Αντιμεταθετικός πίνακας

Στα μαθηματικά, ιδίως στη γραμμική άλγεβρα και στη θεωρία πινάκων, ο αντιμεταθετικός πίνακας χρησιμοποιείται για τη μετατροπή της διανυσματικής μορφής ενός πίνακα στη διανυσματική μορφή της αναστροφής του. Συγκεκριμένα, ο αντιμεταθετικός πίνακας K^(m,n) είναι ο πίνακας nm × mn ο οποίος, για οποιονδήποτε πίνακα m × n A, μετασχηματίζει τον vec(A) σε vec(A^T):

K^(m,n) vec(A) = vec(A^T).

Εδώ vec('A) είναι το mn × 1 διάνυσμα στηλών που προκύπτει από τη στοίβαξη των στηλών του A' η μία πάνω στην άλλη:

$\operatorname {vec} (\mathbf {A} )=[\mathbf {A} _{1,1},\ldots ,\mathbf {A} _{m,1},\mathbf {A} _{1,2},\ldots ,\mathbf {A} _{m,2},\ldots ,\mathbf {A} _{1,n},\ldots ,\mathbf {A} _{m,n}]^{\mathrm {T} }$

όπου A = [A_i,j]. Με άλλα λόγια, το vec(A) είναι το διάνυσμα που προκύπτει από τη διανυσματοποίηση του A σε σειρά στήλης-μεγάλης κλίμακας. Ομοίως, vec(A^T) είναι το διάνυσμα που προκύπτει από τη διανυσματοποίηση του A σε σειρά γραμμής-πλειοψηφίας.

Στο πλαίσιο της κβαντικής θεωρίας πληροφοριών, ο αντιμεταθετικός πίνακας αναφέρεται μερικές φορές ως πίνακας ανταλλαγής ή τελεστής ανταλλαγής.

Ιδιότητες

• Ο αντιμεταθετικός πίνακας είναι ένας ειδικός τύπος του αντιμεταθετικού πίνακα και επομένως είναι ορθογώνιος. Ειδικότερα, ο K^(m,n) είναι ίσος με $\mathbf {P} _{\pi }$, όπου $\pi$ είναι η αντιμετάθεση πάνω στο $\{1,\dots ,mn\}$ για την οποία

$\pi (i+m(j-1))=j+n(i-1),\quad i=1,\dots ,m,\quad j=1,\dots ,n.$

• Η αντικατάσταση του A με το A^T στον ορισμό του αντιμεταθετικού πίνακα δείχνει ότι K^(m,n) = (K^(n,m))^T. Επομένως, στην ειδική περίπτωση m = n ο αντιμεταθετικός πίνακας είναι μια ενέλιξη και είναι συμμετρικός.

• Η κύρια χρήση του αντιμεταθετικού πίνακα, και η πηγή του ονόματός του, είναι η αντιμετάθεση του γινομένου Κρόνεκερ: για κάθε m × n πίνακα A και κάθε r × q πίνακα B,

$\mathbf {K} ^{(r,m)}(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\mathbf {K} ^{(n,q)}=\mathbf {B} \otimes \mathbf {A} .$

Αυτή η ιδιότητα χρησιμοποιείται συχνά στην ανάπτυξη των στατιστικών ανώτερης τάξης των πινάκων συνδιακύμανσης Wishart.

• Η περίπτωση n=q=1 για την παραπάνω εξίσωση δηλώνει ότι για οποιαδήποτε διανύσματα στήλης v,w μεγεθών m,r αντίστοιχα,

$\mathbf {K} ^{(r,m)}(\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} )=\mathbf {w} \otimes \mathbf {v} .$

Αυτή η ιδιότητα είναι ο λόγος που ο πίνακας αυτός αναφέρεται ως «τελεστής ανταλλαγής» στο πλαίσιο της κβαντικής θεωρίας της πληροφορίας.

• Δύο ρητές μορφές για τον αντιμεταθετικό πίνακα είναι οι εξής: αν e_r,j δηλώνει το j-οστό κανονικό διάνυσμα διάστασης r (δηλαδή το διάνυσμα με 1 στην j-th συντεταγμένη και 0 αλλού) τότε

$\mathbf {K} ^{(r,m)}=\sum _{i=1}^{r}\sum _{j=1}^{m}\left(\mathbf {e} _{r,i}{\mathbf {e} _{m,j}}^{\mathrm {T} }\right)\otimes \left(\mathbf {e} _{m,j}{\mathbf {e} _{r,i}}^{\mathrm {T} }\right)=\sum _{i=1}^{r}\sum _{j=1}^{m}\left(\mathbf {e} _{r,i}\otimes \mathbf {e} _{m,j}\right)\left(\mathbf {e} _{m,j}\otimes \mathbf {e} _{r,i}\right)^{\mathrm {T} }.$

• Ο αντιμεταθετικός πίνακας μπορεί να εκφραστεί ως ο ακόλουθος σύνθετος πινάκας :

$\mathbf {K} ^{(m,n)}={\begin{bmatrix}\mathbf {K} _{1,1}&\cdots &\mathbf {K} _{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {K} _{m,1}&\cdots &\mathbf {K} _{m,n},\end{bmatrix}},$

Όπου η εγγραφή p,q του n x m σύνθετος πινάκας K_i,j δίνεται από τη σχέση

$\mathbf {K} _{ij}(p,q)={\begin{cases}1&i=q{\text{ και }}j=p,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$

Παραδείγματος χάριν,

$\mathbf {K} ^{(3,4)}=\left[{\begin{array}{ccc|ccc|ccc|ccc}1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0\\\hline 0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0\\\hline 0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1\end{array}}\right].$

Κωδικός

Τόσο για τετραγωνικούς όσο και για ορθογώνιους πίνακες m γραμμών και n στηλών, ο αντιμεταθετικός πίνακας μπορεί να παραχθεί με τον παρακάτω κώδικα.

