Συνάρτηση διάστασης

Στα μαθηματικά, η συνάρτηση διάστασης^[1] αποτελεί εργαλείο στη μελέτη των φράκταλ και άλλων υποσυνόλων των μετρικών χώρων. Οι συναρτήσεις διάστασης είναι μια γενίκευση του απλού νόμου δύναμης " διάμετρος προς διάσταση " που χρησιμοποιείται στην κατασκευή του s-διάστατου μέτρου Χάουσντορφ.^[2]

Κίνητρο: s-διάστατο μέτρο Χάουστορφ[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κύριο άρθρο: Διάσταση Χάουσντορφ

Ας υποθέσουμε έναν μετρικό χώρο (X, d) και ένα υποσύνολο E του X. Δεδομένου ενός αριθμού s ≥ 0, το s-διάστατο μέτρο Χάουστορφ του E, που συμβολίζεταιs ≥ 0 ορίζεται ως εξής^[3]^[4]^[5]

\mu ^{s}(E)=\lim _{\delta \to 0}\mu _{\delta }^{s}(E),

όπου

\mu _{\delta }^{s}(E)=\inf \left\{\left.\sum _{i=1}^{\infty }\mathrm {diam} (C_{i})^{s}\right|\mathrm {diam} (C_{i})\leq \delta ,\bigcup _{i=1}^{\infty }C_{i}\supseteq E\right\}.

Το μ_δ^s(E) μπορεί να θεωρηθεί ως μια προσέγγιση του "πραγματικού" s-διάστατου εμβαδού/όγκου του E που δίνεται από τον υπολογισμό του ελάχιστου s-διάστατου εμβαδού/όγκου μιας κάλυψης του E από σύνολα με διάμετρο το πολύ δ.

Ως αύξουσα συνάρτηση του s, μ^s(E) είναι μη αύξουσα. Στην πραγματικότητα, για όλες τις τιμές του s εκτός ίσως από μία, H^s(E) είναι είτε 0 είτε +∞- αυτή η εξαιρετική τιμή ονομάζεται διάσταση Χάουσντορφ της E, που σημειώνεται εδώ dim_H(E). Ενδεχομένως, μ^s(E) = +∞ για s < dim_H(E) για τον ίδιο λόγο που το μονοδιάστατο γραμμικό μήκος ενός δισδιάστατου δίσκου στο ευκλείδειο επίπεδο είναι +∞- ομοίως, μ^s(E) = 0 για s > dim_H(E) για τον ίδιο λόγο που ο τρισδιάστατος όγκος ενός δίσκου στο ευκλείδειο επίπεδο είναι μηδέν.

Η ιδέα μιας συνάρτησης διάστασης είναι να χρησιμοποιηθεί διαφορετική συνάρτηση της διαμέτρου από την απλή diam(C)^s για κάποιο s, και να αναζητηθεί η ίδια ιδιότητα το μέτρο Χάουσντορφ να είναι πεπερασμένο και μη μηδενικό.

Ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ας υποθέσουμε ότι (X, d) είναι ένας μετρικός χώρος και E ⊆ X. Έστω h : [0, +∞) → [0, +∞] μια συνάρτηση. Ορίζουμε την μ^h(E ως εξής

\mu ^{h}(E)=\lim _{\delta \to 0}\mu _{\delta }^{h}(E),

ὀπου

\mu _{\delta }^{h}(E)=\inf \left\{\left.\sum _{i=1}^{\infty }h\left(\mathrm {diam} (C_{i})\right)\right|\mathrm {diam} (C_{i})\leq \delta ,\bigcup _{i=1}^{\infty }C_{i}\supseteq E\right\}.

