Εκθέτης Χερστ

Ο εκθέτης Χερστ χρησιμοποιείται ως μέτρο της μακροχρόνιας μνήμης των χρονοσειρών. Σχετίζεται με τις αυτοσυσχετίσεις της χρονοσειράς και τον ρυθμό με τον οποίο αυτές μειώνονται καθώς αυξάνεται η υστέρηση μεταξύ ζευγών τιμών. Οι μελέτες που περιλαμβάνουν τον εκθέτη Χερστ αναπτύχθηκαν αρχικά στην υδρολογία για το πρακτικό ζήτημα του προσδιορισμού της βέλτιστης διαστασιολόγησης των φραγμάτων για τις ευμετάβλητες συνθήκες βροχής και ξηρασίας του ποταμού Νείλου που είχαν παρατηρηθεί για μεγάλο χρονικό διάστημα^[1]^[2]. Η ονομασία "εκθέτης Χερστ" ή "συντελεστής Χερστ" προκύπτει από τον Χάρολντ Έντουιν Χερστ (1880-1978), ο οποίος ήταν ο επικεφαλής ερευνητής αυτών των μελετών- η χρήση του τυποποιημένου συμβολισμού H για τον συντελεστή σχετίζεται επίσης με το όνομά του.

Στη μορφοκλασματική γεωμετρία, ο γενικευμένος εκθέτης Χερστ έχει συμβολιστεί με H ή H_q προς τιμήν τόσο του Χάρολντ Έντουιν Χερστ όσο και του Λούντβιχ Ότο Χόλντερ (1859-1937) από τον Μπενουά Μάντελμπροτ (1924-2010)^[3]. Ο H σχετίζεται άμεσα με τη φράκταλ διάσταση, D, και είναι ένα μέτρο της "ήπιας" ή "άγριας" τυχαιότητας μιας σειράς δεδομένων^[4].

Ο εκθέτης Χερστ αναφέρεται ως "δείκτης εξάρτησης" ή "δείκτης εξάρτησης μεγάλης εμβέλειας". Ποσοτικοποιεί τη σχετική τάση μιας χρονοσειράς είτε να υποχωρεί έντονα προς το μέσο είτε να συσσωρεύεται προς μια κατεύθυνση.^[5] Μια τιμή H στο εύρος 0,5-1 υποδηλώνει μια χρονοσειρά με μακροπρόθεσμη θετική αυτοσυσχέτιση, που σημαίνει ότι η μείωση της αυτοσυσχέτισης είναι πιο αργή από την εκθετική, ακολουθώντας ένα νόμο δύναμης- για τη σειρά σημαίνει ότι μια υψηλή τιμή τείνει να ακολουθείται από μια άλλη υψηλή τιμή και ότι συμβαίνουν μελλοντικές εξάρσεις σε πιο υψηλές τιμές. Μια τιμή στο εύρος 0 - 0,5 υποδηλώνει μια χρονοσειρά με μακροχρόνια εναλλαγή μεταξύ υψηλών και χαμηλών τιμών σε γειτονικά ζεύγη, που σημαίνει ότι μια ενιαία υψηλή τιμή θα ακολουθηθεί πιθανότατα από μια χαμηλή τιμή και ότι η τιμή μετά από αυτή θα τείνει να είναι υψηλή, με αυτή την τάση εναλλαγής μεταξύ υψηλών και χαμηλών τιμών να διαρκεί για μεγάλο χρονικό διάστημα στο μέλλον, ακολουθώντας επίσης ένα νόμο δύναμης. Μια τιμή H=0,5 υποδηλώνει βραχύχρονη μνήμη, με τις (απόλυτες) αυτοσυσχετίσεις να φθίνουν εκθετικά γρήγορα στο μηδέν.

Ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο εκθέτης Χερστ, H, ορίζεται ως προς την ασυμπτωτική συμπεριφορά του αναβαθμισμένου εύρους ως συνάρτηση της χρονικής διάρκειας μιας χρονοσειράς ως εξής^[6]^[7]

$\mathbb {E} \left[{\frac {R(n)}{S(n)}}\right]=Cn^{H}{\text{ as }}n\to \infty \,,$

όπου

$R(n)$ είναι το εύρος των πρώτων $n$ ασωρευτικών αποκλίσεων από τον μέσο όρο
$S(n)$ είναι η σειρά (άθροισμα) των πρώτων n τυπικών αποκλίσεων
$\mathbb {E} \left[x\right]\,$ είναι η αναμενόμενη τιμή
$n$ είναι η χρονική διάρκεια της παρατήρησης (αριθμός σημείων δεδομένων σε μια χρονοσειρά)
$C$ είναι μια σταθερά.