Python

import numpy as np


def comm_mat(m, n):
    # determine permutation applied by K
    w = np.arange(m * n).reshape((m, n), order="F").T.ravel(order="F")

    # apply this permutation to the rows (i.e. to each column) of identity matrix and return result
    return np.eye(m * n)[w, :]

Εναλλακτικά, μια έκδοση χωρίς εισαγωγές:

# Kronecker delta
def delta(i, j):
    return int(i == j)


def comm_mat(m, n):
    # determine permutation applied by K
    v = [m * j + i for i in range(m) for j in range(n)]

    # apply this permutation to the rows (i.e. to each column) of identity matrix
    I = [[delta(i, j) for j in range(m * n)] for i in range(m * n)]
    return [I[i] for i in v]

MATLAB

function P = com_mat(m, n)

% determine permutation applied by K
A = reshape(1:m*n, m, n);
v = reshape(A', 1, []);

% apply this permutation to the rows (i.e. to each column) of identity matrix
P = eye(m*n);
P = P(v,:);

R

# Sparse matrix version
comm_mat = function(m, n){
  i = 1:(m * n)
  j = NULL
  for (k in 1:m) {
    j = c(j, m * 0:(n-1) + k)
  }
  Matrix::sparseMatrix(
    i = i, j = j, x = 1
  )
}

Παράδειγμα

Έστω $A$ ο ακόλουθος πίνακας $3\times 2$:

$A={\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\\\end{bmatrix}}.$

$A$ έχει τις ακόλουθες διανυσματοδοτήσεις μείζονος στήλης και μείζονος γραμμής (αντίστοιχα):

$\mathbf {v} _{\text{col}}=\operatorname {vec} (A)={\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\\5\\6\\\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\text{row}}=\operatorname {vec} (A^{\mathrm {T} })={\begin{bmatrix}1\\4\\2\\5\\3\\6\\\end{bmatrix}}.$

Ο σχετικός σύνθετος πινάκας είναι

$K=\mathbf {K} ^{(3,2)}={\begin{bmatrix}1&\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &1&\cdot &\cdot \\\cdot &1&\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &1&\cdot \\\cdot &\cdot &1&\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &1\\\end{bmatrix}},$

(όπου κάθε $\cdot$ δηλώνει ένα μηδέν). Όπως αναμενόταν, ισχύουν τα ακόλουθα:

$K^{\mathrm {T} }K=KK^{\mathrm {T} }=\mathbf {I} _{6}$

$K\mathbf {v} _{\text{col}}=\mathbf {v} _{\text{row}}$

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Εσωτερικό γινόμενο
• Φυσικός αριθμός
• Πίνακας (μαθηματικά)
• Τριγωνικός πίνακας
• Διάνυσμα
• Ισομορφισμός
• Ταυτοτικός πίνακας

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix calculator
• Matrix Analysis
• Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
• The Concise Oxford Dictionary of Mathematics
• The Statistics and Calculus with Python Workshop: A comprehensive ..
• Generalized Vectorization, Cross-Products, and Matrix Calculus
• Matrix Variate Distributions

Δημοσιεύσεις

• Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf. 
• Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9. 
• Gray, Lawrence F.; Flanigan, Francis J.; Kazdan, Jerry L.; Frank, David H.; Fristedt, Bert (1990), Calculus two: linear and nonlinear functions, Berlin: Springer-Verlag, σελ. 375, ISBN 0-387-97388-5, https://archive.org/details/calculustwolinea00flan/page/375 
• Adkins, William A.; Weintraub, Steven H. (1992), Algebra: An Approach via Module Theory, Graduate Texts in Mathematics, 136, Springer-Verlag, ISBN 3-540-97839-9,  
• Schwartz, Jacob T. (2001). Introduction to Matrices and Vectors. Mineola: Dover. σελίδες 126–132. ISBN 0-486-42000-0. 
• Kubrusly, Carlos (2001). Elements of operator theory. Boston: Birkhäuser. ISBN 978-1-4757-3328-0. OCLC 754555941. 
• Lang, Serge (1987), Linear Algebra (Third έκδοση), New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-96412-6 
• Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics (3rd έκδοση). New York: McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-054235-8. 

Παραπομπές

• Janko Bračič, Kolobar aritmetičnih funkcij (Ring of arithmetical functions), (Obzornik mat, fiz. 49 (2002) 4, pp. 97–108) (MSC (2000) 11A25)
• Iwaniec and Kowalski, Analytic number theory, AMS (2004).