Περιοχή κυρίων ιδεωδών: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε

Ενδογραμμικά

Έκδοση από την 11:07, 17 Αυγούστου 2006

Μια ακεραία περιοχή $R$ καλείται περιοχή κυρίων ιδεωδών (principal ideal domain) αν κάθε ιδεώδες του $R$ είναι κύριο.

Παραδείγματα

Γνωρίζουμε ότι αν $R$ σώμα ,τα μόνα ιδεώδη αυτού είναι το ίδιο το $R=<1>$ και το μηδενικό ιδεώδες $\{0_{R}\}=<0_{R}>$ και επομένως κάθε σώμα είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών.

Ο $\mathbb {Z} [x]$ είναι ακεραία περιοχή όχι όμως περιοχή κυρίων ιδεωδών.Πράγματι υποθέτοντας ότι για το ιδεώδες $<2,x>$ υπάρχει $h(x)\in \mathbb {Z} [x]$ τέτοιο ώστε $<2,x>=<h(x)>$ προκύπτει ότι $h(x)=\pm 1$ ή $h(x)=\pm x$ .Στην πρώτη περίπτωση έχουμε $\pm 1=2k(x)+x$ ,άτοπο, ενώ στη δέυτερη περίπτωση έχουμε ότι $2\in <2,x>=<h(x)>=<x>$ και άρα $2=xk(x)$ ,άτοπο.

Κάθε Ευκλείδεια περιοχή είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών ενώ το αντίστροφο δεν ισχύει.Ένα παράδειγμα περιοχής κυρίων ιδεωδών που δεν είναι Ευκλείδεια είναι ο δακτύλιος $\{{\frac {a}{2}}+{\frac {b}{2}}{\sqrt {-19}};a,b\in \mathbb {Z} ,$

@@ Γραμμή 5: / Γραμμή 5: @@
 *Γνωρίζουμε ότι αν <math> R </math> [[σώμα]] ,τα μόνα ιδεώδη αυτού είναι το ίδιο το <math>R=<1> </math> και το μηδενικό [[ιδεώδες]] <math>\{0_R\}=<0_R> </math> και επομένως κάθε σώμα είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών.
-*Ο <math>\mathbb{Z}[x]</math> είναι [[ακεραία περιοχή]] όχι όμως περιοχή κυρίων ιδεωδών.Πράγματι υποθέτοντας ότι για το ιδεώδες <math><2,x></math> υπάρχει <math>h(x) \in \mathbb{Z}[x]</math> τέτοιο ώστε <math><2,x>=<h(x)></math> προκύπτει  ότι <math>h(x)=\pm 1</math> ή<math>h(x)=\pm x</math>.Στην πρώτη περίπτωση έχουμε <math>\pm 1=2k(x)+x</math> ,άτοπο, ενώ στη δέυτερη περίπτωση έχουμε ότι <math>2 \in <2,x>=<h(x)>=<x></math> και άρα <math>2=xk(x)</math> ,άτοπο.
+*Ο <math>\mathbb{Z}[x]</math> είναι [[ακεραία περιοχή]] όχι όμως περιοχή κυρίων ιδεωδών.Πράγματι υποθέτοντας ότι για το ιδεώδες <math><2,x></math> υπάρχει <math>h(x) \in \mathbb{Z}[x]</math> τέτοιο ώστε <math><2,x>=<h(x)></math> προκύπτει  ότι <math>h(x)=\pm 1</math> ή<math>h(x)=\pm x</math>.Στην πρώτη περίπτωση έχουμε <math>\pm 1=2k(x)+x</math> ,άτοπο, ενώ στη δέυτερη περίπτωση έχουμε ότι <math>2 \in <2,x>=<h(x)>=<x></math> και άρα <math> 2=x k(x)</math> ,άτοπο.
+*Κάθε [[Ευκλείδεια περιοχή]] είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών ενώ το αντίστροφο δεν ισχύει.Ένα παράδειγμα περιοχής κυρίων ιδεωδών που δεν είναι Ευκλείδεια είναι ο δακτύλιος <math>\{\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\sqrt{-19};a,b \in \mathbb{Z} ,</math>
+[[en:principal ideal domain]]
+[[de:Hauptidealring]]
+[[fr:Anneau principal]]
+[[it:Dominio ad ideali principali]]
+[[pl:Pierścień główny]]
+[[ru:Кольцо главных идеалов]]