Επιτάχυνση της βαρύτητας

Στη φυσική, η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι η επιτάχυνση που αποκτάει ένα σώμα όταν βρεθεί μέσα στο βαρυτικό πεδίο της Γης. Συμβολίζεται διεθνώς με το γράμμα g. Είναι μέγεθος διανυσματικό όπως ακριβώς και η επιτάχυνση. Η τιμή της δεν εξαρτάται από το βάρος του σώματος και έχει τιμή περίπου 9,8 m/s² στην επιφάνεια της Γης.

Η ακριβής τιμή της επιτάχυνσης της βαρύτητας μεταβάλλεται συναρτήσει των γεωγραφικών συντεταγμένων. Οι αποκλίσεις οφείλονται κυρίως στο μη συμμετρικό σχήμα της Γης (γεωειδές) και στο γεγονός ότι η Γη περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της. Συγκεκριμένα, στον Ισημερινό, όπου το γεωγραφικό πλάτος είναι 0°, βρέθηκε ότι η τιμή του g είναι 9,780 m/s². Στους πόλους, όπου το γεωγραφικό πλάτος είναι 90°, η τιμή του g είναι 9,832 m/sec².

Μαθηματική περιγραφή

Η ακριβής τιμή της επιτάχυνσης της βαρύτητας μπορεί να προσδιορισθεί αν καθοριστεί ένα μοντέλο για το σχήμα του σώματος που αποτελεί την πηγή του βαρυτικού πεδίου. Το απλούστερο μοντέλο είναι αυτό ενός σφαιρικού αντικειμένου μάζας Μ και ακτίνας R. Συγκεκριμένα, σύμφωνα με τον νόμο της παγκόσμιας έλξης η δύναμη που ασκεί ένα σφαιρικό σώμα μάζας Μ σε οποιοδήποτε αντικείμενο μάζας m στην επιφάνειά του ισούται με:

${\begin{aligned}F_{\textrm {g}}=G\,{\frac {Mm}{R^{2}}}\,,\end{aligned}}$

με φορά προς το κέντρο του σώματος μάζας Μ. Σύμφωνα με τον 2^ο νόμο του Νεύτωνα όμως,

${\begin{aligned}ma&=F_{\textrm {g}}\\ma&=G\,{\frac {Mm}{R^{2}}}\\a&={\frac {GM}{R^{2}}}\end{aligned}}$

όπου a η επιτάχυνση που δέχεται το αντικείμενο μάζας m. Η επιτάχυνση αυτή είναι ίδια για όλα τα αντικείμενα ανεξαρτήτως μάζας και ταυτίζεται με την επιτάχυνση της βαρύτητας, g. Στην περίπτωση της Γης,

${\begin{aligned}g_{\oplus }={\frac {GM_{\oplus }}{R_{\oplus }^{2}}}\end{aligned}}$

Αντικαθιστώντας τις γνωστές τιμές της ακτίνας και μάζας της Γης καθώς επίσης και της σταθεράς της βαρύτητας, προκύπτει η τιμή 9,8 m/s². Αξίζει να τονισθεί ότι η παραπάνω ανάλυση για την περίπτωση της Γης ισχύει μόνο εφόσον υποθέσουμε ότι η Γη είναι τέλεια σφαίρα και ότι η μοναδική δύναμη που ασκείται στα σώματα που βρίσκονται στην επιφάνειά της είναι αυτή της βαρύτητας. Στην πραγματικότητα, και οι δύο υποθέσεις αυτές είναι λανθασμένες με αποτέλεσμα η πραγματική τιμή της επιτάχυνσης της βαρύτητας να παρουσιάζει μεταβολές συναρτήσει των γεωγραφικών συντεταγμένων.

Διορθώσεις λόγω περιστροφής της Γης

Μία ακριβέστερη τιμή για την επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνεια της Γης μπορεί να προσδιοριστεί αν ληφθεί υπόψη η επίδραση της φυγόκεντρου δύναμης που εμφανίζεται ως αποτέλεσμα της περιστροφής της Γης γύρω από τον άξονά της. Στα πλαίσια της θεωρίας των περιστρεφόμενων πλαισίων αναφοράς, η πραγματική επιτάχυνση της βαρύτητας, g*, στην επιφάνεια ενός σφαιρικού σώματος μάζας Μ και ακτίνας R περιγράφεται από το διάνυσμα

$\mathbf {g} ^{*}=\mathbf {g} -{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {R} )$

όπου g το διάνυσμα η επιτάχυνση της βαρύτητας αν δεν ληφθεί υπόψη η περιστροφή της Γης (≈ 9,8 m/s²), ω το διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας και R η ακτίνα θέσης με φορά από το κέντρο της Γης προς την επιφάνεια και μέτρο ίσο με την ακτίνα της. Άμεση συνέπεια της παραπάνω σχέσης είναι ότι η πραγματική φορά της επιτάχυνσης της βαρύτητας δεν είναι προς το κέντρο της Γης, αλλά αποκλίνει προς τα έξω κατά μικρή γωνία. Είναι δυνατόν να δειχθεί ότι η γωνία απόκλισης αυτή δίνεται από τον τύπο

$\alpha \approx {\frac {\omega ^{2}R}{2g}}\,\sin 2(90^{\circ }-\varphi )$

όπου φ το γεωγραφικό πλάτος. Η μέγιστη τιμή αντιστοιχεί σε φ=45° και ισούται περίπου με ίση με έξι λεπτά του τόξου (1 λεπτό τόξου αντιστοιχεί σε 1/60 της μοίρας), ενώ αντίστοιχα στους πόλους (φ=90°) που δεν υπάρχει φυγόκεντρη δύναμη η γωνία απόκλισης α είναι μηδέν.

Βάσει του μοντέλου της περιστρεφόμενης σφαίρας, η διαφορά της επιτάχυνσης της βαρύτητας μεταξύ των πόλων και του ισημερινού προκύπτει ότι είναι ίση με 0,034 m/s² σε αντίθεση με την πραγματική μετρούμενη τιμή των 0,052 m/s². Η διαφορά αυτή οφείλεται στο γεγονός ότι η Γη είναι πεπλατυσμένη στους πόλους.

Πηγές

• φυσική Β΄ Γυμνασίου, σελ.57
• φυσική Α΄ Λυκείου, σελ.7
• επιστημονικά ελληνικά-ενότητα 16 (Γεωλογία) σελ. 2

Βιβλιογραφία

Kibble, T.W.B. (1973). Κλασσική Μηχανική. European physics series (2^η έκδοση). McGraw-Hill Book Company (UK) Limited. ISBN 0070840180. 1324664.