Σειρές Αϊζενστάιν

Οι σειρές Αϊζενστάιν, που πήραν το όνομά τους από τον Γερμανό μαθηματικό Γκότχολντ Αϊζενστάιν^[1], είναι συγκεκριμένες σπονδυλωτές μορφές με άπειρες επεκτάσεις σειρών που μπορούν να καταγραφούν άμεσα. Αρχικά ορίστηκαν για τη σπονδυλωτή ομάδα, οι σειρές Αϊζενστάιν μπορούν να γενικευτούν στη θεωρία των αυτομορφικών μορφών.

Σειρές Αϊζενστάιν για τη σπονδυλωτή ομάδα

Έστω $τ$ μιγαδικός αριθμός με αυστηρά θετικό φανταστικό μέρος. Ορίζουμε την ολόμορφη σειρά Αϊζενστάιν $G 2 k (τ)$ βάρους $2 k$ , όπου $k \geq 2$ είναι ακέραιος, με την ακόλουθη σειρά^[2]:

G_{2k}(\tau )=\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {1}{(m+n\tau )^{2k}}}.

Αυτή η σειρά συγκλίνει απόλυτα σε μια ολόμορφη συνάρτηση του $τ$ στο άνω ημιεπίπεδο και το ανάπτυγμά της κατά Φουριέ που παρουσιάζεται παρακάτω δείχνει ότι επεκτείνεται σε μια ολόμορφη συνάρτηση στο $τ = i \infty$ . Είναι αξιοσημείωτο γεγονός ότι η σειρά Αϊζενστάιν είναι μια σπονδυλωτή μορφή. Πράγματι, η βασική ιδιότητα είναι η αναλλοίωτη $\mathbb {Z}$ -της. $\mathbb {Z}$ και $ad - bc = 1$ τότε

G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=(c\tau +d)^{2k}G_{2k}(\tau )

: ${\begin{aligned}G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)&=\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {1}{\left(m+n{\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)^{2k}}}\\&=\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {(c\tau +d)^{2k}}{(md+nb+(mc+na)\tau )^{2k}}}\\&=\sum _{\left(m',n'\right)=(m,n){\begin{pmatrix}d\ \ c\\b\ \ a\end{pmatrix}} \atop (m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {(c\tau +d)^{2k}}{\left(m'+n'\tau \right)^{2k}}}\end{aligned}}$
Αν $ad - bc = 1$ τότε

${\begin{pmatrix}d&c\\b&a\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}\ a&-c\\-b&\ d\end{pmatrix}}$

έτσι ώστε

$(m,n)\mapsto (m,n){\begin{pmatrix}d&c\\b&a\end{pmatrix}}$

είναι μια διχοτόμηση $\mathbb {Z}$ , i.e.:

$\sum _{\left(m',n'\right)=(m,n){\begin{pmatrix}d\ \ c\\b\ \ a\end{pmatrix}} \atop (m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {1}{\left(m'+n'\tau \right)^{2k}}}=\sum _{\left(m',n'\right)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {1}{(m'+n'\tau )^{2k}}}=G_{2k}(\tau )$

Σε γενικές γραμμές, αν $ad - bc = 1$ τότε

$G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=(c\tau +d)^{2k}G_{2k}(\tau )$
και $G 2 k$ είναι επομένως μια σπονδυλωτή μορφή βάρους $2 k$ . Παρατηρούμε ότι είναι σημαντικό να υποθέσουμε ότι $k \geq 2$ , αλλιώς θα ήταν αθέμιτο να αλλάξουμε τη σειρά του αθροίσματος και δεν θα ίσχυε το $\mathbb {Z}$ -αναλλοίωτο. Στην πραγματικότητα, δεν υπάρχουν μη τετριμμένες σπονδυλωτές μορφές βάρους 2. Εντούτοις, ένα ανάλογο της ολόμορφης σειράς Αϊζενστάιν μπορεί να οριστεί ακόμη και για $k = 1$ , αν και θα ήταν μόνο μια οιονεί μορφοτροπική μορφή.

Σημειώστε ότι το $k \geq 2$ είναι απαραίτητο ώστε η σειρά να συγκλίνει απόλυτα, ενώ το $k$ πρέπει να είναι άρτιο, διαφορετικά το άθροισμα εξαφανίζεται επειδή οι όροι $(- m, - n)$ και ( $(m, n)$ ακυρώνονται. Για $k = 2$ η σειρά συγκλίνει αλλά δεν είναι σπονδυλωτή μορφή.

