Διάταξη

Μια διάταξη των n στοιχείων συνόλου Ζ {z₁,z₂...z_n} ανά k είναι ένα διατεταγμένο δείγμα (z₁,z₂...z_k) που προκύπτει από την επιλογή k στοιχείων από το σύνολο Z, όπου n και k είναι θετικοί ακέραιοι και k μικρότερο ή ίσο του n.

Η επιλογή των στοιχείων στην απλή διάταξη γίνεται χωρίς επανάθεση των ήδη επιλεγμένων (επανατοποθέτησή τους στο σύνολο Ζ), σε αντίθεση με την διάταξη με επανάληψη όπου κάθε φορά μπορούμε να επιλέξουμε ένα στοιχείο που ήδη έχει επιλεγεί.

Με πιο απλά λόγια, αν Ζ είναι ένα σύνολο με n στοιχεία, τότε λέμε διάταξη των n στοιχείων του Ζ ανά k, καθέναν από τους διαφορετικούς τρόπους με τους οποίους μπορούμε να πάρουμε k διαφορετικά στοιχεία του Ζ και να τα βάλουμε σε μια σειρά.

Δύο διατάξεις ταυτίζονται όταν έχουν τα ίδια στοιχεία και με την ίδια σειρά. Για παράδειγμα έχουμε το σύνολο $\ Z=\lbrace 2,4,5,7\rbrace$. Μια διάταξη των 4 στοιχείων του Z ανά 3 είναι η διατεταγμένη τριάδα (4,2,7) ενώ μια άλλη διάταξη των 4 στοιχείων ανά 3 είναι η διατεταγμένη τριάδα (2,4,7).

Ο αριθμός (το πλήθος) των διατάξεων των n ανά k συμβολίζεται με (n)_k και είναι

(n)_k = n(n-1)...(n-k+1), το οποίο γράφεται διαδοχικά:

n(n-1)(n-2)...(n-k+1)=[n(n-1)(n-2)...(n-k+1)(n-k)...3·2·1]/[(n-k)...3·2·1]= n!/(n-k)!

Σημείωση: n! είναι το παραγοντικό του αριθμού n, δηλαδή το γινόμενο 1·2·3·……·(n-1)·n

Ώστε το πλήθος των διατάξεων των n στοιχείων ανά k είναι: (n)_k = ${\frac {n!}{(n-k)!}}$

Αν έχουμε n=k, τότε προφανώς οι διατάξεις των n ανά n είναι οι μεταθέσεις (λήμμα:μετάθεση) όλων των στοιχείων (=n) του συνόλου δηλαδή n!

Για να ισχύει και στην περίπτωση αυτή ο τύπος n!/(n-k)! ορίζουμε ότι 0!=1

Αν δεν έχει σημασία η διάταξη των επιλεγμένων στοιχείων (η σειρά τους) τότε μιλάμε για συνδυασμό των n ανά k (βλ. λήμμα συνδυασμός).

Πηγές

• Γ. Κοκολάκης, Εισαγωγή στη Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική, 1991.