Σχέση με την μορφοκλασματική διάσταση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Για αυτοομοιογενείς χρονοσειρές, το H σχετίζεται άμεσα με τη μορφοκλασματική διάσταση, D, όπου 1 < D < 2, έτσι ώστε D = 2 - H. Οι τιμές του εκθέτη Hurst κυμαίνονται μεταξύ 0 και 1, με υψηλότερες τιμές να υποδηλώνουν μια πιο ομαλή τάση, λιγότερη μεταβλητότητα και λιγότερη τραχύτητα^[8].

Για γενικότερες χρονοσειρές ή πολυδιάστατες διαδικασίες, ο εκθέτης Χερστ και η διάσταση φράκταλ μπορούν να επιλεγούν ανεξάρτητα, καθώς ο εκθέτης Χερστ αντιπροσωπεύει τη δομή σε ασυμπτωτικά μεγαλύτερες περιόδους, ενώ η διάσταση φράκταλ αντιπροσωπεύει τη δομή σε ασυμπτωτικά μικρότερες περιόδους.^[9]

Εκτίμηση του εκθέτη[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στη βιβλιογραφία έχουν προταθεί διάφοροι εκτιμητές της εξάρτησης μεγάλης εμβέλειας. Ο παλαιότερος και πιο γνωστός είναι η λεγόμενη ανάλυση με αναπροσαρμοσμένο εύρος (R/S) που έγινε δημοφιλής από τους Μάντελμπροτ και Γουάλις^[3]^[10] και βασίζεται σε προηγούμενα υδρολογικά ευρήματα του Χερστ^[1]. Εναλλακτικές λύσεις περιλαμβάνουν την DFA, την παλινδρόμηση περιοδόγραμματος^[11], τις συγκεντρωτικές αποκλίσεις^[12], τον τοπικό εκτιμητή του Γουίτλ^[13], την ανάλυση κυματιδίων^[14]^[15], τόσο στο πεδίο του χρόνου όσο και στο πεδίο της συχνότητας.

Ανάλυση εύρους με αναβαθμισμένη κλίμακα (R/S)[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Για να εκτιμηθεί ο εκθέτης Χερστ, απαιτείται πρώτα να εκτιμηθεί η εξάρτηση του μεταβαλλόμενου εύρους από τη χρονική διάρκεια n της παρατήρησης^[7]. Μια χρονοσειρά πλήρους μήκους N διαιρείται σε έναν αριθμό μικρότερων χρονοσειρών μήκους n = N, N/2, N/4, ... Στη συνέχεια, υπολογίζεται το μέσο εύρος μεταβαλλόμενης κλίμακας για κάθε τιμή του n.

Για μια (μερική) χρονοσειρά μήκους $n$ , $X=X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\,$ , το αναβαθμισμένο εύρος υπολογίζεται ως εξής:^[6]^[7]

Υπολογίζουμε το μέσο όρο, $m={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\,.$
Δημιουργούμε μια σειρά με διορθωμένο μέσο όρο, $Y_{t}=X_{t}-m\quad {\text{ για }}t=1,2,\dots ,n\,.$
Υπολογίζουμε τη σωρευτική σειρά αποκλίσεων $Z$ ; $Z_{t}=\sum _{i=1}^{t}Y_{i}\quad {\text{ για }}t=1,2,\dots ,n\,.$
Υπολογίζουμε το εύρος $R$ ; $R(n)=\operatorname {max} \left(Z_{1},Z_{2},\dots ,Z_{n}\right)-\operatorname {min} \left(Z_{1},Z_{2},\dots ,Z_{n}\right).$
Υπολογίζουμε την τυπική απόκλιση $S$ ; $S(n)={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-m\right)^{2}}}.$
Υπολογίζουμε την αναβαθμισμένη κλίμακα $R(n)/S(n)$ και τον μέσο όρο όλων των μερικών χρονοσειρών μήκους $n.$

