Φουξιανή ομάδα

Στα μαθηματικά, η φουξιανή ομάδα είναι μια διακριτή υποομάδα της PSL(2,R). Η ομάδα PSL(2,R) μπορεί ισοδύναμα να θεωρηθεί ως μια ομάδα ισομετριών του υπερβολικού επιπέδου που διατηρούν τον προσανατολισμό, ή συμμορφικών μετασχηματισμών του μοναδιαίου δίσκου, ή συμμορφικών μετασχηματισμών του άνω ημιεπιπέδου, έτσι ώστε μια φουξιανή ομάδα να θεωρηθεί ως μια ομάδα που δρα σε οποιονδήποτε από αυτούς τους χώρους. Υπάρχουν κάποιες παραλλαγές στον ορισμό: μερικές φορές η φουξιανή ομάδα υποτίθεται ότι έχει πεπερασμένη παραγωγή, μερικές φορές επιτρέπεται να είναι υποομάδα της PGL(2,R) (ώστε να περιέχει στοιχεία που αντιστρέφουν τον προσανατολισμό) και μερικές φορές επιτρέπεται να είναι μια ομάδα Κλάιν (μια διακριτή υποομάδα της PSL(2,C)) που είναι συζυγής με μια υποομάδα της PSL(2,R).

Οι φουξιανές ομάδες χρησιμοποιούνται για τη δημιουργία φουξιανών προτύπων των επιφανειών Ρίμαν. Στην προκειμένη περίπτωση, η ομάδα μπορεί να ονομαστεί φουξιανή ομάδα της επιφάνειας. Κατά μία έννοια, οι φουξιανές ομάδες πράττουν για τη μη ευκλείδεια γεωμετρία ό,τι και οι κρυσταλλογραφικές ομάδες για την ευκλείδεια γεωμετρία. Ορισμένα από τα γραφήματα του Έσερ βασίζονται σε αυτές τις ομάδες (για το πρότυπο του δίσκου της υπερβολικής γεωμετρίας).

Οι γενικές Φουξιανές ομάδες μελετήθηκαν για πρώτη φορά από τον Ανρί Πουανκαρέ (1882), ο οποίος παρακινήθηκε από την εργασία ("Φουξ 1880") και, ως εκ τούτου, τους έδωσε το όνομα του Λάζαρου Φουξ.

Φουχσιανές ομάδες στο άνω ημιεπίπεδο

Έστω H = {z στο C' : Im(z) > 0} το άνω ημιεπίπεδο. Τότε το H είναι ένα πρότυπο του υπερβολικού επιπέδου όταν είναι εφοδιασμένο με τη μετρική

$ds={\frac {1}{y}}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}.$

Η ομάδα PSL(2,R) ενεργεί στο H με γραμμικούς κλασματικούς μετασχηματισμούς (επίσης γνωστούς ως μετασχηματισμούς Möbius):

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot z={\frac {az+b}{cz+d}}.$

Αυτή η δράση είναι πιστή και στην πραγματικότητα η PSL(2,R) είναι ισομορφική με την ομάδα όλων των ισομετριών του H που διατηρούν τον προσανατολισμό.

Μια φουξιανή ομάδα Γ μπορεί να οριστεί ως μια υποομάδα της PSL(2,R), η οποία δρα ασυνεχώς πάνω στην H'. Δηλαδή,

• Για κάθε z' στο H', η τροχιά Γz = {γz : γ στο Γ} δεν έχει σημείο συσσώρευσης στο H'.

Ένας ισοδύναμος ορισμός για να είναι η Γ Φουξιανή είναι να είναι η Γ μια διακριτή ομάδα, που σημαίνει ότι:

• Κάθε ακολουθία {γ_n} στοιχείων του Γ που συγκλίνει στην ταυτότητα με τη συνήθη τοπολογία της σημειακής σύγκλισης είναι τελικά σταθερή, δηλαδή υπάρχει ένας ακέραιος αριθμός N τέτοιος ώστε για όλα τα n > N, γ_n = I, όπου I είναι ο πίνακας ταυτότητας.

Αν και η ασυνέχεια και η διακριτότητα είναι ισοδύναμες σε αυτή την περίπτωση, αυτό δεν ισχύει γενικά για την περίπτωση μιας αυθαίρετης ομάδας σύμμορφων ομοιομορφισμών που δρουν στην πλήρη σφαίρα Ρίμαν (σε αντίθεση με την H'). Πράγματι, η φουξιανή ομάδα PSL(2,Z) είναι διακριτή αλλά έχει σημεία συσσώρευσης στην πραγματική γραμμή αριθμών Im z = 0: τα στοιχεία της PSL(2,Z) θα μεταφέρουν z = 0 σε κάθε λογικό αριθμό, και οι λογικοί Q είναι πυκνό σύνολο στο R.

Γενικός ορισμός

Ένας γραμμικός κλασματικός μετασχηματισμός που ορίζεται από έναν πίνακα από την PSL(2,C) θα διατηρήσει τη σφαίρα ΡίμανP¹(C) = C ∪ ∞, αλλά θα στείλει το άνω ημιεπίπεδο H σε κάποιον ανοικτό δίσκο Δ. Η σύζευξη με έναν τέτοιο μετασχηματισμό θα στείλει μια διακριτή υποομάδα της PSL(2,R) σε μια διακριτή υποομάδα της PSL(2,C) που διατηρεί το Δ.

