Γάτα του Αρνόλντ

Εικόνα που δείχνει πώς ο γραμμικός χάρτης τεντώνει το μοναδιαίο τετράγωνο και πώς τα κομμάτια του αναδιατάσσονται όταν εκτελείται η πράξη modulo. Οι γραμμές με τα βέλη υποδεικνύουν την κατεύθυνση του συρρικνούμενου και του διευρυνόμενου ιδιοχώρου.

Στα μαθηματικά, η γάτα του Αρνόλντ είναι ένας χαοτικός χάρτης από τον τόρο στον εαυτό του, που πήρε το όνομά του από τον Βλαντιμίρ Αρνόλντ, ο οποίος έδειξε τα αποτελέσματά του τη δεκαετία του 1960 χρησιμοποιώντας την εικόνα μιας γάτας, εξ ου και το όνομα^[1].

Θεωρώντας τον τόρο $\mathbb {T} ^{2}$ ως το πηλίκο του χώρου $\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}$ , ο χάρτης γάτας του Αρνόλντ είναι ο μετασχηματισμός $\Gamma :\mathbb {T} ^{2}\to \mathbb {T} ^{2}$ που δίνεται από τον τύπο

\Gamma (x,y)=(2x+y,x+y){\bmod {1}}.

Ισοδύναμα, σε σημειογραφία πινάκων, είναι

\Gamma \left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}2&1\\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}{\bmod {1}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}{\bmod {1}}.

Με άλλα λόγια, με μια μονάδα ίση με το πλάτος της τετραγωνικής εικόνας, η εικόνα διατμηθεί προς τα πάνω κατά μία μονάδα, στη συνέχεια προς τα δεξιά κατά δύο μονάδες και οτιδήποτε βρίσκεται εκτός αυτής της τετραγωνικής μονάδας μετατοπίζεται προς τα πίσω κατά μία μονάδα έως ότου βρεθεί εντός του τετραγώνου.

Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Γ είναι αντιστρέψιμος επειδή ο πίνακας έχει προσδιοριστή 1 και επομένως ο αντίστροφός του έχει ακέραιες καταχωρήσεις,
Γ διατηρεί την επιφάνεια,
Γ έχει ένα μοναδικό υπερβολικό σταθερό σημείο (οι κορυφές του τετραγώνου). Ο γραμμικός μετασχηματισμός που ορίζει τον χάρτη είναι υπερβολικός: οι ιδιοτιμές του είναι άρρητοι αριθμοί, ένας μεγαλύτερος και ένας μικρότερος του 1 (σε απόλυτη τιμή), οπότε συνδέονται αντίστοιχα με έναν διαστελλόμενο και έναν συστελλόμενο ιδιοχώρο, που είναι επίσης ο σταθερός και ο ασταθής χώρος. Οι ιδιοχώροι είναι ορθογώνιοι επειδή ο πίνακας είναι συμμετρικός. Καθώς τα ιδιοδιανύσματα έχουν λογικά ανεξάρτητες συνιστώσες, οι δύο ιδιοχώροι καλύπτουν πυκνά τον τόρο. Ο χάρτης γάτας του Αρνόλντ είναι ένα ιδιαίτερα γνωστό παράδειγμα ενός υπερβολικού τορικού αυτομορφισμού, ο οποίος είναι ένας αυτομορφισμός ενός τόρου που δίνεται από έναν τετραγωνικό μονοτροπικό πίνακα χωρίς ιδιοτιμές με απόλυτη τιμή 1^[2].
Το σύνολο των σημείων με περιοδική τροχιά είναι πυκνό στον τόρο. Στην πραγματικότητα ένα σημείο είναι περιοδικό αν και μόνο αν οι συντεταγμένες του είναι ορθολογικές.
Γ είναι τοπολογικά μεταβατικό (δηλαδή υπάρχει ένα σημείο του οποίου η τροχιά είναι πυκνή).
Ο αριθμός των σημείων με περίοδο $n$ είναι ακριβώς $|\lambda _{1}^{n}+\lambda _{2}^{n}-2|$ (όπου λ 1 \lambda _{1} και $\lambda _{1}$ and $\lambda _{2}$ είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα). Για παράδειγμα, οι πρώτοι όροι αυτής της σειράς είναι 1, 5, 16, 45, 121, 320, 841, 2205 ....^[3] (Η ίδια εξίσωση ισχύει για οποιονδήποτε μονοτροπικό υπερβολικό τορικό αυτομορφισμό αν αντικατασταθούν οι ιδιοτιμές).
Γ είναι εργοδική και αναμειγνυόμενη,
Γ είναι ένας διαφομορφισμός Ανόσοφ και ειδικότερα είναι δομικά σταθερός.
Ο τόρος απεικόνισης του Γ είναι μια solvmanifold, και όπως και με άλλους διαφορομορφισμούς του Ανόσοφ, αυτή η πολλαπλότητα έχει Γεωμετρία Sol.