Ο εκθέτης Χερστ εκτιμάται με την προσαρμογή του νόμου ισχύος $\mathbb {E} [R(n)/S(n)]=Cn^{H}$ στα δεδομένα. Αυτό μπορεί να γίνει με την απεικόνιση του $\log[R(n)/S(n)]$ ως συνάρτηση του $\log n$ , και την προσαρμογή μιας ευθείας γραμμής- η κλίση της γραμμής δίνει το $H$ (μια πιο βασική προσέγγιση προσαρμόζει το νόμο δύναμης με τρόπο μέγιστης πιθανότητας[16]). Μια τέτοια γραφική παράσταση καλείται box plot. Ωστόσο, η προσέγγιση αυτή είναι γνωστό ότι παράγει μεροληπτικές εκτιμήσεις του εκθέτη του νόμου δύναμης. Για μικρά $n$ υπάρχει σημαντική απόκλιση από την κλίση 0,5. Οι Άνις και Λόιντ^[16] estimated the theoretical (i.e., for white noise) values of the R/S statistic to be: εκτίμησαν ότι οι θεωρητικές (δηλαδή για λευκό θόρυβο (noise)) τιμές της στατιστικής R/S είναι:

$\mathbb {E} [R(n)/S(n)]={\begin{cases}{\frac {\Gamma ({\frac {n-1}{2}})}{{\sqrt {\pi }}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\sum \limits _{i=1}^{n-1}{\sqrt {\frac {n-i}{i}}},&{\text{for }}n\leq 340\\{\frac {1}{\sqrt {n{\frac {\pi }{2}}}}}\sum \limits _{i=1}^{n-1}{\sqrt {\frac {n-i}{i}}},&{\text{for }}n>340\end{cases}}$

όπου $\Gamma$ είναι η συνάρτηση γάμμα του Όιλερ. Ο διορθωμένος εκθέτης Χερστ R/S Ανις-Λόιντ υπολογίζεται ως 0,5 συν την κλίση της $R(n)/S(n)-\mathbb {E} [R(n)/S(n)]$ .

Διαστήματα εμπιστοσύνης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έως τώρα δεν έχει προκύψει ασυμπτωτική θεωρία κατανομής για τους περισσότερους εκτιμητές του εκθέτη Χερστ. Ωστόσο, ο Weron^[17] χρησιμοποίησε τη μέθοδο bootstrapping^[18] με σκοπό να λάβει προσεγγιστικές λειτουργικές μορφές για τα διαστήματα εμπιστοσύνης των δύο πιο δημοφιλών μεθόδων, δηλαδή για την ανάλυση R/S με διόρθωση Ἀνις-Λόιντ^[16]:

Επίπεδο	Κατώτερο όριο	Ανώτερο όριο
90%	0.5 − exp(−7.35 log(log M) + 4.06)	exp(−7.07 log(log M) + 3.75) + 0.5
95%	0.5 − exp(−7.33 log(log M) + 4.21)	exp(−7.20 log(log M) + 4.04) + 0.5
99%	0.5 − exp(−7.19 log(log M) + 4.34)	exp(−7.51 log(log M) + 4.58) + 0.5

και για την ανάλυση DFA:

Επίπεδο	Κατώτερο όριο	Ανώτερο όριο
90%	0.5 − exp(−2.99 log M + 4.45)	exp(−3.09 log M + 4.57) + 0.5
95%	0.5 − exp(−2.93 log M + 4.45)	exp(−3.10 log M + 4.77) + 0.5
99%	0.5 − exp(−2.67 log M + 4.06)	exp(−3.19 log M + 5.28) + 0.5

Εδώ $M=\log _{2}N$ και $N$ είναι το μήκος της σειράς. Και στις δύο περιπτώσεις μόνο υποσειρές μήκους $n>50$ ελήφθησαν υπόψιν για την εκτίμηση του εκθέτη Χερστ- υποσειρές μικρότερου μήκους οδηγούν σε υψηλή διακύμανση των εκτιμήσεων R/S.

Γενικευμένος εκθέτης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο βασικός εκθέτης Χερστ μπορεί να συσχετιστεί με το αναμενόμενο μέγεθος των αλλαγών, ως συνάρτηση της υστέρησης μεταξύ των παρατηρήσεων, όπως μετράται από την E(|X_t+τ−X_t|²). Για τη γενικευμένη μορφή του συντελεστή, ο εκθέτης εδώ αντικαθίσταται από έναν πιο γενικό όρο, που συμβολίζεται με q.

