Τανυστής καμπυλότητας Riemann

Στο μαθηματικό πεδίο της διαφορικής γεωμετρίας, ο τανυστής καμπυλότητας Ρίμαν (ή τανυστής Ρίμαν–Κρίστοφελ) από τους Μπέρναρντ Ρίμαν και Έλβιν Μπρούνο Κριστόφελ, είναι ο πιο συνηθισμένος τρόπος για να εκφραστεί η καμπυλότητα στις πολλαπλότητες Ρίμαν. Αυτός συσχετίζει έναν τανυστή σε κάθε σημείο της πολλαπλότητας του Ρίμαν (π.χ. ένα τανυστικό πεδίο), που μετράει την επέκταση στην οποία ο μετρικός τανυστής δεν είναι τοπικά ισομετρικός σε ένα Ευκλείδιο χώρο. Ο τανυστής καμπυλότητας μπορεί επίσης να προσδιοριστεί για κάθε ψευδο-πολλαπλότητα Ρίμαν, ή κάθε πολλαπλότητα που έχει μία ομοπαραλληλική σύνδεση. Είναι κεντρικό μαθηματικό εργαλείο στη θεωρία της γενική σχετικότητας, τη μοντέρνα θεωρία της βαρύτητας, και η καμπυλότητα του χωροχρόνου στη θεωρία είναι παρατηρήσιμη μέσω της εξίσωσης της γεωδαισιακής απόκλισης. Ο τανυστής καμπυλότητας αντιπροσωπεύει την παλιρροιακή δύναμη που υφίσταται ένα στερεό σώμα που κινείται κατά μήκος μιας γεωδαισιακής καμπύλης με τρόπο που περιγράφεται από την εξίσωση Τζακόμπι.

Ο τανυστής καμπυλότητας δίνεται σε όρους σύνδεσης Λέβι-Τσίβιτα $\nabla$ από τον ακόλουθο τύπο:

$R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{[u,v]}w$

όπου [u,v] είναι οι "αγκύλες Λάι (Lie)" των διανυσματικών πεδίων. Για κάθε ζεύγος εφαπτομενικών διανυσμάτων u και v, R(u,v) είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός του εφαπτομενικού χώρου της πολλαπλότητας. Είναι γραμμικός στα u and v, έτσι προσδιορίζει έναν τανυστή. Περιστασιακά, ο τανυστής καμπυλότητας προσδιορίζεται με αντίθετο πρόσημο.

Αν τα $u=\partial /\partial x^{i}$ και $v=\partial /\partial x^{j}$ είναι διανυσματικά πεδία συντεταγμένων τότε $[u,v]=0$

και συνεπώς ο τύπος απλοποιείται στον:

$R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w.$