Ποικιλία Σούμπερτ

Στην αλγεβρική γεωμετρία, μια ποικιλία Σούμπερτ είναι μια ορισμένη υποποικιλία της Γκρασμανιανής, $\mathbf {Gr} _{k}(V)$ από $k$-διάστατους υποχώρους ενός διανυσματικού χώρου $V$, συνήθως με ιδιάζοντα σημεία. Όπως και η Γκρασμανιανή, είναι ένα είδος χώρου moduli, του οποίου τα στοιχεία ικανοποιούν συνθήκες που δίνουν κατώτερα όρια στις διαστάσεις των τομών των στοιχείων του$w\subset V$, με τα στοιχεία μιας συγκεκριμένης πλήρους σημαίας. Εδώ το $V$ μπορεί να είναι ένας διανυσματικός χώρος πάνω από ένα αυθαίρετο πεδίο, αλλά συνηθέστερα αυτό θεωρείται ότι είναι είτε οι πραγματικοί είτε οι μιγαδικοί αριθμοί.

Ορισμός

Παράδειγμα

Ένα τυπικό παράδειγμα είναι το σύνολο $X$ των $2$-διάστατων υποχώρων $w\subset V$ ενός 4-διάστατου χώρου $V$ που τέμνουν έναν σταθερό (αναφοράς) 2-διάστατο υποχώρο $V_{2}$ μη τετριμμένα.

$X\ =\ \{w\subset V\mid \dim(w)=2,\,\dim(w\cap V_{2})\geq 1\}.$

Στο πεδίο των πραγματικών αριθμών, αυτό μπορεί να απεικονιστεί στο συνηθισμένο χώρο xyz ως εξής. Αντικαθιστώντας τους υποχώρους με τους αντίστοιχους προβολικούς χώρους τους και τέμνοντας με ένα εφαπτόμενο τμήμα συντεταγμένων του $\mathbb {P} (V)$, λαμβάνουμε ένα ανοικτό υποσύνολο X° ⊂ X. Αυτό είναι ισόμορφο με το σύνολο όλων των ευθειών L (όχι απαραίτητα μέσω της αρχής) που συναντούν τον άξονα x. Κάθε τέτοια ευθεία L αντιστοιχεί σε ένα σημείο του X°, και η συνεχής μετακίνηση της L στο χώρο (διατηρώντας επαφή με τον x-άξονα) αντιστοιχεί σε μια καμπύλη στο X°. Δεδομένου ότι υπάρχουν τρεις βαθμοί ελευθερίας στην κίνηση του L (μετακίνηση του σημείου στον x-άξονα, περιστροφή και κλίση), το X είναι μια τρισδιάστατη πραγματική αλγεβρική ποικιλία. Ωστόσο, όταν το L είναι ίσο με τον x-άξονα, μπορεί να περιστραφεί ή να γείρει γύρω από οποιοδήποτε σημείο του άξονα, και αυτή η υπερβολή των πιθανών κινήσεων καθιστά το L ένα ιδιάζον σημείο του X.

Γενικός ορισμός

Γενικότερα, μια ποικιλία Σούμπερτ στο $\mathbf {Gr} _{k}(V)$ ορίζεται καθορίζοντας την ελάχιστη διάσταση της τομής ενός $k$-διάστατου υποχώρου $w\subset V$ με κάθε έναν από τους χώρους σε μια σταθερή πλήρη σημαία αναφοράς $V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots \subset V_{n}=V$, όπου $\dim V_{j}=j$. (Στο παραπάνω παράδειγμα, αυτό θα σήμαινε ότι απαιτούνται ορισμένες τομές της ευθείας L με τον άξονα x και το επίπεδο xy).

Σε γενικές γραμμές, δεδομένης μιας ημι-απλής αλγεβρικής ομάδας $G$ με μια υποομάδα του Μπορέλ $B$ και μια τυπική παραβολική υποομάδα $P$, είναι γνωστό ότι ο ομογενής χώρος $G/P$, ο οποίος αποτελεί παράδειγμα ποικιλίας σημαιών, αποτελείται από πεπερασμένα πολλά $B$-orbits, που μπορούν να παραμετροποιηθούν από ορισμένα στοιχεία $w\in W$ της ομάδας Γουέιλ $W$. Το κλείσιμο της $B$-τροχιάς που σχετίζεται με ένα στοιχείο $w\in W$ συμβολίζεται $X_{w}$ και ονομάζεται ποικιλία Σουμπέρτ στην $G/P$. Η κλασική περίπτωση αντιστοιχεί στην $G=SL_{n}$, με $P=P_{k}$, την $k$-th μέγιστη παραβολική υποομάδα της $SL_{n}$, έτσι ώστε $G/P=\mathbf {Gr} _{k}(\mathbf {C} ^{n})$ είναι η Γκρασμανιανή των $k$-επιπέδων στο $\mathbf {C} ^{n}$.