Υπάρχουν διάφορες τεχνικές για την εκτίμηση του H, ωστόσο η αξιολόγηση της ακρίβειας της εκτίμησης μπορεί να είναι ένα περίπλοκο ζήτημα. Μαθηματικά, σε μια τεχνική, ο εκθέτης Χερστ μπορεί να εκτιμηθεί έτσι ώστε:^[19]^[20]

H_{q}=H(q),

για μια χρονοσειρά

g(t),t=1,2,\dots

μπορεί να οριστεί από τις ιδιότητες κλιμάκωσης των συναρτήσεων δομής του S q {\displaystyle $S_{q}$ ( $\tau$ ):

S_{q}=\left\langle \left|g(t+\tau )-g(t)\right|^{q}\right\rangle _{t}\sim \tau ^{qH(q)},

όπου $q>0$ , $\tau$ είναι η χρονική υστέρηση και ο μέσος όρος αφορά το χρονικό παράθυρο

t\gg \tau ,

συνήθως η μεγαλύτερη χρονική κλίμακα του συστήματος.

Πρακτικά, στη φύση, δεν υπάρχει χρονικό όριο και επομένως το Η δεν είναι προσδιοριστικό, καθώς μπορεί να εκτιμηθεί μόνο με βάση τα παρατηρούμενα δεδομένα- π.χ., η πιο δραματική ημερήσια ανοδική κίνηση που έχει παρατηρηθεί ποτέ σε ένα χρηματιστηριακό δείκτη μπορεί πάντα να ξεπεραστεί κατά τη διάρκεια κάποιας επόμενης ημέρας^[21].

Στην παραπάνω μέθοδο μαθηματικής εκτίμησης, η συνάρτηση $H (q)$ περιέχει πληροφορίες σχετικά με τις μέσες γενικευμένες μεταβλητότητες στην κλίμακα $\tau$ (μόνο $q = 1, 2$ χρησιμοποιούνται για τον ορισμό της μεταβλητότητας). Ειδικότερα, ο εκθέτης H1 υποδεικνύει την επίμονη ( $H 1 > 1/2$ ) ή την αντιεπίμονη ( $H 1 < 1/2$ ) συμπεριφορά της τάσης.

Για τον καφέ θόρυβο BRW, $1/f^{2}$ ) έχουμε

H_{q}={\frac {1}{2}},

και για τον ροζ θόρυβο (

1/f

)

H_{q}=0.

Ο εκθέτης Χερστ για τον λευκό θόρυβο είναι εξαρτημένος από τη διάσταση,^[22]και για 1D και 2D είναι

H_{q}^{1D}={\frac {1}{2}},\quad H_{q}^{2D}=-1.

Για τις δημοφιλείς σταθερές διεργασίες Λεβί και τις περικομμένες διεργασίες Λεβί με παράμετρο α διαπιστώθηκε ότι

$H_{q}=q/\alpha ,$ for $q<\alpha$ , and $H_{q}=1$ for $q\geq \alpha$ . Η ανάλυση διακύμανσης πολλαπλών διακυμάνσεων^[23] είναι μια μέθοδος για την εκτίμηση του $H(q)$ από μη στάσιμες χρονοσειρές. Όταν το $H(q)$ είναι μια μη γραμμική συνάρτηση του q η χρονοσειρά είναι ένα πολυκλασματικό σύστημα.

Σημείωμα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό, δύο ξεχωριστές απαιτήσεις αναμειγνύονται μεταξύ τους σαν να ήταν μία^[24]. Ακολουθούν οι δύο ανεξάρτητες απαιτήσεις: (i) Στασιμότητα των προσαυξήσεων, $x (t + T) - x (t) = x (T) - x (0)$ στην κατανομή. Αυτή είναι η συνθήκη που αποδίδει μακροχρόνιες αυτοσυσχετίσεις. (ii) Η αυτοομοιότητα της στοχαστικής διαδικασίας αποδίδει τότε κλιμάκωση της διακύμανσης, αλλά δεν απαιτείται για μακροχρόνια μνήμη. Π.χ., τόσο οι διαδικασίες Μαρκόφ (δηλαδή οι διαδικασίες χωρίς μνήμη) όσο και η μορφοκλασματική κίνηση Μπράουν κλιμακώνονται στο επίπεδο των πυκνοτήτων 1 σημείου (απλοί μέσοι όροι), αλλά καμία από τις δύο δεν κλιμακώνεται στο επίπεδο των συσχετίσεων ζεύγους ή, αντίστοιχα, της πυκνότητας.

