Διακρίνουσα βάσης

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Έστω K=\mathbb{Q}(\theta) αριθμητικό σώμα βαθμού n και a_1,..a_n μια βάση αυτού ως \mathbb{Q} διανυσματικός χώρος. Ακόμα έστω r_1,..,r_n  r_i \ne r_j οι ρίζες του Irr(\theta,\mathbb{Q}) στο \mathbb{C} και \sigma_i:K \rightarrow \mathbb{C} οι n διακεκριμένοι μονομορφισμοί από το Κ στο \mathbb{C} όπου \sigma _i(\theta)=r_i . Κάνοντας χρήση των \sigma_i σχηματίζουμε τον ακόλουθο πίνακα :

A = \begin{bmatrix}
\sigma_1(a_1) & ... & \sigma_1(a_n) \\
\sigma_2(a_1) & ... & \sigma_2(a_n) \\
...&...&... \\
\sigma_n(a_1)&...&\sigma_n(a_n)
\end{bmatrix}

Ως διακρίνουσα της βάσης (Basis discriminant) a_1,..a_n του αριθμητικού σώματος Κ ορίζουμε το μιγαδικό αριθμό \Delta(a_1,..,a_n)=(det(A))^2.

Παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Έστω  K=\mathbb{Q}(\sqrt{2}) και η \{1,\sqrt{2} \} μια βάση αυτού ως \mathbb{Q} διανυσματικού χώρου. Οι ρίζες του Irr(\sqrt{2},\mathbb{Q})=x^2-2 είναι οι \pm \sqrt{2} οπότε οι δύο μονομορφισμοί από το  \mathbb{Q}(\sqrt{2}) στο \mathbb{C} είναι οι

\sigma_1(\sqrt{2})=\sqrt{2} και \sigma_2(\sqrt{2})=-\sqrt{2}

οπότε είμαστε πλέον σε θέση να υπολογίσουμε την διακρίνουσα της βάσης \{1,\sqrt{2} \} του αριθμητικού σώματος  \mathbb{Q}(\sqrt{2}). Έχουμε λοιπόν ότι \Delta_{\mathbb{Q}(\sqrt{2})}(1,\sqrt{2})=\Big(det
\begin{bmatrix}
\sigma_1(1) & \sigma_1(\sqrt{2}) \\
\sigma_2(1) & \sigma_2(\sqrt{2}) 

\end{bmatrix} \Big)^2=\Big(det
\begin{bmatrix}
1 & \sqrt{2} \\
1 & -\sqrt{2} 

\end{bmatrix} \Big)^2=(-2\sqrt{2})^2=8