Φρακτάλ του Vicsek

Στα μαθηματικά το φράκταλ του Vicsek, επίσης γνωστό ως νιφάδα του Vicsek ή φράκταλ του κουτιού,^[1]^[2] είναι ένα φράκταλ που προκύπτει από μια κατασκευή παρόμοια με αυτή του χαλιού του Σιερπίνσκι, η οποία προτάθηκε από τον Tamás Vicsek^[3]. Χρησιμοποιείται μεταξύ άλλων ως συμπαγής κεραία, ιδίως στα κινητά τηλέφωνα.

Το φράκταλ του κουτιού αναφέρεται επίσης σε διάφορα επαναλαμβανόμενα φράκταλ που δημιουργούνται από ένα τετράγωνο ή ορθογώνιο πλέγμα με διάφορα κουτιά να αφαιρούνται ή να απουσιάζουν και, σε κάθε επανάληψη, σε αυτά που υπάρχουν ή/και σε αυτά που απουσιάζουν, η προηγούμενη εικόνα μικραίνει και σχεδιάζεται μέσα σε αυτά. Το τρίγωνο Σιερπίνσκι μπορεί να προσεγγιστεί από ένα φράκταλ του κουτιού $2 \times 2$ με μια γωνία αφαιρεμένη. Το χαλί του Σιερπίνσκι είναι ένα φράκταλ $3 \times 3$ box με το μεσαίο τετράγωνο να έχει αφαιρεθεί.

Κατασκευή

Το βασικό τετράγωνο διασπάται σε εννέα μικρότερα τετράγωνα στο πλέγμα 3 επί 3. Τα τέσσερα τετράγωνα στις γωνίες και το μεσαίο τετράγωνο παραμένουν, ενώ τα υπόλοιπα τετράγωνα αφαιρούνται. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται αναδρομικά για κάθε ένα από τα πέντε υποτετράγωνα που απομένουν. Το φράκταλ του Vicsek είναι το σύνολο που προκύπτει στο όριο αυτής της διαδικασίας. Η διάσταση Χάουσντορφ αυτού του φράκταλ είναι $\textstyle {\frac {\log(5)}{\log(3)}}$ ≈ 1.46497.

Μια εναλλακτική κατασκευή (που φαίνεται παρακάτω στην αριστερή εικόνα) είναι η αφαίρεση των τεσσάρων γωνιακών τετραγώνων και η παραμονή του μεσαίου τετραγώνου και των τετραγώνων πάνω, κάτω, αριστερά και δεξιά από αυτό. Οι δύο κατασκευές παράγουν πανομοιότυπες οριακές καμπύλες, αλλά η μία περιστρέφεται κατά 45 μοίρες σε σχέση με την άλλη.

Αυτοομοιότητες I — αφαίρεση γωνιακών τετραγώνων.
Αυτοομοιότητες II — διατήρηση γωνιακών τετραγώνων.4

Καμπύλη κατά της σταυροβελονιάς, επαναλήψεις 0-4

Ιδιότητες

Το φράκταλ του Vicsek^[3] έχει την εκπληκτική ιδιότητα ότι διαθέτει μηδενικό εμβαδόν αλλά άπειρη περίμετρο, λόγω της μη ακέραιης διάστασής του. Σε κάθε επανάληψη, τέσσερα τετράγωνα αφαιρούνται για κάθε πέντε που διατηρούνται, πράγμα που σημαίνει ότι στην επανάληψη n το εμβαδόν είναι $\textstyle {({\frac {5}{9}})^{n}}$ (υποθέτοντας ένα αρχικό τετράγωνο με μήκος πλευράς 1). Όταν το n πλησιάζει το άπειρο, το εμβαδόν προσεγγίζει το μηδέν. Η περίμετρος όμως είναι $\textstyle {4({\frac {5}{3}})^{n}}$ , επειδή κάθε πλευρά χωρίζεται σε τρία μέρη και η κεντρική αντικαθίσταται με τρεις πλευρές, οπότε προκύπτει αύξηση από τρία σε πέντε. Η περίμετρος πλησιάζει το άπειρο καθώς αυξάνεται το n.

Το όριο του φράκταλ του Vicsek είναι η τετραγωνική καμπύλη του Κoχ τύπου 1.

Αντίστοιχα σε υψηλότερες διαστάσεις

Πτήση προς και γύρω από ένα 3Δ φράκταλ του Vicsek

Υφίσταται ένα τρισδιάστατο ανάλογο του φράκταλ του Vicsek. Κατασκευάζεται υποδιαιρώντας κάθε κύβο σε 27 μικρότερους και αφαιρώντας όλα τα στοιχεία εκτός από τον "κεντρικό σταυρό", τον κεντρικό κύβο και τους έξι κύβους που αγγίζουν το κέντρο κάθε όψης. Η διάσταση του Χάουσντορφ είναι $\textstyle {\frac {\log(7)}{\log(3)}}$ ≈ 1.7712.

Αντίστοιχα με το δισδιάστατο φράκταλ του Vicsek, το σχήμα αυτό έχει μηδενικό όγκο. Κάθε επανάληψη διατηρεί 7 κύβους για κάθε 27, με αποτέλεσμα ο όγκος να είναι $\textstyle {({\frac {7}{27}})^{n}}$ στην επανάληψη n, ο οποίος πλησιάζει το μηδέν καθώς το n πλησιάζει στο άπειρο.

Υπάρχει άπειρος αριθμός διασταυρώσεων που αποδίδουν το δισδιάστατο φράκταλ του Vicsek.

Commons logo

Τα Wikimedia Commons έχουν πολυμέσα σχετικά με το θέμα
Φρακτάλ του Vicsek

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Βιβλιογραφία

Δείτε επίσης

Παραπομπές

↑ Shan Fuqi· Gu Hongming· Gao Baoxin (2004). «Analysis of a vicsek fractal patch antenna». ICMMT 4th International Conference on, Proceedings Microwave and Millimeter Wave Technology, 2004. Beijing, China: IEEE. σελίδες 98–101. doi:10.1109/ICMMT.2004.1411469. ISBN 9780780384019.
↑ Weisstein, Eric W., "Box Fractal" από το MathWorld.
↑ ^3,0 ^3,1 Vicsek, Tamas (25 Ιουνίου 1992). Fractal Growth Phenomena (2nd Edition). World Scientific. ISBN 978-981-4506-19-9.
↑ «Box Fractals». 3 Ιανουαρίου 2014.

[1] Shan Fuqi· Gu Hongming· Gao Baoxin (2004). «Analysis of a vicsek fractal patch antenna». ICMMT 4th International Conference on, Proceedings Microwave and Millimeter Wave Technology, 2004. Beijing, China: IEEE. σελίδες 98–101. doi:10.1109/ICMMT.2004.1411469. ISBN 9780780384019.

[2] Weisstein, Eric W., "Box Fractal" από το MathWorld.

[:0-3] 3,0 ^3,1 Vicsek, Tamas (25 Ιουνίου 1992). Fractal Growth Phenomena (2nd Edition). World Scientific. ISBN 978-981-4506-19-9.

[4] «Box Fractals». 3 Ιανουαρίου 2014.

[1]

[2]

[3]

[4]