Σχέση με τις σπονδυλωτές αναλλοίωτες

Οι σπονδυλωτές αναλλοίωτες $g 2$ και $g 3$ μιας ελλειπτικής καμπύλης δίνονται από τις δύο πρώτες σειρές Αϊζενστάιν^[3]:

{\begin{aligned}g_{2}&=60G_{4}\\g_{3}&=140G_{6}.\end{aligned}}

Το άρθρο σχετικά με τις σπονδυλωτές αναλλοίωτες παρέχει εκφράσεις για αυτές τις δύο συναρτήσεις ως προς τις συναρτήσεις θήτα.

Σχέση επανάληψης

Κάθε ολομορφική σπονδυλωτή μορφή για τη σπονδυλωτή ομάδα^[4] μπορεί να γραφεί ως πολυώνυμο στα $G 4$ και $G 6$ . Συγκεκριμένα, η ανώτερη τάξη $G 2 k$ μπορεί να γραφεί ως προς τις $G 4$ και $G 6$ μέσω μιας αναδρομικής σχέσης. Έστω $d k = (2 k + 3) k! G 2 k + 4$ , έτσι για παράδειγμα, $d 0 = 3 G 4$ και $d 1 = 5 G 6$ . Τότε τα $d k$ πληρούν τη σχέση

\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}d_{k}d_{n-k}={\frac {2n+9}{3n+6}}d_{n+2}

για όλα τα $n \geq 0$ . Εδώ, $(n k)$ είναι ο διωνυμικός συντελεστής.

Τα $d k$ εμφανίζονται στο ανάπτυγμα σειράς για τις ελλειπτικές συναρτήσεις του Βαϊερστράς (Weierstrass):

{\begin{aligned}\wp (z)&={\frac {1}{z^{2}}}+z^{2}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {d_{k}z^{2k}}{k!}}\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }(2k+1)G_{2k+2}z^{2k}.\end{aligned}}

Σειρά Φουριέ

Ορίζουμε $q = e 2π iτ$ . (Ορισμένα παλαιότερα βιβλία ορίζουν το $q$ ως το νούμερο $q = e π iτ$ , αλλά το $q = e 2 π iτ$ είναι πλέον καθιερωμένο στη θεωρία αριθμών). Επομένως, η σειρά Φουριέ της σειράς Αϊζενστάιν^[5] έχει ως εξής

G_{2k}(\tau )=2\zeta (2k)\left(1+c_{2k}\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{2k-1}(n)q^{n}\right)

όπου οι συντελεστές $c 2 k$ δίνονται ως εξής

{\begin{aligned}c_{2k}&={\frac {(2\pi i)^{2k}}{(2k-1)!\zeta (2k)}}\\[4pt]&={\frac {-4k}{B_{2k}}}={\frac {2}{\zeta (1-2k)}}.\end{aligned}}

Εδώ, $B n$ είναι οι αριθμοί Μπερνούλι, $ζ (z)$ είναι η συνάρτηση ζήτα του Ρίμαν και $σ p (n)$ είναι η συνάρτηση αθροίσματος διαιρέσεων, το άθροισμα των $p$ th δυνάμεων των διαιρετών του $n$ . Συγκεκριμένα, έχουμε

{\begin{aligned}G_{4}(\tau )&={\frac {\pi ^{4}}{45}}\left(1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{n}\right)\\[4pt]G_{6}(\tau )&={\frac {2\pi ^{6}}{945}}\left(1-504\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{5}(n)q^{n}\right).\end{aligned}}

Το άθροισμα επί του $q$ μπορεί να ανακεφαλαιωθεί ως σειρά Λαμπέρ, δηλαδή έχουμε

\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{a}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}

για αυθαίρετα μιγαδικά q| < και $a$ . Όταν εξετάζεται η $q$ -επέκταση της σειράς Αϊζενστάιν, αυτός ο εναλλακτικός συμβολισμός εισάγεται συχνά:

{\begin{aligned}E_{2k}(\tau )&={\frac {G_{2k}(\tau )}{2\zeta (2k)}}\\&=1+{\frac {2}{\zeta (1-2k)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2k-1}q^{n}}{1-q^{n}}}\\&=1-{\frac {4k}{B_{2k}}}\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{2k-1}(n)q^{n}\\&=1-{\frac {4k}{B_{2k}}}\sum _{d,n\geq 1}n^{2k-1}q^{nd}.\end{aligned}}

