Διανυσματοποίηση (μαθηματικά)
Στα μαθηματικά, ιδίως στη γραμμική άλγεβρα και τη θεωρία πινάκων, η διανυσματοποίηση ενός πίνακα είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός που μετατρέπει τον πίνακα σε διάνυσμα. Συγκεκριμένα, η διανυσματοποίηση ενός m × n πίνακα A, που συμβολίζεται με vec(A), είναι το mn × 1 διάνυσμα στήλης που προκύπτει από τη στοίβαξη των στηλών του πίνακα A η μία πάνω στην άλλη:
Εδώ, αντιπροσωπεύει το στοιχείο στην i-th γραμμή και j-th στήλη του A, και ο δείκτης υποδηλώνει την αναστροφή. Η διανυσματοποίηση εκφράζει, μέσω των συντεταγμένων, τον ισομορφισμό μεταξύ αυτών (δηλαδή των πινάκων και των διανυσμάτων) ως διανυσματικούς χώρους.
Παραδείγματος χάριν, για τον πίνακα 2×2 , η διανυσματοποίηση είναι .
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ee/Vectorized-addition.gif/220px-Vectorized-addition.gif)
Η σύνδεση μεταξύ της διανυσματοποίησης του A και της διανυσματοποίησης της αντιμετάθεσής του δίνεται από τον πίνακα αντιμετάθεσης.
Συμβατότητα με γινόμενα Κρόνεκερ
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Η διανυσματοποίηση χρησιμοποιείται συχνά μαζί με το γινόμενο Κρόνεκερ για να εκφράσει τον πολλαπλασιασμό πινάκων ως γραμμικό μετασχηματισμό σε πίνακες. Συγκεκριμένα,
για τους πίνακες A, B, και C των διαστάσεων k×l, l×m, και m×n.[note 1] Παραδείγματος χάριν, αν (ο προσκείμενος ενδομορφισμός της άλγεβρας Λι gl(n, C) όλων των n×n πινάκων με μιγαδικές καταχωρήσεις), τότε , όπου είναι ο n×n πίνακας ταυτότητας.
Υπάρχουν δύο άλλες χρήσιμες διατυπώσεις:
Γενικότερα, έχει αποδειχθεί ότι η διανυσματοποίηση είναι μια αυτοπροσάρτηση στη μονοειδή κλειστή δομή οποιασδήποτε κατηγορίας πινάκων[1].
Συμβατότητα με γινόμενο Χανταμάρντ
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Η διανυσματοποίηση είναι ένας ομομορφισμός άλγεβρας από το χώρο των πινάκων n × n με το γινόμενο Χανταμάρντ (entrywise) στο Cn2 με το γινόμενο Χανταμάρντ:
Συμβατότητα με εσωτερικά γινόμενα
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Η διανυσματοποίηση είναι ένας μοναδιαίος μετασχηματισμός από τον χώρο των πινάκων n×n με το εσωτερικό γινόμενο Φρομπένιους (ή Χίλμπερτ - Σμιντ) στον Cn2:
Συμβατότητα με εσωτερικά γινόμενα όπου ο δείκτης † δηλώνει τη συζυγή αναστροφή.
Διανυσματοποίηση ως γραμμικό άθροισμα
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Η διανυσματοποίηση του πίνακα μπορεί να γραφτεί ως γραμμικό άθροισμα. Έστω X ένας m × n πίνακας που θέλουμε να διανυσματοποιήσουμε, και έστω ei το i-th κανονικό διάνυσμα βάσης για τον n-διάστατο χώρο, δηλαδή . Έστω Bi ένας σύνθετος πίνακας (mn) × m που ορίζεται ως εξής:
Ο Bi αποτελείται από n σύνθετους πίνακες μεγέθους m × m, στοιβαγμένους κατά στήλες, και όλοι αυτοί οι πίνακες είναι όλοι μηδενικοί εκτός από τον i-th, ο οποίος είναι ένας m × m πίνακας ταυτότητας Im.
Τότε η διανυσματική έκδοση του X μπορεί να εκφραστεί ως εξής:
Ο πολλαπλασιασμός του X με ei εξάγει την i-th στήλη, ενώ ο πολλαπλασιασμός με Bi την τοποθετεί στην επιθυμητή θέση στο τελικό διάνυσμα.
Εναλλακτικά, το γραμμικό άθροισμα μπορεί να εκφραστεί χρησιμοποιώντας το γινόμενο Κρόνεκερ:
Ημι-διανυσματοποίηση
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Για έναν συμμετρικό πίνακα A, το διάνυσμα vec(A) περιέχει περισσότερες πληροφορίες από όσες είναι απολύτως απαραίτητες, αφού ο πίνακας καθορίζεται πλήρως από τη συμμετρία μαζί με το κάτω τριγωνικό τμήμα, δηλαδή τις n(n + 1)/2 καταχωρήσεις πάνω και κάτω από την κύρια διαγώνιο. Για τέτοιους πίνακες, η ημι-διανυσματοποίηση είναι μερικές φορές πιο χρήσιμη από τη διανυσματοποίηση. Η ημι-διανυσματοποίηση, vech(A'), ενός συμμετρικού n × n πίνακα A είναι το n(n + 1)/2 × 1 διάνυσμα στήλης που προκύπτει από τη διανυσματοποίηση μόνο του κάτω τριγωνικού τμήματος του A:
Παραδείγματος χάριν, για τον πίνακα 2×2 matrix , η ημι-διανυσματοποίηση είναι .