Ο διακριτός χάρτης της γάτας[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Από την τάξη στο χάος και πίσω. Δείγμα χαρτογράφησης σε εικόνα 150x150 pixels. Ο αριθμός δείχνει το βήμα επανάληψης- μετά από 300 επαναλήψεις, η αρχική εικόνα επιστρέφει.

Δείγμα χαρτογράφησης σε μια εικόνα ενός ζευγαριού κερασιών. Η εικόνα έχει πλάτος 74 pixel και χρειάζεται 114 επαναλήψεις για να αποκατασταθεί, αν και εμφανίζεται ανάποδα στη μέση της διαδρομής (57η επανάληψη).

Είναι δυνατόν να οριστεί ένα διακριτό ανάλογο του χάρτη γάτας. Ένα από τα χαρακτηριστικά αυτού του χάρτη είναι ότι η εικόνα είναι φαινομενικά τυχαία κατά τη διάρκεια του μετασχηματισμού, αλλά επιστρέφει στην αρχική της κατάσταση μετά από έναν αριθμό βημάτων. Όπως φαίνεται στην διπλανή εικόνα, η αρχική εικόνα της γάτας κουρεύεται και στη συνέχεια τυλίγεται στην πρώτη επανάληψη του μετασχηματισμού. Μετά από μερικές επαναλήψεις, η εικόνα που προκύπτει φαίνεται μάλλον τυχαία ή αταξινόμητη, αλλά μετά από περαιτέρω επαναλήψεις, η εικόνα φαίνεται να έχει μεγαλύτερη τάξη - εικόνες της γάτας που μοιάζουν με φαντάσματα, πολλαπλά μικρότερα αντίγραφα τοποθετημένα σε μια επαναλαμβανόμενη δομή και ακόμη και ανάποδα αντίγραφα της αρχικής εικόνας - και τελικά επιστρέφει στην αρχική εικόνα.

Ο διακριτός χάρτης γάτας περιγράφει τη ροή στο χώρο των φάσεων που αντιστοιχεί στη διακριτή δυναμική ενός σφαιριδίου που μεταπηδά από τη θέση q_t (0 ≤ q_t < N) to site q_t+1 σε έναν κυκλικό δακτύλιο με περιφέρεια Ν, σύμφωνα με την εξίσωση δεύτερης τάξης:

q_{t+1}-3q_{t}+q_{t-1}=0\mod N

Καθορισμός της μεταβλητής ορμής p_t = q_t − q_t−1, η παραπάνω δυναμική δεύτερης τάξης μπορεί να ξαναγραφεί ως απεικόνιση του τετραγώνου 0 ≤ q, p < N(ο χώρος φάσεων του διακριτού δυναμικού συστήματος) στον εαυτό του:

q_{t+1}=2q_{t}+p_{t}\mod N

p_{t+1}=q_{t}+p_{t}\mod N

Αυτή η χαρτογράφηση της γάτας Αρνόλντ παρουσιάζει τη συμπεριφορά ανάμειξης που είναι χαρακτηριστική για τα χαοτικά συστήματα. Ωστόσο, καθώς ο μετασχηματισμός έχει προσδιοριστή ίσο με τη μονάδα, διατηρεί την περιοχή και επομένως είναι αντιστρέψιμος, όπως και ο αντίστροφος μετασχηματισμός:

q_{t-1}=q_{t}-p_{t}\mod N

p_{t-1}=-q_{t}+2p_{t}\mod N

Για πραγματικές μεταβλητές q και p, είναι σύνηθες να τίθεται N = 1. Σε αυτή την περίπτωση, προκύπτει μια απεικόνιση του μοναδιαίου τετραγώνου με περιοδικές οριακές συνθήκες στον εαυτό του.