Ταυτότητες που αφορούν σειρές Αϊζενστάιν

Ως συναρτήσεις θήτα^[6]

Δεδομένου του $q = e 2 π iτ$ , έστω

{\begin{aligned}E_{4}(\tau )&=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}\\E_{6}(\tau )&=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}}\\E_{8}(\tau )&=1+480\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{7}q^{n}}{1-q^{n}}}\end{aligned}}

και ορίζουμε τις συναρτήσεις θήτα του Ιακωβί, οι οποίες συνήθως χρησιμοποιούν το nome $e π iτ$ ,,

{\begin{aligned}a&=\theta _{2}\left(0;e^{\pi i\tau }\right)=\vartheta _{10}(0;\tau )\\b&=\theta _{3}\left(0;e^{\pi i\tau }\right)=\vartheta _{00}(0;\tau )\\c&=\theta _{4}\left(0;e^{\pi i\tau }\right)=\vartheta _{01}(0;\tau )\end{aligned}}

όπου $θ m$ και $ϑ ij$ είναι εναλλακτικοί συμβολισμοί. Τότε έχουμε τις συμμετρικές σχέσεις,

{\begin{aligned}E_{4}(\tau )&={\tfrac {1}{2}}\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)\\[4pt]E_{6}(\tau )&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)^{3}-54(abc)^{8}}{2}}}\\[4pt]E_{8}(\tau )&={\tfrac {1}{2}}\left(a^{16}+b^{16}+c^{16}\right)=a^{8}b^{8}+a^{8}c^{8}+b^{8}c^{8}\end{aligned}}

Η βασική άλγεβρα υποδηλώνει άμεσα ότι

E_{4}^{3}-E_{6}^{2}={\tfrac {27}{4}}(abc)^{8}

μια έκφραση που σχετίζεται με τη σπονδυλωτή διακριτική ικανότητα,

\Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}=(2\pi )^{12}\left({\tfrac {1}{2}}abc\right)^{8}

Η τρίτη συμμετρική σχέση, από την άλλη πλευρά, είναι συνέπεια της $E 8 = E 24$ and $a 4 - b 4 + c 4 = 0$ .

Προϊόντα της σειράς Αϊζενστάιν

Οι σειρές Αϊζενστάιν αποτελούν τα πιο σαφή παραδείγματα σπονδυλωτών μορφών για την πλήρη σπονδυλωτή ομάδα $\mathbb {Z}$ . Δεδομένου ότι ο χώρος των σπονδυλωτών μορφών βάρους $2 k$ έχει διάσταση 1 για $2 k = 4, 6, 8, 10, 14$ , τα διάφορα προϊόντα των σειρών Eisenstein που έχουν αυτά τα βάρη πρέπει να είναι ίσα μέχρι ένα κλιμακωτό πολλαπλάσιο. Πράγματι, λαμβάνουμε τις ταυτότητες^[7]:

E_{4}^{2}=E_{8},\quad E_{4}E_{6}=E_{10},\quad E_{4}E_{10}=E_{14},\quad E_{6}E_{8}=E_{14}.

Με τη χρήση των $q$ -επεκτάσεων των σειρών Αϊζενστάιν που δόθηκαν παραπάνω, μπορούν να επαναδιατυπωθούν ως ταυτότητες που περιλαμβάνουν τα αθροίσματα των δυνάμεων των διαιρετών:

\left(1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{n}\right)^{2}=1+480\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{7}(n)q^{n},

ως εκ τούτου

\sigma _{7}(n)=\sigma _{3}(n)+120\sum _{m=1}^{n-1}\sigma _{3}(m)\sigma _{3}(n-m),

και αντιστοίχως για τα υπόλοιπα. Η συνάρτηση θήτα ενός οκταδιάστατου ζυγού μονοτροπικού πλέγματος $Γ$ είναι μια σπονδυλωτή μορφή βάρους 4 για την πλήρη σπονδυλωτή ομάδα, η οποία δίνει τις ακόλουθες ταυτότητες:

\theta _{\Gamma }(\tau )=1+\sum _{n=1}^{\infty }r_{\Gamma }(2n)q^{n}=E_{4}(\tau ),\qquad r_{\Gamma }(n)=240\sigma _{3}(n)

για τον αριθμό $r Γ (n)$ των διανυσμάτων τετραγωνικού μήκους $2 n$ στο ριζικό πλέγμα του τύπου $E 8$ .

