Ανισότητα Πέιλι-Ζίγκμουντ
Στην θεωρία πιθανοτήτων η ανισότητα Πέιλι-Ζίγκμουντ (αναφέρεται και ως ανισότητα Paley-Zygmund) λέει ότι για οποιαδήποτε τυχαία μεταβλητή και για οποιοδήποτε έχουμε ότι
Η ανισότητα παίρνει το όνομά της από τον Ρέιμοντ Πέιλι και τον Αντόνι Ζίγκμουντ που δημοσίευσαν την ανισότητα το 1932.[1][2]
Απόδειξη[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Για τις δείκτριες τυχαίες μεταβλητές και , έχουμε ότι
- .
Επομένως, γράφουμε την αναμενόμενη τιμή του ως
- .
Για τον πρώτο όρο, έχουμε από την ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς ότι
(
)
Για τον δεύτερο όρο, έχουμε ότι και επομένως,
(
)
Συνδυάζοντας τις (1) και (2), έχουμε ότι
- ,
αναδιατάσσοντας την οποία λαμβάνουμε τη ζητούμενη ανισότητα.
Επεκτάσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Διάφορες επεκτάσεις έχουν προταθεί στην βιβλιογραφία.[3][4][5]
Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
- ↑ Paley, R. E. a. C.; Zygmund, A. (Ιουλίου 1932). «A note on analytic functions in the unit circle». Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 28 (3): 266–272. doi: .
- ↑ Paley, R. E. a. C.; Zygmund, A. (Απριλίου 1932). «On some series of functions, (3)». Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 28 (2): 190–205. doi: .
- ↑ Petrov, Valentin V. (1 Αυγούστου 2007). «On lower bounds for tail probabilities». Journal of Statistical Planning and Inference 137 (8): 2703–2705. doi: .
- ↑ Bakas, Odysseas (1 Ιουνίου 2019). «Variants of the Inequalities of Paley and Zygmund». Journal of Fourier Analysis and Applications 25 (3): 1113–1133. doi: .
- ↑ Chatterjee, Sourav (Ιουλίου 2019). «A general method for lower bounds on fluctuations of random variables». The Annals of Probability 47 (4): 2140–2171. doi: .