Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Διάμεσος
A
M
{\displaystyle \mathrm {AM} }
A
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }
A
{\displaystyle \mathrm {A} }
M
{\displaystyle \mathrm {M} }
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {B\Gamma } }
Στην γεωμετρία , το πρώτο θεώρημα διαμέσων (ή θεώρημα Απολλωνίου ) ονομάζεται το θεώρημα που σχετίζει τα τετράγωνα των πλευρών ενός τριγώνου και το τετράγωνο της διαμέσου . Πιο συγκεκριμένα,[1] :41 [2] [2] : 372 [3] :121
Θεώρημα: Σε ένα τρίγωνο
A
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }
A
M
{\displaystyle \mathrm {AM} }
A
B
2
+
A
Γ
2
=
2
⋅
A
M
2
+
1
2
B
Γ
2
{\displaystyle \mathrm {AB} ^{2}+\mathrm {A\Gamma } ^{2}=2\cdot \mathrm {AM} ^{2}+{\frac {1}{2}}\mathrm {B\Gamma } ^{2}}
Το θεώρημα αποτελεί ειδική περίπτωση του θεωρήματος Στιούαρτ .
Σχήμα απόδειξης πρώτου θεωρήματος διαμέσων. Χρησιμοποιώντας τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο
A
M
B
{\displaystyle \mathrm {AMB} }
A
B
2
=
A
M
2
+
M
B
2
−
2
⋅
A
M
⋅
M
B
⋅
cos
ϕ
{\displaystyle \mathrm {AB} ^{2}=\mathrm {AM} ^{2}+\mathrm {MB} ^{2}-2\cdot \mathrm {AM} \cdot \mathrm {MB} \cdot \cos \phi }
(1
Χρησιμοποιώντας τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο
A
M
Γ
{\displaystyle \mathrm {AM\Gamma } }
A
Γ
2
=
A
M
2
+
M
Γ
2
−
2
⋅
A
M
⋅
M
Γ
⋅
cos
(
180
o
−
ϕ
)
{\displaystyle \mathrm {A\Gamma } ^{2}=\mathrm {AM} ^{2}+\mathrm {M\Gamma } ^{2}-2\cdot \mathrm {AM} \cdot \mathrm {M\Gamma } \cdot \cos(180^{o}-\phi )}
A
Γ
2
=
A
M
2
+
M
B
2
+
2
⋅
A
M
⋅
M
B
⋅
cos
ϕ
{\displaystyle {\phantom {\mathrm {A\Gamma } ^{2}}}=\mathrm {AM} ^{2}+\mathrm {MB} ^{2}+2\cdot \mathrm {AM} \cdot \mathrm {MB} \cdot \cos \phi }
(2
καθώς
M
B
=
M
Γ
{\displaystyle \mathrm {MB} =\mathrm {M\Gamma } }
M
{\displaystyle \mathrm {M} }
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {B\Gamma } }
Προσθέτοντας τις εξισώσεις (1 2
A
B
2
+
A
Γ
2
=
2
⋅
A
M
2
+
2
M
B
2
.
{\displaystyle \mathrm {AB} ^{2}+\mathrm {A\Gamma } ^{2}=2\cdot \mathrm {AM} ^{2}+2\mathrm {MB} ^{2}.}
Χρησιμοποιώντας ότι
M
B
=
M
Γ
=
1
2
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {MB} =\mathrm {M\Gamma } ={\tfrac {1}{2}}\mathrm {B\Gamma } }
◻
{\displaystyle \square }
Τα μήκη των διαμέσων ενός τριγώνου δίνονται από
μ
A
=
1
2
2
β
2
+
2
γ
2
−
α
2
{\displaystyle \mu _{\rm {A}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\beta ^{2}+2\gamma ^{2}-\alpha ^{2}}}}
μ
B
=
1
2
2
α
2
+
2
γ
2
−
β
2
{\displaystyle \mu _{\rm {B}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\alpha ^{2}+2\gamma ^{2}-\beta ^{2}}}}
μ
Γ
=
1
2
2
α
2
+
2
β
2
−
γ
2
{\displaystyle \mu _{\rm {\Gamma }}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\alpha ^{2}+2\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}}
Το Πυθαγόρειο θεώρημα προκύπτει ως συνέπεια του πρώτου θεωρήματος διαμέσων αφού
A
M
=
1
2
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {AM} ={\tfrac {1}{2}}\mathrm {B\Gamma } }
A
B
2
+
A
Γ
2
=
2
⋅
A
M
2
+
1
2
B
Γ
2
=
1
2
B
Γ
2
+
1
2
B
Γ
2
=
B
Γ
2
{\displaystyle \mathrm {AB} ^{2}+\mathrm {A\Gamma } ^{2}=2\cdot \mathrm {AM} ^{2}+{\frac {1}{2}}\mathrm {B\Gamma } ^{2}={\frac {1}{2}}\mathrm {B\Gamma } ^{2}+{\frac {1}{2}}\mathrm {B\Gamma } ^{2}=\mathrm {B\Gamma } ^{2}}
↑ Πανάκης, Ιωάννης (1974). Μαθηματικά Δ',Ε',ΣΤ' Γυμνασίου Τόμος Δεύτερος . Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων. ↑ 2,0 2,1 Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Θεωρητική Γεωμετρία . Αθήνα: Πέτρου Γ. Τογκα. ↑ Κανελλος, Σπ. Γ. (1975). Ευκλείδειος Γεωμετρία . Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων. 
