Αρχή του Χάμιλτον

Η αρχή του Χάμιλτον (Hamilton) είναι μία αρχή της φυσικής βάσει της οποίας τα φυσικά συστήματα συμπεριφέρονται έτσι ώστε το φυσικό μέγεθος που ονομάζεται δράση να στασιμοποιείται. Αυτή είναι μία αρχή η οποία φαίνεται να έχει γενική ισχύ στη φυσική και εφαρμόζεται σε διάφορα φυσικά συστήματα. Αρχικά, όμως, η αρχή αυτή εφαρμόστηκε σε κλασικά μηχανικά συστήματα.

Το φυσικό μέγεθος της δράσης

Η δράση (S) ενός συστήματος το οποίο βρισκόταν αρχικά στην κατάσταση Α και περιήλθε στην κατάσταση Β, είναι ένα φυσικό μέγεθος το οποίο ορίζεται ως εξής:

$S \equiv \int_A^B L\left(a_i,\dot{a_i}, \ddot{a_i},...,t\right) dt$, όπου L είναι η Λαγκρανζιανή συνάρτηση του συστήματος και α_i μέγεθος που περιγράφει το σύστημα, ενώ ο δείκτης i δείχνει τον αριθμό της συνιστώσας του διανύσματος.

Το μέγεθος της δράσης έχει γενικά μονάδες: (Ενέργεια)•(Χρόνος).

Αρχή του Hamilton

Όπως εξηγήθηκε και προηγουμένως η αρχή του Hamilton λέει ότι η φύση προτιμά να ακολουθεί μία ακολουθία καταστάσεων για ένα σύστημα τέτοια ώστε η δράση S να στασιμοποιείται.
Η στασιμοποίηση έγκειται στην μεταβολή της δράσης κατά τάξη ε² ή μεγαλύτερης (δηλαδή ε³, ε⁴ κ.λ.π., κάτι που μαθηματικά συμβολίζεται ως Ο[ε²]), όταν το μέγεθος $\vec{a}$ αλλάζει κατά τάξη ε ως:

$\tilde{a_i}=a_i + \epsilon \cdot n_i$

Το n_i είναι μία συνεχής συνάρτηση που δείχνει τον τρόπο με τον οποίο μεταβάλλεται το μέγεθος a_i και το ε δείχνει το μέγεθος της μεταβολής αυτής (το πόσο μεγάλη είναι η μεταβολή) και για την οποία πρέπει να ισχύει $n_i(A)=n_i(B)=0$, απαιτείται δηλαδή από το μέγεθος $\tilde{a_i}$ να έχει ακριβώς την ίδια τιμή με το $a_i$ στις καταστάσεις Α και Β της αρχής και του τέλους αντιστοίχως.

Εξισώσεις Euler - Lagrange

Η εφαρμογή της αρχής του Hamilton σε ένα κλασικό μηχανικό σύστημα, μας οδηγεί στις εξισώσεις Euler - Lagrange που είναι οι εξισώσεις που πρέπει να ικανοποιούνται για να ελαχιστοποιείται η δράση και είναι ισοδύναμες με τον 2ο νόμο του Newton.
H Λαγκρανζιανή σε αυτήν την περίπτωση είναι της μορφής: $L=L\left(q(t),\dot{q(t)},t\right)$, όπου τα q είναι οι θέσεις του συστήματος (βλ. το άρθρο Λαγκρανζιανή συνάρτηση για το λόγο για τον οποίο απορρίφθηκε η υπόθεση η Λαγκρανζιανή στην περίπτωσή μας να είναι συνάρτηση και ανωτέρων παραγώγων της θέσης) και η δράση είναι εξ ορισμού ίση με: $S(q)=\int_{t_A}^{t_B}L\left(q(t),\dot{q}(t),t\right) dt$.
Υποθέτουμε ότι η q(t) είναι η τροχιά αυτή που ελαχιστοποιεί την δράση και $\tilde{q(t)}=q(t)+\epsilon\cdot n(t)$ μία παρέκκλιση αυτής της τροχιάς. Η μεταβολή στη δράση θα είναι:

$\Delta S = S\left(\tilde{q}\right)-S(q) = \int_{t_A}^{t_B}L\left(\tilde{q}(t),\dot{\tilde{q}}(t),t\right) dt - \int_{t_A}^{t_B}L\left(q(t),\dot{q}(t),t\right) dt = \int_{t_A}^{t_B}\left(L\left(\tilde{q}(t),\dot{\tilde{q}}(t),t\right) - L\left(q(t),\dot{q}(t),t\right)\right) dt$.

Το ανάπτυγμα της $L\left(\tilde{q}(t),\dot{\tilde{q}}(t),t\right)$ κατά Taylor δίνει:

$L\left(\tilde{q}(t),\dot{\tilde{q}}(t),t\right) = L\left(q(t),\dot{q}(t),t\right) + \epsilon\left(\frac{\partial L}{\partial q}n + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\dot{n}\right) + O\left[\epsilon^2\right]$

Συνεπώς, έχουμε:

$\Delta S =\epsilon\int_{t_A}^{t_B} \left(\frac{\partial L}{\partial q}n + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\dot{n}\right) dt + O\left[\epsilon^2\right] = \epsilon\int_{t_A}^{t_B} \left(\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{d t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)n dt + O\left[\epsilon^2\right]$

Βάσει της αρχής του Hamilton πρέπει να μηδενιστεί ο όρος τάξης ε, δηλαδή πρέπει να ισχύει πάντοτε:

$\int_{t_A}^{t_B} \left(\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{d t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)n dt = 0$

Και επειδή η n είναι μία τυχαία συνάρτηση, οδηγούμαστε στην εξίσωση:

$\frac{d}{d t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial L}{\partial q} = 0$

η οποία είναι γνωστή ως εξίσωση Euler - Lagrange.

Εσωτερικοί σύνδεσμοι

• Λαγκρανζιανή συνάρτηση
• Λαγκρανζιανή μηχανική
• Χαμιλτονιανή μηχανική

Βιβλιογραφία

• Ιωάννου Πέτρος, Αποστολάτος Θ., Θεωρητική Μηχανική, Πανεπιστήμιο Αθηνών 2007 (έκδοση Β')