Υπάρχουν μοναδικοί πίνακες που μετατρέπουν τη ημι-διανυσματοποίηση ενός πίνακα στη διανυσματοποίησή του και αντίστροφα και ονομάζονται, αντίστοιχα, πίνακας διπλασιασμού και πίνακας απαλοιφής.
Γλώσσα προγραμματισμού
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Οι γλώσσες προγραμματισμού που υλοποιούν πίνακες μπορεί να έχουν εύκολα μέσα για διανυσματοποίηση.
Στο Matlab/GNU Octave ένας πίνακας A
μπορεί να διανυσματοποιηθεί με τη μέθοδο A(:)
.
Το GNU Octave επιτρέπει επίσης τη διανυσματοποίηση και την ημι-διανυσματοποίηση με vec(A)
και vech(A)
αντίστοιχα. Η Julia διαθέτει επίσης τη συνάρτηση vec(A)
.
Στην Python οι πίνακες NumPy υλοποιούν τη μέθοδο flatten
,[note 1] ενώ στην R το επιθυμητό αποτέλεσμα μπορεί να επιτευχθεί μέσω των συναρτήσεων c()
ή as.vector()
. Στην R, η συνάρτηση vec()
του πακέτου 'ks' επιτρέπει τη διανυσματοποίηση και η συνάρτηση vech()
που υλοποιείται και στα δύο πακέτα 'ks' και 'sn' επιτρέπει τη ημι-διανυσματοποίηση[2][3][4].
Εφαρμογές
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Η διανυσματοποίηση χρησιμοποιείται στον υπολογισμό πινάκων και στις εφαρμογές του για τον καθορισμό π.χ. των ροπών τυχαίων διανυσμάτων και πινάκων, της ασυμπτωτικής, καθώς και των Ιακωβιανών και Εσσιανών πινάκων[5]. Χρησιμοποιείται επίσης στην τοπική ευαισθησία και τη στατιστική διάγνωση[6].
Δείτε επίσης
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- Field Arithmetic
- Πραγματικό προβολικό επίπεδο
- Εσωτερικό γινόμενο
- Φυσικός αριθμός
- Πίνακας (μαθηματικά)
- Τριγωνικός πίνακας
- Διάνυσμα
- Ισομορφισμός
- Ταυτοτικός πίνακας
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
- Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
- Matrix Analysis
- Matrix Analysis
- The Concise Oxford Dictionary of Mathematics
- The Statistics and Calculus with Python Workshop: A comprehensive ..
- Relational Mathematics
- Generalized Vectorization, Cross-Products, and Matrix Calculus
Δημοσιεύσεις
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf.
- Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9.
- Gray, Lawrence F.; Flanigan, Francis J.; Kazdan, Jerry L.; Frank, David H.; Fristedt, Bert (1990), Calculus two: linear and nonlinear functions, Berlin: Springer-Verlag, σελ. 375, ISBN 0-387-97388-5, https://archive.org/details/calculustwolinea00flan/page/375
- Adkins, William A.; Weintraub, Steven H. (1992), Algebra: An Approach via Module Theory, Graduate Texts in Mathematics, 136, Springer-Verlag, ISBN 3-540-97839-9, Zbl 0768.00003
- Schwartz, Jacob T. (2001). Introduction to Matrices and Vectors. Mineola: Dover. σελίδες 126–132. ISBN 0-486-42000-0.
- Kubrusly, Carlos (2001). Elements of operator theory. Boston: Birkhäuser. ISBN 978-1-4757-3328-0. OCLC 754555941.
- Lang, Serge (1987), Linear Algebra (Third έκδοση), New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-96412-6
- Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics (3rd έκδοση). New York: McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-054235-8.
Παραπομπές
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- ↑ Macedo, H. D.; Oliveira, J. N. (2013). «Typing Linear Algebra: A Biproduct-oriented Approach». Science of Computer Programming 78 (11): 2160–2191. doi: .
- ↑ Duong, Tarn (2018). «ks: Kernel Smoothing». R package version 1.11.0.
- ↑ Azzalini, Adelchi (2017). «The R package 'sn': The Skew-Normal and Related Distributions such as the Skew-t». R package version 1.5.1.
- ↑ Vinod, Hrishikesh D. (2011). «Simultaneous Reduction and Vec Stacking». Hands-on Matrix Algebra Using R: Active and Motivated Learning with Applications. Singapore: World Scientific. σελίδες 233–248. ISBN 978-981-4313-69-8 – μέσω Google Books.
- ↑ Magnus, Jan· Neudecker, Heinz (2019). Matrix differential calculus with applications in statistics and econometrics. New York: John Wiley. ISBN 9781119541202.
- ↑ Liu, Shuangzhe; Leiva, Victor; Zhuang, Dan; Ma, Tiefeng; Figueroa-Zúñiga, Jorge I. (March 2022). «Matrix differential calculus with applications in the multivariate linear model and its diagnostics» (στα αγγλικά). Journal of Multivariate Analysis 188: 104849. doi: .
- Janko Bračič, Kolobar aritmetičnih funkcij (Ring of arithmetical functions), (Obzornik mat, fiz. 49 (2002) 4, pp. 97–108) (MSC (2000) 11A25)
- Iwaniec and Kowalski, Analytic number theory, AMS (2004).