Μια αποτελεσματική αγορά απαιτεί μια συνθήκη martingale^[25], και αν η διακύμανση δεν είναι γραμμική στο χρόνο, αυτό παράγει μη στάσιμες αυξήσεις, $x (t + T) - x (t) \neq x (T) - x (0)$ . Οι μαρτινγκέιλ είναι μαρκοβιανές στο επίπεδο των συσχετίσεων ζεύγους, πράγμα που σημαίνει ότι οι συσχετίσεις ζεύγους δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να νικήσουν μια αγορά μαρτινγκέιλ. Οι στάσιμες αυξήσεις με μη γραμμική διακύμανση, από την άλλη πλευρά, προκαλούν τη μακροχρόνια μνήμη ζεύγους της κλασματικής κίνησης Μπράουν που θα καθιστούσε την αγορά νικήσιμη στο επίπεδο των συσχετίσεων ζεύγους. Μια τέτοια αγορά θα ήταν αναγκαστικά πολύ μακριά από την "αποτελεσματική".

Μια ανάλυση των οικονομικών χρονολογικών σειρών μέσω του εκθέτη Χερστ με τη χρήση της ανάλυσης μεταβαλλόμενου εύρους και της ανάλυσης αποδιαρθρωμένων διακυμάνσεων πραγματοποιείται από τον οικονομολόγο A.F. Bariviera^[26]. Αυτό το έγγραφο μελετά τον χρονικά μεταβαλλόμενο χαρακτήρα της μακροχρόνιας εξάρτησης και, ως εκ τούτου, της πληροφοριακής αποτελεσματικότητας.

Ο εκθέτης Χερστ εφαρμόστηκε επίσης στη διερεύνηση της εξάρτησης μεγάλης εμβέλειας στο DNA ^[27] και σε υλικά με φωτονικό χάσμα ζώνης^[28].