Όταν το Ν ορίζεται σε ακέραια τιμή, οι μεταβλητές θέσης και ορμής μπορούν να περιοριστούν σε ακέραιους αριθμούς και η απεικόνιση γίνεται απεικόνιση ενός τοροειδούς τετραγωνικού πλέγματος σημείων στον εαυτό της. Ένας τέτοιος χάρτης γάτας με ακέραιες τιμές χρησιμοποιείται συνήθως για την επίδειξη της συμπεριφοράς ανάμειξης με την αναδρομή Πουανκαρέ με τη χρήση ψηφιακών εικόνων. Μπορεί να αποδειχθεί ότι ο αριθμός των επαναλήψεων που απαιτούνται για την αποκατάσταση της εικόνας δεν υπερβαίνει ποτέ τα 3N.^[4]

Για μια εικόνα, η σχέση μεταξύ των επαναλήψεων μπορεί να διατυπωθεί ως εξής:

{\begin{array}{rrcl}n=0:\quad &T^{0}(x,y)&=&{\text{Input Image}}(x,y)\\n=1:\quad &T^{1}(x,y)&=&T^{0}\left({\bmod {(}}2x+y,N),{\bmod {(}}x+y,N)\right)\\&&\vdots \\n=k:\quad &T^{k}(x,y)&=&T^{k-1}\left({\bmod {(}}2x+y,N),{\bmod {(}}x+y,N)\right)\\&&\vdots \\n=m:\quad &{\text{Output Image}}(x,y)&=&T^{m}(x,y)\end{array}}

Πρότυπα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κώδικας Python για τον χάρτη γάτας του Αρνόλντ[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

import os

from PIL.Image import open as load_pic, new as new_pic


def main(path, iterations, keep_all=False, name="arnold_cat-{name}-{index}.png"):
    """
    Params
        path:str
            path to photograph
        iterations:int
            number of iterations to compute
        name:str
            formattable string to use as template for file names
    """
    title = os.path.splitext(os.path.split(path)[1])[0]
    counter = 0
    while counter < iterations:
        with load_pic(path) as image:
            dim = width, height = image.size
            with new_pic(image.mode, dim) as canvas:
                for x in range(width):
                    for y in range(height):
                        nx = (2 * x + y) % width
                        ny = (x + y) % height

                        canvas.putpixel((nx, height-ny-1), image.getpixel((x, height-y-1)))

        if counter > 0 and not keep_all:
            os.remove(path)
        counter += 1
        print(counter, end="\r")
        path = name.format(name=title, index=counter)
        canvas.save(path)

    return canvas


if __name__ == "__main__":
    path = input("Enter the path to an image:\n\t")
    while not os.path.exists(path):
        path = input("Couldn't find your chosen image, please try again:\n\t")
    result = main(path, 3)
    result.show()

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

↑ Vladimir I. Arnold· A. Avez (1967). Problèmes Ergodiques de la Mécanique Classique (στα Γαλλικά). Paris: Gauthier-Villars. ; English translation: V. I. Arnold· A. Avez (1968). Ergodic Problems in Classical Mechanics. New York: Benjamin.
↑ Franks, John M (October 1977). «Invariant sets of hyperbolic toral automorphisms». American Journal of Mathematics (The Johns Hopkins University Press) 99 (5): 1089–1095. doi:10.2307/2374001. ISSN 0002-9327. https://archive.org/details/sim_american-journal-of-mathematics_1977-10_99_5/page/1089.
↑ Sloane, N. J. A. (επιμ.). «Sequence A004146». The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
↑ Dyson, Freeman John; Falk, Harold (1992). «Period of a Discrete Cat Mapping». The American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 99 (7): 603–614. doi:10.2307/2324989. ISSN 0002-9890.

[Arnold-1] Vladimir I. Arnold· A. Avez (1967). Problèmes Ergodiques de la Mécanique Classique (στα Γαλλικά). Paris: Gauthier-Villars. ; English translation: V. I. Arnold· A. Avez (1968). Ergodic Problems in Classical Mechanics. New York: Benjamin.

[Franks-2] Franks, John M (October 1977). «Invariant sets of hyperbolic toral automorphisms». American Journal of Mathematics (The Johns Hopkins University Press) 99 (5): 1089–1095. doi:10.2307/2374001. ISSN 0002-9327. https://archive.org/details/sim_american-journal-of-mathematics_1977-10_99_5/page/1089.

[3] Sloane, N. J. A. (επιμ.). «Sequence A004146». The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

[DysonFalk-4] Dyson, Freeman John; Falk, Harold (1992). «Period of a Discrete Cat Mapping». The American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 99 (7): 603–614. doi:10.2307/2324989. ISSN 0002-9890.

[1]

[2]

[3]

[4]