Απλά συνεκτικός χώρος

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Πήδηση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση

Στην τοπολογία, ένας τοπολογικός χώρος ονομάζεται απλά συνεκτικός1-συνεκτικός ή 1-απλά συνεκτικός[1]) εάν είναι δρομοσυνεκτικός και κάθε μονοπάτι μεταξύ δύο σημείων μπορεί να μετασχηματίζεται κατά συνεχή τρόπο σε οποιοδήποτε άλλα τέτοιο μονοπάτι διατηρώντας παράλληλα τα δύο άκρα του. Η θεμελιώδης ομάδα ενός τοπολογικού χώρου είναι ένας δείκτης της αποτυχίας του χώρου στο να είναι απλά συνεκτικός: ένας δρομοσυνεκτικός τοπολογικός χώρος είναι απλά συνδεδεμένος εάν και μόνο εάν η θεμελιώδης ομάδα του είναι τετριμμένη.

Αυτό το σύνολο δεν είναι απλά συνεκτικό επειδή κάθε βρόχος που περικλείει μία από τις τρύπες δεν μπορεί να συρρικνωθεί σε ένα σημείο.

Διαισθητική ιδέα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ανεπίσημα, ένα αντικείμενο στο χώρο μας είναι απλά συνεκτικό αν αποτελείται από ένα κομμάτι και δεν έχει «τρύπες» που να το διαπερνούν. Για παράδειγμα, ούτε ένα ντόνατ ούτε ένα φλιτζάνι του καφέ (με λαβή) είναι απλά συνεκτικά, αλλά ένα μπαλόνι είναι απλά συνεκτικό. Σε δύο διαστάσεις, ένας κύκλος δεν είναι απλά συνεκτικός, αλλά ένας δίσκος και μια γραμμή είναι. Οι χώροι που είναι συνεκτικοί αλλά όχι απλά συνεκτικοί ονομάζονται μη-απλά συνεκτικοί ή πολλαπλά συνεκτικοί.

Μια σφαίρα είναι απλά συνεκτική επειδή κάθε βρόχος μπορεί να συστέλλεται (στην επιφάνεια) σε ένα σημείο.

Ο ορισμός λαμβάνει υπόψη μόνο τρύπες σε σχήμα λαβής. Μια σφαίρα (ή ισοδύναμα, ένα μπαλόνι) είναι απλά συνεκτική, επειδή κάθε βρόχος στην επιφάνεια της μπορεί να συσταλεί σε ένα σημείο, ακόμα κι αν έχει μια «τρύπα» στο κενό της κέντρο. Η ισχυρότερη συνθήκη, του ότι το αντικείμενο δεν έχει τρύπες οποιασδήποτε διάστασης, ονομάζεται συσταλτικότητα.

  1. «n-connected space in nLab». ncatlab.org. Ανακτήθηκε στις 2017-09-17.