. Mandelbrot, The variation of certain Speculative Prices, The Journal of Business 1963 [1]

[4] B. Mandelbrot, New methods in statistical economics, The Journal of Political Economy 1963 https://www.jstor.org/stable/1829014

[5] Benoit Mandelbrot, F.J. Damerau, M. Frame, and K. McCamy (2001) Gaussian Self-Affinity and Fractals ISBN 0-387-98993-5 page 20

[6] Philip Mirowski (2004) The effortless economy of science? ISBN 0-8223-3322-8 page 255

[users.math.yale.edu-7] 7,0 ^7,1 B. Mandelbrot, Toward a second stage of indeterminism in Science, Interdisciplinary Science Reviews 1987 [2]

[8] The Economics of Forest Disturbances: Wildfires, Storms and Invasive Species by Thomas P. Holmes, Jeffrey P. Prestemon, and Karen L. Abt. 2008. Springer: Dordrecht, The Netherlands. 422 p. ISBN 978-1-4020-4369-7

[9] Wall Street Journal May 11, 2010

[10] Benoît Mandelbrot and Nassim Taleb (23 March 2006), "A focus on the exceptions that prove the rule", Financial Times.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]