Παρόμοιες τεχνικές που περιλαμβάνουν ολόμορφες σειρές Αϊζενστάιν στριμμένες από έναν χαρακτήρα Ντρίχλετ παράγουν τύπους για τον αριθμό των απεικονίσεων ενός θετικού ακέραιου $n$ ' ως άθροισμα δύο, τεσσάρων ή οκτώ τετραγώνων ως προς τους διαιρέτες του $n$ .

Χρησιμοποιώντας την παραπάνω αναδρομική σχέση, όλα τα υψηλότερα $E 2 k$ μπορούν να εκφραστούν ως πολυώνυμα στα $E 4$ και $E 6$ . Παραδείγματος χάριν:

{\begin{aligned}E_{8}&=E_{4}^{2}\\E_{10}&=E_{4}\cdot E_{6}\\691\cdot E_{12}&=441\cdot E_{4}^{3}+250\cdot E_{6}^{2}\\E_{14}&=E_{4}^{2}\cdot E_{6}\\3617\cdot E_{16}&=1617\cdot E_{4}^{4}+2000\cdot E_{4}\cdot E_{6}^{2}\\43867\cdot E_{18}&=38367\cdot E_{4}^{3}\cdot E_{6}+5500\cdot E_{6}^{3}\\174611\cdot E_{20}&=53361\cdot E_{4}^{5}+121250\cdot E_{4}^{2}\cdot E_{6}^{2}\\77683\cdot E_{22}&=57183\cdot E_{4}^{4}\cdot E_{6}+20500\cdot E_{4}\cdot E_{6}^{3}\\236364091\cdot E_{24}&=49679091\cdot E_{4}^{6}+176400000\cdot E_{4}^{3}\cdot E_{6}^{2}+10285000\cdot E_{6}^{4}\end{aligned}}

Πολλές σχέσεις μεταξύ προϊόντων σειρών Αϊζενστάιν μπορούν να γραφούν με κομψό τρόπο χρησιμοποιώντας προσδιοριστές Χάνκελ, π.χ. η ταυτότητα του Γκάρβαν

\left({\frac {\Delta }{(2\pi )^{12}}}\right)^{2}=-{\frac {691}{1728^{2}\cdot 250}}\det {\begin{vmatrix}E_{4}&E_{6}&E_{8}\\E_{6}&E_{8}&E_{10}\\E_{8}&E_{10}&E_{12}\end{vmatrix}}

όπου

\Delta =(2\pi )^{12}{\frac {E_{4}^{3}-E_{6}^{2}}{1728}}

είναι η σπονδυλωτή διακριτική ικανότητα^[8]

Ταυτότητες Ραμανουτζάν

Ο Σρινιβάσα Ραμανουτζάν έδωσε αρκετές ενδιαφέρουσες ταυτότητες μεταξύ των πρώτων σειρών Αϊζενστάιν που αφορούν τη διαφοροποίηση^[9]. Έστω

{\begin{aligned}L(q)&=1-24\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nq^{n}}{1-q^{n}}}&&=E_{2}(\tau )\\M(q)&=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}&&=E_{4}(\tau )\\N(q)&=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}}&&=E_{6}(\tau ),\end{aligned}}

τότε

{\begin{aligned}q{\frac {dL}{dq}}&={\frac {L^{2}-M}{12}}\\q{\frac {dM}{dq}}&={\frac {LM-N}{3}}\\q{\frac {dN}{dq}}&={\frac {LN-M^{2}}{2}}.\end{aligned}}

Αυτές οι ταυτότητες, όπως και οι ταυτότητες μεταξύ των σειρών, δίνουν αριθμητικές ταυτότητες συνέλιξης που περιλαμβάνουν το άθροισμα της συνάρτησης του διαιρέτη. Σύμφωνα με τον Ραμανουτζάν, για να θέσουμε αυτές τις ταυτότητες στην απλούστερη μορφή είναι απαραίτητο να επεκτείνουμε το πεδίο της $σ p (n)$ ώστε να περιλαμβάνει το μηδέν, θέτοντας

{\begin{aligned}\sigma _{p}(0)={\tfrac {1}{2}}\zeta (-p)\quad \Longrightarrow \quad \sigma (0)&=-{\tfrac {1}{24}}\\\sigma _{3}(0)&={\tfrac {1}{240}}\\\sigma _{5}(0)&=-{\tfrac {1}{504}}.\end{aligned}}

Στη συνέχεια, για παράδειγμα

\sum _{k=0}^{n}\sigma (k)\sigma (n-k)={\tfrac {5}{12}}\sigma _{3}(n)-{\tfrac {1}{2}}n\sigma (n).