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

↑ ^1,0 ^1,1 Hurst, H.E. (1951). «Long-term storage capacity of reservoirs». Transactions of the American Society of Civil Engineers 116: 770. doi:10.1061/TACEAT.0006518.
↑ Hurst, H.E.· Black, R.P.· Simaika, Y.M. (1965). Long-term storage: an experimental study. London: Constable.
↑ ^3,0 ^3,1 Mandelbrot, B.B.; Wallis, J.R. (1968). «Noah, Joseph, and operational hydrology». Water Resour. Res. 4 (5): 909–918. doi:10.1029/wr004i005p00909. Bibcode: 1968WRR.....4..909M.
↑ Mandelbrot, Benoît B. (2006). «The (Mis)Behavior of Markets». Journal of Statistical Physics 122 (2): 187. doi:10.1007/s10955-005-8004-Z. Bibcode: 2006JSP...122..373P.
↑ Torsten Kleinow (2002)Testing Continuous Time Models in Financial Markets, Doctoral thesis, Berlin ^{[Χρειάζεται σελίδα]}
↑ ^6,0 ^6,1 Qian, Bo; Rasheed, Khaled (2004). «HURST EXPONENT AND FINANCIAL MARKET PREDICTABILITY». IASTED conference on Financial Engineering and Applications (FEA 2004), pp. 203–209.
↑ ^7,0 ^7,1 ^7,2 Feder, Jens (1988). Fractals. New York: Plenum Press. ISBN 978-0-306-42851-7.
↑ Mandelbrot, Benoit B. (1985). «Self-affinity and fractal dimension». Physica Scripta 32 (4): 257–260. doi:10.1088/0031-8949/32/4/001. Bibcode: 1985PhyS...32..257M. http://users.math.yale.edu/~bbm3/web_pdfs/112selfAffinity.pdf.
↑ Gneiting, Tilmann; Schlather, Martin (2004). «Stochastic Models That Separate Fractal Dimension and the Hurst Effect». SIAM Review 46 (2): 269–282. doi:10.1137/s0036144501394387. Bibcode: 2004SIAMR..46..269G.
↑ Mandelbrot, Benoit B.; Wallis, James R. (1969-10-01). «Robustness of the rescaled range R/S in the measurement of noncyclic long run statistical dependence» (στα αγγλικά). Water Resources Research 5 (5): 967–988. doi:10.1029/WR005i005p00967. ISSN 1944-7973. Bibcode: 1969WRR.....5..967M.
↑ Geweke, J.; Porter-Hudak, S. (1983). «The Estimation and Application of Long Memory Time Series Models». J. Time Ser. Anal. 4 (4): 221–238. doi:10.1111/j.1467-9892.1983.tb00371.x.
↑ J. Beran. Statistics For Long-Memory Processes. Chapman and Hall, 1994.
↑ Robinson, P. M. (1995). «Gaussian semiparametric estimation of long-range dependence». The Annals of Statistics 23 (5): 1630–1661. doi:10.1214/aos/1176324317. https://archive.org/details/sim_annals-of-statistics_1995-10_23_5/page/1630.
↑ Simonsen, Ingve; Hansen, Alex; Nes, Olav Magnar (1998-09-01). «Determination of the Hurst exponent by use of wavelet transforms». Physical Review E 58 (3): 2779–2787. doi:10.1103/PhysRevE.58.2779. Bibcode: 1998PhRvE..58.2779S.
↑ R. H. Riedi. Multifractal processes. In P. Doukhan, G. Oppenheim, and M. S. Taqqu, editors, The- ory And Applications Of Long-Range Dependence, pages 625–716. Birkh¨auser, 2003.
↑ ^16,0 ^16,1 Annis, A. A.; Lloyd, E. H. (1976-01-01). «The expected value of the adjusted rescaled Hurst range of independent normal summands» (στα αγγλικά). Biometrika 63 (1): 111–116. doi:10.1093/biomet/63.1.111. ISSN 0006-3444.
↑ Weron, Rafał (2002-09-01). «Estimating long-range dependence: finite sample properties and confidence intervals». Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications 312 (1–2): 285–299. doi:10.1016/S0378-4371(02)00961-5. Bibcode: 2002PhyA..312..285W.
↑ Efron, B. (1979-01). «Bootstrap Methods: Another Look at the Jackknife». The Annals of Statistics 7 (1): 1–26. doi:10.1214/aos/1176344552. ISSN 0090-5364. https://projecteuclid.org/journals/annals-of-statistics/volume-7/issue-1/Bootstrap-Methods-Another-Look-at-the-Jackknife/10.1214/aos/1176344552.full.
↑ Preis, T. (2009). «Accelerated fluctuation analysis by graphic cards and complex pattern formation in financial markets». New J. Phys. 11 (9): 093024. doi:10.1088/1367-2630/11/9/093024. Bibcode: 2009NJPh...11i3024P. http://www.iop.org/EJ/abstract/1367-2630/11/9/093024/.
↑ Gorski, A.Z. (2002). «Financial multifractality and its subtleties: an example of DAX». Physica 316 (1): 496–510. doi:10.1016/s0378-4371(02)01021-x. Bibcode: 2002PhyA..316..496G.
↑ Mandelbrot, Benoît B., The (Mis)Behavior of Markets, A Fractal View of Risk, Ruin and Reward (Basic Books, 2004), pp. 186-195
↑ Alex Hansen; Jean Schmittbuhl; G. George Batrouni (2001). «Distinguishing fractional and white noise in one and two dimensions». Phys. Rev. E 63 (6): 062102. doi:10.1103/PhysRevE.63.062102. PMID 11415147. Bibcode: 2001PhRvE..63f2102H.
↑ J.W. Kantelhardt; S.A. Zschiegner; E. Koscielny-Bunde; S. Havlin; A. Bunde; H.E. Stanley (2002). «Multifractal detrended fluctuation analysis of nonstationary time series». Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications 87 (1): 87–114. doi:10.1016/s0378-4371(02)01383-3. Bibcode: 2002PhyA..316...87K. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0378437102013833.
↑ Joseph L McCauley, Kevin E Bassler, and Gemunu H. Gunaratne (2008) "Martingales, Detrending Data, and the Efficient Market Hypothesis", Physica, A37, 202, Open access preprint: arXiv:0710.2583
↑ «Unit». The University of Sydney (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 23 Οκτωβρίου 2023.
↑ Bariviera, A.F. (2011). «The influence of liquidity on informational efficiency: The case of the Thai Stock Market». Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications 390 (23): 4426–4432. doi:10.1016/j.physa.2011.07.032. Bibcode: 2011PhyA..390.4426B.
↑ Roche, Stephan; Bicout, Dominique; Maciá, Enrique; Kats, Efim (2003-11-26). «Long Range Correlations in DNA: Scaling Properties and Charge Transfer Efficiency». Physical Review Letters 91 (22): 228101. doi:10.1103/PhysRevLett.91.228101. PMID 14683275. Bibcode: 2003PhRvL..91v8101R.
↑ Yu, Sunkyu; Piao, Xianji; Hong, Jiho; Park, Namkyoo (2015-09-16). «Bloch-like waves in random-walk potentials based on supersymmetry». Nature Communications 6: 8269. doi:10.1038/ncomms9269. PMID 26373616. Bibcode: 2015NatCo...6.8269Y.