Αυτό αποτελεί κίνητρο για τον ακόλουθο ορισμό μιας "φουξιανής ομάδας". Έστω Γ ⊂ PSL(2,C) που δρα αναλλοίωτα σε έναν κατάλληλο, ανοικτό δίσκο Δ ⊂ C' ∪ ∞, δηλαδή Γ(Δ) = Δ. Τότε η Γ είναι Φουξιανή αν και μόνο αν ισχύει οποιαδήποτε από τις ακόλουθες τρεις ισοδύναμες ιδιότητες:

1. Η Γ είναι μια διακριτή ομάδα (σε σχέση με την τυπική τοπολογία στην PSL(2,C)).
2. Η Γ δρα σωστά ασυνεχώς σε κάθε σημείο z ∈ Δ.
3. Το σύνολο Δ είναι υποσύνολο της περιοχής ασυνέχειας Ω(Γ) της Γ.

Αυτό σημαίνει ότι οποιοδήποτε από αυτά τα τρία μπορεί να χρησιμεύσει ως ορισμός μιας φουξιανής ομάδας, ενώ τα υπόλοιπα ακολουθούν ως θεωρήματα. Η έννοια του αναλλοίωτου κατάλληλου υποσυνόλου Δ είναι σημαντική- η λεγόμενη ομάδα Picard PSL(2,Z[i]) είναι διακριτή αλλά δεν διατηρεί κανένα δίσκο στη Σφαίρα του Ρίμαν. Πράγματι, ακόμη και η σπονδυλωτή ομάδα PSL(2,Z), η οποία είναι μια φουχσιανή ομάδα, δεν δρα ασυνεχώς στη γραμμή των πραγματικών αριθμών- έχει σημεία συσσώρευσης στους ρητούς αριθμούς. Ομοίως, η ιδέα ότι το Δ είναι ένα κατάλληλο υποσύνολο της περιοχής ασυνέχειας είναι σημαντική- όταν δεν είναι, η υποομάδα ονομάζεται ομάδα Κλάιν.

Είναι συνηθέστερο να θεωρούμε ότι το αναλλοίωτο πεδίο Δ είναι είτε ο ανοικτός μοναδιαίος δίσκος είτε το άνω ημιεπίπεδο.

Οριακά σύνολα

Λόγω της διακριτής δράσης, η τροχιά Γz ενός σημείου z στο άνω ημιεπίπεδο υπό τη δράση του Γ δεν έχει σημεία συσσώρευσης στο άνω ημιεπίπεδο. Μπορεί, ωστόσο, να υπάρχουν οριακά σημεία στον πραγματικό άξονα. Έστω Λ(Γ) το οριακό σύνολο του Γ, δηλαδή το σύνολο των οριακών σημείων του Γz για z ∈ H. Τότε Λ(Γ) ⊆ R ∪ ∞. Το οριακό σύνολο μπορεί να είναι κενό, ή να περιέχει ένα ή δύο σημεία, ή να περιέχει άπειρο αριθμό. Στην τελευταία περίπτωση, υπάρχουν δύο τύποι:

Μια "φουξιανή ομάδα πρώτου τύπου" είναι μια ομάδα για την οποία το οριακό σύνολο είναι η κλειστή πραγματική γραμμή R ∪ ∞. Αυτό συμβαίνει αν ο πηλίκο χώρος H/Γ έχει πεπερασμένο όγκο, αλλά υπάρχουν φουξιανές ομάδες πρώτου τύπου με άπειρο ομοιόμορφο όγκο.

Διαφορετικά, μια "φουξιανή ομάδα" λέγεται ότι είναι "δεύτερου τύπου". Ισοδύναμα, πρόκειται για μια ομάδα για την οποία το οριακό σύνολο είναι ένα τέλειο σύνολο που δεν είναι πουθενά πυκνό στο R ∪ ∞. Εφόσον είναι πουθενά πυκνό, αυτό σημαίνει ότι κάθε οριακό σημείο είναι αυθαίρετα κοντά σε ένα ανοικτό σύνολο που δεν βρίσκεται στο οριακό σύνολο. Με άλλα λόγια, το οριακό σύνολο είναι ένα σύνολο Κάντορ.

Ο τύπος μιας φουξιανής ομάδας δεν είναι απαραίτητο να είναι ο ίδιος με τον τύπο της όταν θεωρείται ως ομάδα Κλάιν: στην πραγματικότητα, όλες οι φουξιανές ομάδες είναι ομάδες Κλάιν τύπου 2, καθώς τα οριακά σύνολα τους (ως ομάδες Κλάιν) είναι κατάλληλα υποσύνολα της σφαίρας του Ρίμαν, που περιέχονται σε κάποιο κύκλο.