Άλλες ταυτότητες αυτού του τύπου, οι οποίες όμως δεν σχετίζονται άμεσα με τις προηγούμενες σχέσεις μεταξύ των συναρτήσεων $L$ , $M$ και $Ν$ , έχουν αποδειχθεί από τους Ραμανουτζάν και Τζουζέπε Μέλφι,^[10]^[11] όπως παραδείγματος χάριν

{\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}\sigma _{3}(k)\sigma _{3}(n-k)&={\tfrac {1}{120}}\sigma _{7}(n)\\\sum _{k=0}^{n}\sigma (2k+1)\sigma _{3}(n-k)&={\tfrac {1}{240}}\sigma _{5}(2n+1)\\\sum _{k=0}^{n}\sigma (3k+1)\sigma (3n-3k+1)&={\tfrac {1}{9}}\sigma _{3}(3n+2).\end{aligned}}

Γενικεύσεις

Οι αυτομορφικές μορφές γενικεύουν την ιδέα των σπονδυλωτών μορφών για γενικές ομάδες Lie και οι σειρές Αϊζενστάιν γενικεύονται με παρόμοιο τρόπο.

Αν ορίσουμε ότι $O K$ είναι ο δακτύλιος των ακεραίων ενός εντελώς πραγματικού αλγεβρικού αριθμητικού πεδίου $K$ , τότε ορίζουμε τη σπονδυλωτή ομάδα Χίλμπερτ-Μπλούμενταλ ως $PSL(2, O K)$ . Στη συνέχεια μπορεί κανείς να συσχετίσει μια σειρά Αϊζενστάιν με κάθε κορυφή της σπονδυλωτής ομάδας Χίλμπερτ-Μπλούμενταλ.

Δείτε επίσης

Παραπομπές

↑ «Gotthold Eisenstein - Biography». Maths History (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 5 Σεπτεμβρίου 2023.
↑ Gekeler, Ernst-Ulrich (2011). «PARA-EISENSTEIN SERIES FOR THE MODULAR GROUP GL(2, 𝔽q[T)»]. Taiwanese Journal of Mathematics 15 (4): 1463–1475. ISSN 1027-5487. https://www.jstor.org/stable/taiwjmath.15.4.1463.
↑ Obers, N. A.; Pioline, B. (2000-03-07). «Eisenstein Series in String Theory». Classical and Quantum Gravity 17 (5): 1215–1224. doi:10.1088/0264-9381/17/5/330. ISSN 0264-9381. http://arxiv.org/abs/hep-th/9910115.
↑ Mertens, Michael H.; Rolen, Larry. Lacunary recurrences for Eisenstein series. doi:10.1007/s40993-015-0010-x. ISSN 2363-9555. http://arxiv.org/abs/1504.00356.
↑ Karel, Martin L. (1974). «Fourier Coefficients of Certain Eisenstein Series». Annals of Mathematics 99 (1): 176–202. doi:10.2307/1971017. ISSN 0003-486X. https://www.jstor.org/stable/1971017.
↑ «How to prove this series identity involving Eisenstein series?». Mathematics Stack Exchange (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 5 Σεπτεμβρίου 2023.
↑ Dickson, Martin; Neururer, Michael. «Products of Eisenstein series and Fourier expansions of modular forms at cusps». Journal of Number Theory 188: 137–164. doi:10.1016/j.jnt.2017.12.013. http://arxiv.org/abs/1603.00774.

↑ Milne, Steven C. (2000). «Hankel Determinants of Eisenstein Series».

arXiv:math/0009130v3

.

The paper uses a non-equivalent definition of  $\Delta$ , but this has been accounted for in this article.

