Μέγεθος (μαθηματικά)

Στα μαθηματικά, το μέγεθος είναι η διάταξη ενός μαθηματικού αντικειμένου, μια ιδιότητα που καθορίζει αν το αντικείμενο είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο από άλλα αντικείμενα του ίδιου είδους. Πιο επίσημα, το μέτρο ενός αντικειμένου είναι το τελικό αποτέλεσμα μια διάταξης(ή κατάταξης) από την τάξη των αντικειμένων στην οποία ανήκει.

Ιστορία

Οι Έλληνες διέκριναν διάφορα είδη μεγέθους, , συμπεριλαμβανομένων των:

• Θετικά κλάσματα
• Ευθύγραμμα τμήματα (διατεταγμένα κατά μήκος)
• Γεωμετρικά σχήματα (διατεταγμένα κατά εμβαδόν)
• Στερεά (διαταχθεί από τον όγκο)
• Γωνίες (διαταχθεί από το γωνιακό μέτρο)

Απέδειξαν ότι τα δύο πρώτα δεν θα ήταν δυνατό να είναι ίδια, ή ακόμη και ισομορφικά συστήματα μεγέθους. Δεν θεωρούσαν τα αρνητικά μεγέθη να είναι ουσιαστικά, και το μέγεθος ακόμα χρησιμοποιείται σε περιπτώσεις όπου το μηδέν είναι είτε το μικρότερο μέγεθος ή το μικρότερο από όλα τα πιθανά μεγέθη.

Αριθμοί

Το μέγεθος κάθε αριθμού είναι συνήθως ονομάζεται "απόλυτη τιμή" ή "μέτρο", που συμβολίζεται με |x|.

Πραγματικοί αριθμοί

Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού r ορίζεται από τη σχέση:

$\left|r\right|=r,{\text{ if }}r{\text{ ≥ }}0$

$\left|r\right|=-r,{\text{ if }}r<0.$

Απόλυτη τιμή μπορεί να θεωρηθεί ως η απόσταση του αριθμού από το μηδέν στον άξονα των πραγματικών αριθμών. Για παράδειγμα, η απόλυτη τιμή των 7 και -7 είναι 7.

Μιγαδικοί αριθμοί

Ένας μιγαδικός αριθμός z μπορεί να θεωρηθεί ως η θέση του σημείου P στο 2-διάστατο χώρο, που ονομάζεται μιγαδικό επίπεδο. Η απόλυτη τιμή ή το μέτρο του z μπορεί να θεωρηθεί ως η απόσταση του P από την αρχή του χώρου. Η φόρμουλα για την απόλυτη τιμή του z = a + bi είναι παρόμοια με εκείνη για την Ευκλείδεια νόρμα του διανύσματος σε ένα 2-διάστατο Ευκλείδειο χώρο:

$\left|z\right|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

όπου οι πραγματικοί αριθμοί a και b είναι το πραγματικό μέρος και το φανταστικό μέρος του z, αντίστοιχα. Για παράδειγμα, το μέτρο −3 + 4i είναι ${\sqrt {(-3)^{2}+4^{2}}}=5$. Εναλλακτικά, το μέγεθος ενός μιγαδικού αριθμού z ορίζεται ως η τετραγωνική ρίζα του γινομένου του με τον συζυγή του, z^∗, όπου για κάθε μιγαδικό αριθμό  z = a + bi, ο συζυγής του είναι '${\bar {z}}=a-bi$.

$\left|z\right|={\sqrt {z{\bar {z}}}}={\sqrt {(a+bi)(a-bi)}}={\sqrt {a^{2}-abi+abi-b^{2}i^{2}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

(where $i^{2}=-1$).

Διανυσματικοί χώροι

Ευκλείδειος διανυσματικός χώρος

Ένα Ευκλείδειο διάνυσμα αντιπροσωπεύει τη θέση ενός σημείου P σε έναν Ευκλείδειο χώρο. Γεωμετρικά, μπορεί να περιγραφεί ως ένα βέλος από την αρχή του χώρου (αρχή του διανύσματος σε αυτό το σημείο (πέρας διανύσματος). Με μαθηματική ακρίβεια, ένα διάνυσμα x σε ένα ν-διάστατο Ευκλείδειο χώρο μπορεί να οριστεί ως μια διατεταγμένη λίστα από n πραγματικούς αριθμούς (οι Καρτεσιανές συντεταγμένες του P): x = [x₁, x₂, ..., x_n]. Το μέγεθος ή το μήκος είναι πιο συχνά ορίζεται ως η Ευκλείδεια νόρμα (ή Ευκλείδειο μήκος):

$\|\mathbf {x} \|={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.$

Για παράδειγμα, σε ένα 3-διάστατο χώρο, το μέγεθος του [3, 4, 12] 13 γιατί ${\sqrt {3^{2}+4^{2}+12^{2}}}={\sqrt {169}}=13.$ Αυτό είναι ισοδύναμο με την τετραγωνική ρίζα του εσωτερικού γινομένου του διανύσμαυος με τον εαυτό του:

$\|\mathbf {x} \|={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }}.$

Η Ευκλείδεια νόρμα του διανύσματος είναι απλώς μια ειδική περίπτωση της Ευκλείδειας απόστασης: η απόσταση μεταξύ της αρχής του και του πέρατός του. Δύο παρόμοια σύμβολα χρησιμοποιούνται για την Ευκλείδεια νόρμα του διανύσματος x:

1. $\left\|\mathbf {x} \right\|,$
2. $\left|\mathbf {x} \right|.$

Ένα μειονέκτημα του δεύτερου συμβολισμού είναι ότι επίσης, χρησιμοποιείται για να υποδηλώσει την απόλυτη τιμή βαθμωτών τιμών και τις ορίζουσες των πινάκων και, επομένως, μπορεί να είναι διφορούμενος .

Νορμαρισμένοι διανυσματικοί χώροι

Εξ ορισμού, όλα τα Ευκλείδεια διανύσματα έχουν ένα μέγεθος (βλ. παραπάνω). Ωστόσο, η έννοια του μεγέθους δεν μπορεί να εφαρμοστεί σε όλα τα είδη των διανυσμάτων.

Μια συνάρτηση που αντιστοιχίζει αντικείμενα στα μέτρα τους ονομάζεται νόρμα. Ένας διανυσματικός χώρος προικιμένος με μια νόρμα, όπως τον Ευκλείδειο χώρο, ονομάζεται νορμαρισμένος διανυσματικός χώρος. Δεν είναι όλοι οι διανυσματικοί χώροι νορμαρισμένοι.

Ψευδο-Ευκλείδειος χώρος

Σε έναν ψευδο-Ευκλείδειο χώρο, το μέγεθος του διανύσματος είναι η τιμή της τριωνύμου για αυτό το διάνυσμα.

Λογαριθμικά μεγέθη

Κατά τη σύγκριση των μεγεθών, η λογαριθμική κλίμακα χρησιμοποιείται συχνά. Παραδείγματα περιλαμβάνουν την ένταση του ήχου (που μετράται σε ντεσιμπέλ), η φωτεινότητα των αστέρων, και η κλίμακα Ρίχτερ της έντασης ενός σεισμού . Τα λογαριθμικά μεγέθη μπορεί να είναι αρνητικά. Δεν έχει νόημα να τα προσθέσετε ή να τα αφαιρέσετε .

Τάξη μεγέθους

Τάξεις μεγέθους υποδηλώνουν διαφορές σε αριθμητικές ποσότητες, συνήθως μετρήσεις, πολλαπλάσια του 10, η διαφορά ενός ψηφίου στη θέση της υποδιαστολής.