Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Το Θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής είναι ένα από τα πιο σημαντικά θεωρήματα της θεωρίας αριθμών στα μαθηματικά. Σύμφωνα με αυτό, κάθε φυσικός αριθμός μεγαλύτερος της μονάδας αναλύεται σε γινόμενο πρώτων παραγόντων κατά ένα και μοναδικό τρόπο, αν δεν λάβουμε υπόψιν μας την σειρά των παραγόντων στο γινόμενο.

Η απόδειξη του Ευκλείδη[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η απόδειξη χωρίζεται σε δύο σκέλη. Στο πρώτο σκέλος θα αποδείξουμε ότι κάθε φυσικός αριθμός αναλύεται σε γινόμενο πρώτων και στο δεύτερο θα αποδείξουμε ότι αυτή η ανάλυση είναι μοναδική για κάθε φυσικό αριθμό.

Ανάλυση σε γινόμενο πρώτων: Έστω k>1· εφαρμόζουμε τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής:

1) Για k=2 το πρώτο σκέλος είναι προφανές.

2) Έστω ότι για κάθε φυσικό αριθμό n με 2nk-1, υπάρχουν πρώτοι αριθμοί p_1,...,p_m, όχι αναγκαστικά διαφορετικοί, έτσι ώστε  n=p_1...p_m . Αν ο αριθμός k είναι πρώτος ο ισχυρισμός μας ισχύει. Αν ο k είναι σύνθετος, τότε υπάρχουν b,cN τέτοια ώστε:

k=bc και 1<bc<k

Τότε, σύμφωνα με την υπόθεση της επαγωγής, μπορούμε να γράψουμε  b=p_1...p_a και  c=q_1...q_d, όπου p_1,...,p_a και q_1,...,q_d είναι πρώτοι. Επομένως

 k=bc=p_1...p_aq_1...q_d

Δηλαδή αποδείξαμε με την μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής ότι κάθε φυσικός αριθμός μεγαλύτερος της μονάδας αναλύεται σε γινόμενο πρώτων.

Μοναδικότητα ανάλυσης: Έστω  p_1...p_a=k=q_1...q_d, με ad, δύο πρωτογενείς αναλύσεις του k. Παρατηρούμε ότι το  p_1 διαιρεί το k. Επομένως,  p_1|q_1...q_d. Από το λήμμα του Ευκλείδη αυτό συνεπάγεται ότι  p_1| q_j για κάποιο δείκτη j. Και επειδή o q_j είναι πρώτος,  p_1 = q_j. Χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι  q_j = q_1 Συνεπώς,

 p_2...p_a=q_2...q_d

Με την ίδια διαδικασία βρίσκουμε ότι ο πρώτος p_2 ταυτίζεται με κάποιον από τους πρώτους q_2...q_d που και πάλι χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι αυτός είναι ο q_2. Συνεχίζοντας αυτή την διαδικασία συμπεραίνουμε ότι οι  p_1,...p_a ταυτίζονται με κάποιους από τους  q_1,...,q_d. Χωρίς βλάβη της γενικότητας

p_i = q_i για κάθε 1≤ ia

Επιπλέον, 1=q_1...q_{d-a}. Αν d>a η ισότητα αυτή είναι αδύνατο να ισχύει, άρα αναγκαστικά a=d.

Παρατηρήσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το λήμμα του Ευκλείδη είναι απαραίτητο για την απόδειξη της μοναδικότητας. Το λήμμα ισχύει στο δακτύλιο των ακεραίων αριθμών αλλά δεν ισχύει γενικά σε οποιοδήποτε δακτύλιο αριθμών. Η παρατήρηση αυτή έγινε από τον Γερμανό μαθηματικό Ερνστ Κούμερ το 1843.