Τότε η h καλείται συνάρτηση (ακριβούς) διάστασης (ή συνάρτηση μετρητή) για την E αν μ^h(E) είναι πεπερασμένη και αυστηρά θετική. Υπάρχουν πολλές συμβάσεις ως προς τις ιδιότητες που πρέπει να έχει η h: Ο Rogers (1998), για παράδειγμα, προϋποθέτει ότι η h πρέπει να είναι μονότονα αυξανόμενη για t ≥ 0, απολύτως θετική για t > 0, και συνεχής προς τα δεξιά για όλα τα t ≥ 0.

Διάσταση συσκευασίας[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η διάσταση συσκευασίας κατασκευάζεται με έναν πολύ παρόμοιο τρόπο με τη διάσταση Χάουσντορφ, με τη διαφορά ότι "πακετάρουμε" την Ε από μέσα με διαχωρισμένες κατά ζεύγη σφαίρες διαμέτρου το πολύ δ. Όπως και πριν, μπορεί κανείς να θεωρήσει συναρτήσεις h : [0, +∞) → [0, +∞] γενικότερα από το h(δ) = δ^s και ονομάζουμε την h ακριβή συνάρτηση διάστασης για την E αν το μέτρο συσκευασίας h της E είναι πεπερασμένο και αυστηρά θετικό.

Παράδειγμα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Είναι σχεδόν βέβαιο ότι μια δειγματική διαδρομή X της κίνησης Μπράουν στο ευκλείδειο επίπεδο έχει διάσταση Χάουσντορφ ίση με 2, αλλά το δισδιάστατο μέτρο Χάουσντορφ μ²(X) είναι μηδέν. Η ακριβής συνάρτηση διάστασης h δίνεται από τη λογαριθμική διόρθωση

h(r)=r^{2}\cdot \log {\frac {1}{r}}\cdot \log \log \log {\frac {1}{r}}.

Δηλαδή, με πιθανότητα ένα, 0 < μ^h(X) < +∞ για ένα μονοπάτι Μπράουν X στο R². Για την κίνηση Μπράουν στον ευκλείδειο n-χώρο Rⁿ με n ≥ 3, η ακριβής συνάρτηση διάστασης είναι

h(r)=r^{2}\cdot \log \log {\frac {1}{r}}.

Δημοσιεύσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Olsen, L. (2003). «The exact Hausdorff dimension functions of some Cantor sets». Nonlinearity 16 (3): 963–970. doi:10.1088/0951-7715/16/3/309.
Rogers, C. A. (1998). Hausdorff measures. Cambridge Mathematical Library (Third έκδοση). Cambridge: Cambridge University Press. σελίδες xxx+195. ISBN 0-521-62491-6.

Βιβλιογραφία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

↑ «Dimensional Function - an overview | ScienceDirect Topics». www.sciencedirect.com. Ανακτήθηκε στις 9 Ιανουαρίου 2024.
↑ «Fractals and the Hausdorff Dimension» (PDF).
↑ «LECTURES ON FRACTALS AND DIMENSION THEORY» (PDF).
↑ Darst, Richard (1993). «The Hausdorff Dimension of the Nondifferentiability Set of the Cantor Function is [ ln(2)/ln(3) 2»]. Proceedings of the American Mathematical Society 119 (1): 105–108. doi:10.2307/2159830. ISSN 0002-9939. https://www.jstor.org/stable/2159830.
↑ Hurewicz, witold (1948). Dimension Theory.

[1] «Dimensional Function - an overview | ScienceDirect Topics». www.sciencedirect.com. Ανακτήθηκε στις 9 Ιανουαρίου 2024.

[2] «Fractals and the Hausdorff Dimension» (PDF).

[3] «LECTURES ON FRACTALS AND DIMENSION THEORY» (PDF).

[4] Darst, Richard (1993). «The Hausdorff Dimension of the Nondifferentiability Set of the Cantor Function is [ ln(2)/ln(3) 2»]. Proceedings of the American Mathematical Society 119 (1): 105–108. doi:10.2307/2159830. ISSN 0002-9939. https://www.jstor.org/stable/2159830.

[5] Hurewicz, witold (1948). Dimension Theory.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]