Τρίγωνο του Πασκάλ

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Οι πρώτες έξι σειρές του τριγώνου του Πασκάλ

Στα μαθηματικά, το τρίγωνο του Πασκάλ είναι μία τριγωνική γεωμετρική διάταξη των δυωνυμικών συντελεστών. Ονομάστηκε έτσι προς τιμήν του μαθηματικού Μπλεζ Πασκάλ στο μεγαλύτερο μέρος του δυτικού κόσμου, παρόλο που άλλοι μαθηματικοί το είχαν μελετήσει αιώνες πριν στην Ινδία, την Περσία, την Κίνα και την Ιταλία.

Οι σειρές στο τρίγωνο του Πασκάλ αριθμούνται ξεκινώντας από την γραμμή 0, και οι αριθμοί κάθε σειράς είναι συνήθως σχετικοί με τις διπλανές τους. Μια απλή κατασκευή του τριγώνου γίνεται με τον ακόλουθο τρόπο. Στην σειρά 0 γράφεται μόνο ο αριθμός 1. Μετά, για την κατασκευή των στοιχείων των ακόλουθων σειρών προστίθεται ο αριθμός που βρίσκεται αμέσως από πάνω και αριστερά με τον αριθμό αμέσως από πάνω και δεξιά. Αν οποιοσδήποτε από τους αριθμούς δεξιά ή αριστερά δεν υπάρχει, υποκαθίσταται με μηδέν. Για παράδειγμα, ο πρώτος αριθμός της πρώτης γραμμής είναι 0 + 1 = 1, ενώ οι αριθμοί 1 και 3 της τρίτης σειρά προτίθενται ώστε να δώσουν τον αριθμό 4 της τέταρτης σειράς.

Αυτή η κατασκευή είναι συγγενική με του δυωνυμικούς συντελεστές μέσω του κανόνα του Πασκάλ, σύμφωνα με τον οποίο αν:

(x+y)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^{n-k}y^{k}

τότε

 {n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}

για οποιοδήποτε μη αρνητικό ακέραιο n και οποιονδήποτε ακέραιο k μεταξύ 0 και n.[1]

Το τρίγωνο του Πασκάλ γενικεύεται και σε περισσότερες διαστάσεις. Η τρισδιάστατη εκδοχή αποκαλείται Πυραμίδα του Πασκάλ ή Τετράεδρο του Πασκάλ, ενώ η γενική εκδοχή αποκαλείται Simplex του Πασκάλ

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. Ο δυωνυμικός συντελεστής \scriptstyle {n \choose k} είναι συμβατικά 0 αν το k είναι είτε μικρότερο του μηδενός είτε μεγαλύτερο του n.