[:0-1] 1,0 ^1,1 Hurst, H.E. (1951). «Long-term storage capacity of reservoirs». Transactions of the American Society of Civil Engineers 116: 770. doi:10.1061/TACEAT.0006518.

[2] Hurst, H.E.· Black, R.P.· Simaika, Y.M. (1965). Long-term storage: an experimental study. London: Constable.

[:1-3] 3,0 ^3,1 Mandelbrot, B.B.; Wallis, J.R. (1968). «Noah, Joseph, and operational hydrology». Water Resour. Res. 4 (5): 909–918. doi:10.1029/wr004i005p00909. Bibcode: 1968WRR.....4..909M.

[4] Mandelbrot, Benoît B. (2006). «The (Mis)Behavior of Markets». Journal of Statistical Physics 122 (2): 187. doi:10.1007/s10955-005-8004-Z. Bibcode: 2006JSP...122..373P.

[5] Torsten Kleinow (2002)Testing Continuous Time Models in Financial Markets, Doctoral thesis, Berlin ^{[Χρειάζεται σελίδα]}

[Qian-6] 6,0 ^6,1 Qian, Bo; Rasheed, Khaled (2004). «HURST EXPONENT AND FINANCIAL MARKET PREDICTABILITY». IASTED conference on Financial Engineering and Applications (FEA 2004), pp. 203–209.

[Feder-7] 7,0 ^7,1 ^7,2 Feder, Jens (1988). Fractals. New York: Plenum Press. ISBN 978-0-306-42851-7.

[8] Mandelbrot, Benoit B. (1985). «Self-affinity and fractal dimension». Physica Scripta 32 (4): 257–260. doi:10.1088/0031-8949/32/4/001. Bibcode: 1985PhyS...32..257M. http://users.math.yale.edu/~bbm3/web_pdfs/112selfAffinity.pdf.

[9] Gneiting, Tilmann; Schlather, Martin (2004). «Stochastic Models That Separate Fractal Dimension and the Hurst Effect». SIAM Review 46 (2): 269–282. doi:10.1137/s0036144501394387. Bibcode: 2004SIAMR..46..269G.

[10] Mandelbrot, Benoit B.; Wallis, James R. (1969-10-01). «Robustness of the rescaled range R/S in the measurement of noncyclic long run statistical dependence» (στα αγγλικά). Water Resources Research 5 (5): 967–988. doi:10.1029/WR005i005p00967. ISSN 1944-7973. Bibcode: 1969WRR.....5..967M.

[11] Geweke, J.; Porter-Hudak, S. (1983). «The Estimation and Application of Long Memory Time Series Models». J. Time Ser. Anal. 4 (4): 221–238. doi:10.1111/j.1467-9892.1983.tb00371.x.

[12] J. Beran. Statistics For Long-Memory Processes. Chapman and Hall, 1994.

[13] Robinson, P. M. (1995). «Gaussian semiparametric estimation of long-range dependence». The Annals of Statistics 23 (5): 1630–1661. doi:10.1214/aos/1176324317. https://archive.org/details/sim_annals-of-statistics_1995-10_23_5/page/1630.