↑ Bhuvan, E. N.; Vasuki, K. R. (2019-06-24). «On a Ramanujan’s Eisenstein series identity of level fifteen» (στα αγγλικά). Proceedings - Mathematical Sciences 129 (4): 57. doi:10.1007/s12044-019-0498-4. ISSN 0973-7685. https://doi.org/10.1007/s12044-019-0498-4.
↑ Ramanujan, Srinivasa (1962). «On certain arithmetical functions». Collected Papers. New York, NY: Chelsea. σελίδες 136–162.
↑ Melfi, Giuseppe (1998). «On some modular identities». Number Theory, Diophantine, Computational and Algebraic Aspects: Proceedings of the International Conference held in Eger, Hungary. Walter de Grutyer & Co. σελίδες 371–382.

Βιβλιογραφία

Akhiezer, Naum Illyich (1970) (στα Russian). Elements of the Theory of Elliptic Functions. Moscow. Translated into English as Elements of the Theory of Elliptic Functions. AMS Translations of Mathematical Monographs 79. Providence, RI: American Mathematical Society. 1990. ISBN 0-8218-4532-2.
Apostol, Tom M. (1990). Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory (2nd έκδοση). New York, NY: Springer. ISBN 0-387-97127-0.
Chan, Heng Huat; Ong, Yau Lin (1999). «On Eisenstein Series». Proc. Amer. Math. Soc. 127 (6): 1735–1744. doi:10.1090/S0002-9939-99-04832-7. https://www.ams.org/proc/1999-127-06/S0002-9939-99-04832-7/S0002-9939-99-04832-7.pdf.
Iwaniec, Henryk (2002). Spectral Methods of Automorphic Forms. Graduate Studies in Mathematics 53 (2nd έκδοση). Providence, RI: American Mathematical Society. ch. 3. ISBN 0-8218-3160-7.
Serre, Jean-Pierre (1973). A Course in Arithmetic. Graduate Texts in Mathematics 7 (transl. έκδοση). New York & Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 9780387900407.

[1] «Gotthold Eisenstein - Biography». Maths History (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 5 Σεπτεμβρίου 2023.

[2] Gekeler, Ernst-Ulrich (2011). «PARA-EISENSTEIN SERIES FOR THE MODULAR GROUP GL(2, 𝔽q[T)»]. Taiwanese Journal of Mathematics 15 (4): 1463–1475. ISSN 1027-5487. https://www.jstor.org/stable/taiwjmath.15.4.1463.

[3] Obers, N. A.; Pioline, B. (2000-03-07). «Eisenstein Series in String Theory». Classical and Quantum Gravity 17 (5): 1215–1224. doi:10.1088/0264-9381/17/5/330. ISSN 0264-9381. http://arxiv.org/abs/hep-th/9910115.

[4] Mertens, Michael H.; Rolen, Larry. Lacunary recurrences for Eisenstein series. doi:10.1007/s40993-015-0010-x. ISSN 2363-9555. http://arxiv.org/abs/1504.00356.

[5] Karel, Martin L. (1974). «Fourier Coefficients of Certain Eisenstein Series». Annals of Mathematics 99 (1): 176–202. doi:10.2307/1971017. ISSN 0003-486X. https://www.jstor.org/stable/1971017.

[6] «How to prove this series identity involving Eisenstein series?». Mathematics Stack Exchange (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 5 Σεπτεμβρίου 2023.

[7] Dickson, Martin; Neururer, Michael. «Products of Eisenstein series and Fourier expansions of modular forms at cusps». Journal of Number Theory 188: 137–164. doi:10.1016/j.jnt.2017.12.013. http://arxiv.org/abs/1603.00774.

[8] Milne, Steven C. (2000). «Hankel Determinants of Eisenstein Series».
arXiv:math/0009130v3
.
The paper uses a non-equivalent definition of $\Delta$ , but this has been accounted for in this article.

[9] Bhuvan, E. N.; Vasuki, K. R. (2019-06-24). «On a Ramanujan’s Eisenstein series identity of level fifteen» (στα αγγλικά). Proceedings - Mathematical Sciences 129 (4): 57. doi:10.1007/s12044-019-0498-4. ISSN 0973-7685. https://doi.org/10.1007/s12044-019-0498-4.

[10] Ramanujan, Srinivasa (1962). «On certain arithmetical functions». Collected Papers. New York, NY: Chelsea. σελίδες 136–162.

[11] Melfi, Giuseppe (1998). «On some modular identities». Number Theory, Diophantine, Computational and Algebraic Aspects: Proceedings of the International Conference held in Eger, Hungary. Walter de Grutyer & Co. σελίδες 371–382.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]