Σημασία

Οι ποικιλίες Σούμπερτ αποτελούν μια από τις σημαντικότερες και καλύτερα μελετημένες κατηγορίες από ιδιάζουσες αλγεβρικές ποικιλίες. Ένα ορισμένο μέτρο της ιδιομορφίας των ποικιλιών Σούμπερτ παρέχεται από τα πολυώνυμα Καζντάν-Λούστιγκ, τα οποία κωδικοποιούν την τοπική συνομολογία τομής Γκορέσκυ-Μακφέρσον.

Οι άλγεβρες των κανονικών συναρτήσεων στις ποικιλίες Σούμπερτ έχουν βαθιά σημασία στην αλγεβρική συνδυαστική και αποτελούν παραδείγματα αλγεβρών με νόμο ευθυγράμμισης. Η (συν)ομολογία της Γκρασμανιανής, και γενικότερα των ευρύτερων ποικιλιών σημαιών, έχει μια βάση που αποτελείται από τις κλάσεις (συν)ομολογίας των ποικιλιών Σούμπερτ, ή κύκλους Σούμπερτ. Η μελέτη της θεωρίας τομής στη Γκρασμανιανή ξεκίνησε από τον Χέρμαν Σούμπερτ και συνεχίστηκε από τον Ζεύθεν τον 19ο αιώνα υπό τον τίτλο της Απαριθμητικής Γεωμετρίας. Ο τομέας αυτός κρίθηκε από τον Ντέιβιντ Χίλμπερτ αρκετά σημαντικός ώστε να συμπεριληφθεί ως το δέκατο πέμπτο από τα διάσημα 23 προβλήματά του. Η μελέτη συνεχίστηκε τον 20ό αιώνα ως μέρος της γενικής ανάπτυξης της αλγεβρικής τοπολογίας και της θεωρίας αναπαραστάσεων, αλλά επιταχύνθηκε τη δεκαετία του 1990, ξεκινώντας με το έργο του Γουίλιαμ Φούλτον σχετικά με τους τόπους εκφυλισμού και τα πολυώνυμα Σούμπερτ, σε συνέχεια προηγούμενων ερευνών των Μπερνστάιν-Γκέλφαντ-Γκέλφαντ και Ντεμαζούρε στη θεωρία αναπαραστάσεων τη δεκαετία του 1970, των Λασκού και Σούτσενμπεργκερ στη συνδυαστική τη δεκαετία του 1980 και των Φούλτον και ΜακΦέρσον στη θεωρία τομών των ιδιαζουσών αλγεβρικών ποικιλιών, επίσης τη δεκαετία του 1980.

Δημοσιεύσεις

• Griffiths, P.A.· Harris, J.E. (1994). Principles of algebraic geometry. Wiley Classics Library edition. Wiley-Interscience. doi:10.1002/9781118032527. ISBN 0-471-05059-8. 
• A.L. Onishchik (2001), «Schubert variety», στο: Hazewinkel, Michiel, επιμ., Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=S/s083430 
• H. Schubert, Lösung des Charakteristiken-Problems für lineare Räume beliebiger Dimension Mitt. Math. Gesellschaft Hamburg, 1 (1889) pp. 134–155
• Fulton, William (1997). Young Tableaux. With Applications to Representation Theory and Geometry, Chapts. 5 and 9.4. London Mathematical Society Student Texts. 35. Cambridge, U.K.: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511626241. ISBN 9780521567244. 
• Fulton, William (1998). Intersection Theory. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98549-7. MR 1644323. 

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Αλγεβρική ποικιλία
• Τοπολογία
• Πίνακας (μαθηματικά)
• Ανάστροφος πίνακας

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• A. Bondal, D. Orlov, Semi-orthogonal decomposition for algebraic varieties_, PreprintMPI/95–15, alg-geom/9506006
• Singular Loci of Schubert Varieties
• Schubert Varieties and Degeneracy Loci
• Topics in Cohomological Studies of Algebraic Varieties: Impanga Lecture Notes
• The Grassmannian Variety: Geometric and Representation-Theoretic Aspects
• Representation Theories and Algebraic Geometry