Διάταξη: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
μΧωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
μΧωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
||
Γραμμή 1: | Γραμμή 1: | ||
Μια διάταξη των n στοιχείων συνόλου Ζ{z<sub>1</sub>,z<sub>2</sub>...z<sub>n</sub>} ανά k είναι ένα διατεταγμένο δείγμα(z<sub>1</sub>,z<sub>2</sub>...z<sub>k</sub>) που προκύπτει από την επιλογή k στοιχείων από το σύνολο Z, όπου n και k είναι θετικοί ακέραιοι και k μικρότερο ή ίσο του n. |
Μια διάταξη των n στοιχείων συνόλου Ζ {z<sub>1</sub>,z<sub>2</sub>...z<sub>n</sub>} ανά k είναι ένα '''διατεταγμένο''' δείγμα (z<sub>1</sub>,z<sub>2</sub>...z<sub>k</sub>) που προκύπτει από την επιλογή k στοιχείων από το σύνολο Z, όπου n και k είναι θετικοί ακέραιοι και k μικρότερο ή ίσο του n. |
||
Η επιλογή των στοιχείων γίνεται χωρίς επανάθεση (επανατοποθέτησή τους στο σύνολο Ζ) |
Η επιλογή των στοιχείων γίνεται χωρίς επανάθεση των ήδη επιλεγμένων (επανατοποθέτησή τους στο σύνολο Ζ). |
||
Με πιο απλά λόγια, αν Ζ είναι ένα σύνολο με n στοιχεία, τότε λέμε διάταξη των n στοιχείων του Ζ ανά k, ''καθέναν από τους διαφορετικούς τρόπους με τους οποίους μπορούμε να πάρουμε k διαφορετικά στοιχεία του Ζ και να τα βάλουμε σε μια σειρά.'' |
Με πιο απλά λόγια, αν Ζ είναι ένα σύνολο με n στοιχεία, τότε λέμε διάταξη των n στοιχείων του Ζ ανά k, '''καθέναν από τους διαφορετικούς τρόπους με τους οποίους μπορούμε να πάρουμε k διαφορετικά στοιχεία του Ζ και να τα βάλουμε σε μια σειρά.''' |
||
Γραμμή 14: | Γραμμή 14: | ||
n(n-1)(n-2)...(n-k+1)=[n(n-1)(n-2)...(n-k+1)(n-k)...3·2·1]/[(n-k)...3·2·1]= n!/(n-k)! |
n(n-1)(n-2)...(n-k+1)=[n(n-1)(n-2)...(n-k+1)(n-k)...3·2·1]/[(n-k)...3·2·1]= n!/(n-k)! |
||
Σημείωση: n! είναι το παραγοντικό του αριθμού n, δηλαδή το γινόμενο 1·2·3·……·(n-1)·n |
''Σημείωση: n! είναι το παραγοντικό του αριθμού n, δηλαδή το γινόμενο 1·2·3·……·(n-1)·n'' |
||
'''Ώστε το πλήθος των διατάξεων των n στοιχείων ανά k είναι: n!/(n-k)!''' |
'''Ώστε το πλήθος των διατάξεων των n στοιχείων ανά k είναι: n!/(n-k)!''' |
||
Αν έχουμε n=k, τότε προφανώς οι διατάξεις των n ανά n είναι οι μεταθέσεις όλων των στοιχείων (=n) του συνόλου δηλαδή n! |
Αν έχουμε n=k, τότε προφανώς οι διατάξεις των n ανά n είναι οι [[μεταθέσεις]] όλων των στοιχείων (=n) του συνόλου δηλαδή n! |
||
Για να ισχύει και στην περίπτωση αυτή ο τύπος n!/(n-k)! ορίζουμε ότι 0!=1 |
Για να ισχύει και στην περίπτωση αυτή ο τύπος n!/(n-k)! ορίζουμε ότι 0!=1 |
Έκδοση από την 18:34, 11 Αυγούστου 2014
Μια διάταξη των n στοιχείων συνόλου Ζ {z1,z2...zn} ανά k είναι ένα διατεταγμένο δείγμα (z1,z2...zk) που προκύπτει από την επιλογή k στοιχείων από το σύνολο Z, όπου n και k είναι θετικοί ακέραιοι και k μικρότερο ή ίσο του n.
Η επιλογή των στοιχείων γίνεται χωρίς επανάθεση των ήδη επιλεγμένων (επανατοποθέτησή τους στο σύνολο Ζ).
Με πιο απλά λόγια, αν Ζ είναι ένα σύνολο με n στοιχεία, τότε λέμε διάταξη των n στοιχείων του Ζ ανά k, καθέναν από τους διαφορετικούς τρόπους με τους οποίους μπορούμε να πάρουμε k διαφορετικά στοιχεία του Ζ και να τα βάλουμε σε μια σειρά.
Δύο διατάξεις ταυτίζονται όταν έχουν τα ίδια στοιχεία και με την ίδια σειρά.
Για παράδειγμα έχουμε το σύνολο . Μια διάταξη των 4 στοιχείων του ανά 3 είναι η διατεταγμένη τριάδα ενώ μια άλλη διάταξη των 4 στοιχείων ανά 3 είναι η διατεταγμένη τριάδα .
Ο αριθμός (το πλήθος) των διατάξεων των n ανά k συμβολίζεται με (n)k και είναι
- (n)k = n(n-1)...(n-k+1), το οποίο γράφεται διαδοχικά:
n(n-1)(n-2)...(n-k+1)=[n(n-1)(n-2)...(n-k+1)(n-k)...3·2·1]/[(n-k)...3·2·1]= n!/(n-k)!
Σημείωση: n! είναι το παραγοντικό του αριθμού n, δηλαδή το γινόμενο 1·2·3·……·(n-1)·n
Ώστε το πλήθος των διατάξεων των n στοιχείων ανά k είναι: n!/(n-k)!
Αν έχουμε n=k, τότε προφανώς οι διατάξεις των n ανά n είναι οι μεταθέσεις όλων των στοιχείων (=n) του συνόλου δηλαδή n!
Για να ισχύει και στην περίπτωση αυτή ο τύπος n!/(n-k)! ορίζουμε ότι 0!=1
Πηγές
- Γ. Κοκολάκης, Εισαγωγή στη Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική, 1991.
Αυτό το μαθηματικό λήμμα χρειάζεται επέκταση. Μπορείτε να βοηθήσετε την Βικιπαίδεια επεκτείνοντάς το. |