Παραδείγματα

Ένα παράδειγμα φουξιανής ομάδας είναι η αρθρωτή (modular) ομάδα, PSL(2,Z'). Αυτή είναι η υποομάδα της PSL(2,R) που αποτελείται από γραμμικούς κλασματικούς μετασχηματισμούς

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot z={\frac {az+b}{cz+d}}$

όπου a, b, c, d είναι ακέραιοι αριθμοί. Το πηλίκο του χώρου H/PSL(2,Z) είναι ο χώρος moduli των ελλειπτικών καμπυλών.

Άλλες ομάδες Fuchsian περιλαμβάνουν τις ομάδες Γ(n) για κάθε ακέραιο n > 0. Εδώ η Γ(n) αποτελείται από γραμμικούς κλασματικούς μετασχηματισμούς της παραπάνω μορφής όπου οι καταχωρήσεις του πίνακα

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

είναι σύμφωνες με εκείνες του πίνακα ταυτότητας modulo n.

Ένα συμπαγές παράδειγμα είναι η (συνηθισμένη, περιστροφική) (2,3,7) ομάδα τριγώνων, που περιέχει τις φουξιανές ομάδες του τεταρτημορίου Κλάιν και της επιφάνειας Μακμπέθ, καθώς και άλλες ομάδες Χούρβιτς. Γενικότερα, κάθε υπερβολική ομάδα von Dyck (η υποομάδα δείκτη 2 μιας τριγωνικής ομάδας, που αντιστοιχεί σε ισομετρίες που διατηρούν τον προσανατολισμό) είναι μια φουχσιανή ομάδα.

Όλες αυτές είναι φουχσιανές ομάδες πρώτου είδους.

• Όλες οι υπερβολικές και παραβολικές κυκλικές υποομάδες της PSL(2,R) είναι φουξιανές.
• Κάθε ελλειπτική κυκλική υποομάδα είναι Φουξιανή αν και μόνο αν είναι πεπερασμένη.
• Κάθε αβελιανή φουξιανή ομάδα είναι κυκλική.
• Καμία Φουξιανή ομάδα δεν είναι ισομορφική με την Z × Z.
• Έστω Γ μια μη αβελιανή Φουξιανή ομάδα. Τότε ο κανονικοποιητής της Γ στην PSL(2,R) είναι Φουξιανή.

Μετρικές ιδιότητες

Αν το h είναι ένα υπερβολικό στοιχείο, το μεταφορικό μήκος L της δράσης του στο άνω ημιεπίπεδο σχετίζεται με το ίχνος του h ως πίνακα 2×2 με τη σχέση

$|\mathrm {tr} \;h|=2\cosh {\frac {L}{2}}.$

Μια παρόμοια σχέση ισχύει για τη συστολική της αντίστοιχης επιφάνειας Ρίμαν, αν η Φουξιανή ομάδα είναι ελεύθερη στρέψης και συμπαγής.

Δημοσιεύσεις

• Fuchs, Lazarus (1880), «Ueber eine Klasse von Funktionen mehrerer Variablen, welche durch Umkehrung der Integrale von Lösungen der linearen Differentialgleichungen mit rationalen Coeffizienten entstehen», J. Reine Angew. Math. 89: 151–169, http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN243919689_0089 
• Hershel M. Farkas, Irwin Kra|, Theta Constants, Riemann Surfaces and the Modular Group, American Mathematical Society, Providence RI, (ISBN 978-0-8218-1392-8) (See section 1.6)
• Henryk Iwaniec, Spectral Methods of Automorphic Forms, Second Edition, (2002) (Volume 53 in Graduate Studies in Mathematics), America Mathematical Society, Providence, RI (ISBN 978-0-8218-3160-1) (See Chapter 2.)
• Svetlana Katok, Fuchsian Groups (1992), University of Chicago Press, Chicago (ISBN 978-0-226-42583-2)
• David Mumford, Caroline Series, and David Wright, Indra's Pearls: The Vision of Felix Klein, (2002) Cambridge University Press (ISBN 978-0-521-35253-6). (Provides an excellent exposition of theory and results, richly illustrated with diagrams.)
• Peter J. Nicholls, The Ergodic Theory of Discrete Groups, (1989) London Mathematical Society Lecture Note Series 143, Cambridge University Press, Cambridge (ISBN 978-0-521-37674-7)
• Poincaré, Henri (1882), «Théorie des groupes fuchsiens», Acta Mathematica (Springer Netherlands) 1: 1–62, doi:10.1007/BF02592124, ISSN 0001-5962 

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Υπερβολική Γεωμετρία - ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ
• Discrete Groups in Space and Uniformization Problems
• Topics on Riemann Surfaces and Fuchsian Groups
• Algebraic Generalizations of Discrete Groups

Δείτε επίσης

• Αλγόριθμος διαμαντιού τετραγώνου
• Καμπύλη που γεμίζει το χώρο
• Νιφάδα του Κοχ
• Καμπύλη Χίλμπερτ
• Καμπύλη του δράκου
• Σπόγγος του Μένγκερ

• Σύνολο Μάντελμπροτ
• Σύνολο Julia
• Σύνολο Κάντορ
• Οικοδομήσιμο Σύμπαν
• Σύστημα-L