[14] Simonsen, Ingve; Hansen, Alex; Nes, Olav Magnar (1998-09-01). «Determination of the Hurst exponent by use of wavelet transforms». Physical Review E 58 (3): 2779–2787. doi:10.1103/PhysRevE.58.2779. Bibcode: 1998PhRvE..58.2779S.

[15] R. H. Riedi. Multifractal processes. In P. Doukhan, G. Oppenheim, and M. S. Taqqu, editors, The- ory And Applications Of Long-Range Dependence, pages 625–716. Birkh¨auser, 2003.

[:2-16] 16,0 ^16,1 Annis, A. A.; Lloyd, E. H. (1976-01-01). «The expected value of the adjusted rescaled Hurst range of independent normal summands» (στα αγγλικά). Biometrika 63 (1): 111–116. doi:10.1093/biomet/63.1.111. ISSN 0006-3444.

[17] Weron, Rafał (2002-09-01). «Estimating long-range dependence: finite sample properties and confidence intervals». Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications 312 (1–2): 285–299. doi:10.1016/S0378-4371(02)00961-5. Bibcode: 2002PhyA..312..285W.

[18] Efron, B. (1979-01). «Bootstrap Methods: Another Look at the Jackknife». The Annals of Statistics 7 (1): 1–26. doi:10.1214/aos/1176344552. ISSN 0090-5364. https://projecteuclid.org/journals/annals-of-statistics/volume-7/issue-1/Bootstrap-Methods-Another-Look-at-the-Jackknife/10.1214/aos/1176344552.full.

[19] Preis, T. (2009). «Accelerated fluctuation analysis by graphic cards and complex pattern formation in financial markets». New J. Phys. 11 (9): 093024. doi:10.1088/1367-2630/11/9/093024. Bibcode: 2009NJPh...11i3024P. http://www.iop.org/EJ/abstract/1367-2630/11/9/093024/.

[20] Gorski, A.Z. (2002). «Financial multifractality and its subtleties: an example of DAX». Physica 316 (1): 496–510. doi:10.1016/s0378-4371(02)01021-x. Bibcode: 2002PhyA..316..496G.

[21] Mandelbrot, Benoît B., The (Mis)Behavior of Markets, A Fractal View of Risk, Ruin and Reward (Basic Books, 2004), pp. 186-195

[22] Alex Hansen; Jean Schmittbuhl; G. George Batrouni (2001). «Distinguishing fractional and white noise in one and two dimensions». Phys. Rev. E 63 (6): 062102. doi:10.1103/PhysRevE.63.062102. PMID 11415147. Bibcode: 2001PhRvE..63f2102H.

[23] J.W. Kantelhardt; S.A. Zschiegner; E. Koscielny-Bunde; S. Havlin; A. Bunde; H.E. Stanley (2002). «Multifractal detrended fluctuation analysis of nonstationary time series». Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications 87 (1): 87–114. doi:10.1016/s0378-4371(02)01383-3. Bibcode: 2002PhyA..316...87K. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0378437102013833.

[24] Joseph L McCauley, Kevin E Bassler, and Gemunu H. Gunaratne (2008) "Martingales, Detrending Data, and the Efficient Market Hypothesis", Physica, A37, 202, Open access preprint: arXiv:0710.2583

[25] «Unit». The University of Sydney (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 23 Οκτωβρίου 2023.

[26] Bariviera, A.F. (2011). «The influence of liquidity on informational efficiency: The case of the Thai Stock Market». Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications 390 (23): 4426–4432. doi:10.1016/j.physa.2011.07.032. Bibcode: 2011PhyA..390.4426B.

[27] Roche, Stephan; Bicout, Dominique; Maciá, Enrique; Kats, Efim (2003-11-26). «Long Range Correlations in DNA: Scaling Properties and Charge Transfer Efficiency». Physical Review Letters 91 (22): 228101. doi:10.1103/PhysRevLett.91.228101. PMID 14683275. Bibcode: 2003PhRvL..91v8101R.

[28] Yu, Sunkyu; Piao, Xianji; Hong, Jiho; Park, Namkyoo (2015-09-16). «Bloch-like waves in random-walk potentials based on supersymmetry». Nature Communications 6: 8269. doi:10.1038/ncomms9269. PMID 26373616. Bibcode: 2015NatCo...6.8269Y.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]