Λαγκρανζιανή συνάρτηση

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση


Στη Φυσική, η Λαγκρανζιανή ενός μηχανικού συστήματος είναι μια βαθμωτή συνάρτηση της θέσης, ταχύτητας και του χρόνου η οποία ορίζεται ως η διαφορά της κινητικής πλην της δυναμικής ενέργειας του συστήματος, όταν αυτές είναι εκπεφρασμένες συναρτήσει των παραπάνω αναφερόμενων μεταβλητών.

Οι εξισώσεις κίνησης ενός μηχανικού συστήματος προκύπτουν από την αρχή του Χάμιλτον (η λεγόμενη αρχή της ελάχιστης δράσης), η οποία καταλήγει στις λεγόμενες εξισώσεις Όιλερ-Λαγκράνζ στις οποίες υπεισέρχεται η Λαγκρανζιανή. Η μηχανική η οποία στηρίζεται στην αρχή του Χάμιλτον ονομάζεται «αναλυτική μηχανική».

Ο φορμαλισμός των Λαγκράνζ και Χάμιλτον θεωρείται γενικότερος από εκείνον του Νεύτωνα στην κλασική μηχανική, καθώς βασίζεται σε έννοιες όπως είναι οι συμμετρίες, οι γενικευμένες συντεταγμένες και, στην περίπτωση του φορμαλισμού του Χάμιλτον, τον χώρο των φάσεων. Ιδιαίτερα ο φορμαλισμός του Χάμιλτον χρησιμοποιήθηκε ως βάση οικοδόμησης της κβαντικής θεωρίας.

Λαγκρανζιανή μηχανικού συστήματος[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, η Λαγκρανζιανή (L) ενός μηχανικού συστήματος είναι συνάρτηση των γενικευμένων συντεταγμένων (p,q) των οποίων η χρονική εξέλιξη καθορίζει την τροχιά ενός σώματος που κινείται κάτω από την επίδραση δεδομένου δυναμικού.

Αν Τ την κινητική ενέργεια και V το δυναμικό, τότε η Λαγκρανζιανή ενός συστήματος ισούται με:

 L=T-V \ \ \

Για παράδειγμα, η Λαγκρανζιανή ενός μονοδιάστατου αρμονικού ταλαντωτή μάζας m και κυκλικής συχνότητας ω δίνεται από τη σχέση:

 L=\frac{1}{2}m\dot{x}^2-\frac{1}{2}m\omega^2x^2\ ,

όπου x η μετατόπιση του σώματος από τη θέση ισορροπίας και ẋ η ταχύτητά του.

Αντιστοιχία Λαγκρανζιανής-Νευτώνιας μηχανικής[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σύμφωνα με την αρχή ελάχιστης δράσης του Χάμιλτον, η τροχιά ενός κινητού Ν βαθμών ελευθερίας που περιγράφεται από μία Λαγκρανζιανή L=T-V καθορίζεται από την ελαχιστοποίηση της δράσης:

 S=\int_{t_1}^{t_2}L\left(t,q_{i}(t),\dot{q}_{i}(t)\right)dt

Η μαθηματική απαίτηση ελαχιστοποίησης, σύμφωνα με τον λογισμό των μεταβολών, οδηγεί στις εξισώσεις Όιλερ-Λαγκράνζ:

 \frac{\partial L}{\partial q_i}=\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i}\right)

όπου ο δείκτης i (i=1,2,...N) αναφέρεται στην i-οστή συνιστώσα των γενικευμένων συντεταγμένων.

Στην περίπτωση της μίας διάστασης, οι γενικευμένες συντεταγμένες ενός συστήματος είναι η θέση x κατά τον άξονα κίνησης και η ορμή p=mẋ. Στη περίπτωση αυτή ισχύει ότι:

 \begin{align} & \frac{\partial L}{\partial x}=-\frac{dV}{dx} \\ & \frac{\partial L}{\partial\dot{x}}=m\dot{x} \end{align}

Συνεπώς, η εξίσωση Όιλερ-Λαγκράνζ ανάγεται στην απλούστερη μορφή

 \frac{d}{dt}(m\dot{x})=-\frac{dV}{dx}

Όμως, από τον ορισμό της δυναμικής ενέργειας ισχύει F=-(dV/dx) όπου F η δύναμη που δέχεται το σώμα. Άρα λοιπόν, δεδομένου ότι η μάζα δεν μεταβάλλεται με το χρόνο, καταλήγουμε στη σχέση:

 m\ddot{x}=F

που ταυτίζεται με τον 2ο νόμο του Νεύτωνα. Παρόμοια επιχειρήματα ισχύουν και στην περίπτωση που η κίνηση γίνεται σε δύο ή τρεις διαστάσεις.

Υπάρχει λοιπόν πλήρης αντιστοιχία μεταξύ της Λαγκρανζιανής και της Νευτώνειας μηχανικής.

Εσωτερικοί Σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Βιβλιογραφία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Ιωάννου Πέτρος, Αποστολάτος Θ., Θεωρητική Μηχανική, Πανεπιστήμιο Αθηνών 2007 (έκδοση Β')
  • Κανάρης Χ. Τσίγκανος (2004). Εισαγωγή στη Θεωρητική Μηχανική. Εκδόσεις Σταμούλη.