Πεπερασμένο σώμα: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
μΧωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
σημαντική επέκταση |
||
| Γραμμή 1: | Γραμμή 1: | ||
Στα [[μαθηματικά]], ένα [[σώμα]] καλείται '''πεπερασμένο''' αν το πλήθος των στοιχείων του είναι πεπερασμένο. |
Στα [[μαθηματικά]], ένα [[σώμα]] καλείται '''πεπερασμένο''' αν το πλήθος των στοιχείων του είναι πεπερασμένο. |
||
Ένα πεπερασμένο σώμα λέγαται και αλλιώς ''σώμα Γκαλουά'' προς τιμήν του Γάλλου μαθηματικού Γκαλουά (Évariste Galois) |
|||
Τα πεπερασμένα σώματα είναι σημαντικά στην Θεωρία Αριμθών, την Αλγεβρική Γεωμετρία, την Κρυπτογραφία και τη Θεωρία Κωδικοποίησης. |
|||
Τα πεπερασμένα σώματα έχουν μελετηθεί πλήρως. |
|||
== Κατηγοριοποιήση == |
|||
Τα πεπερασμένα σώματα κατηγοριούνται ως εξής: |
|||
<ref>p287, {{cite book |
|||
| first = Nathan | last = Jacobson | authorlink = Nathan Jacobson | year = 1985 |
|||
| title = Basic Algebra I | edition = 2nd Ed. |
|||
| publisher = W. H. Freeman and Company | location = New York | id = ISBN 0716714809 }}</ref>: |
|||
* Κάθε πεπρασμένο σώμα έχει ''p''<sup>''n''</sup> στοιχεία, όπου ''p'' [[πρώτος αριθμός]] ''n'' ≥ 1 ακέραιος. (Το ''p'' ονομάζεται ''χαρακτηριστική'' του σώματος.) |
|||
* Για κάθε πρώτο ''p'' και κάθε ακέραιο ''n'' ≥ 1, υπάρχει ένα πεπρασμένο σώμα με ''p''<sup>''n''</sup> στοιχεία. |
|||
* Όλα τα σώματα με ''p''<sup>''n''</sup> στοιχεία είναι ισόμορφα μεταξύ τους. Μπορούμε να ταυτίσουμε όλα τα σώματα με τον ίδιο αριθμό στοιχείων. ΄Συμβολισμός: '''GF'''(''p''<sup>''n''</sup>). όπου τα γράμματα "GF" προέρχονται από το αγγλικό "Galois field" (σώμα Γκαλουά). |
|||
== Τα μικρότερα πεπερασμένα σώματα == |
|||
'''GF'''(2): |
|||
+ | 0 1 · | 0 1 |
|||
--+---- --+---- |
|||
0 | 0 1 0 | 0 0 |
|||
1 | 1 0 1 | 0 1 |
|||
'''GF'''(3): |
|||
+ | 0 1 2 · | 0 1 2 |
|||
--+------ --+------ |
|||
0 | 0 1 2 0 | 0 0 0 |
|||
1 | 1 2 0 1 | 0 1 2 |
|||
2 | 2 0 1 2 | 0 2 1 |
|||
'''GF'''(4): |
|||
+ | 0 1 A B · | 0 1 A B |
|||
--+-------- --+-------- |
|||
0 | 0 1 A B 0 | 0 0 0 0 |
|||
1 | 1 0 B A 1 | 0 1 A B |
|||
A | A B 0 1 A | 0 A B 1 |
|||
B | B A 1 0 B | 0 B 1 A |
|||
{{Μαθηματικά-επέκταση}} |
{{Μαθηματικά-επέκταση}} |
||
[[Κατηγορία:Μαθηματικά]] |
[[Κατηγορία:Μαθηματικά]] |
||
[[en:finite field]] |
|||
[[de:Endlicher Körper]] |
|||
[[es:Cuerpo finito]] |
|||
[[fr:Corps fini]] |
|||
[[ko:유한체]] |
|||
[[he:שדה סופי]] |
|||
[[nl:Eindig lichaam]] |
|||
[[ja:有限体]] |
|||
[[pl:Ciało skończone]] |
|||
[[fi:Äärellinen kunta]] |
|||
[[zh:有限域]] |
|||
[[ur:محدود میدان]] |
|||
Έκδοση από την 17:41, 29 Ιουνίου 2006
Στα μαθηματικά, ένα σώμα καλείται πεπερασμένο αν το πλήθος των στοιχείων του είναι πεπερασμένο.
Ένα πεπερασμένο σώμα λέγαται και αλλιώς σώμα Γκαλουά προς τιμήν του Γάλλου μαθηματικού Γκαλουά (Évariste Galois)
Τα πεπερασμένα σώματα είναι σημαντικά στην Θεωρία Αριμθών, την Αλγεβρική Γεωμετρία, την Κρυπτογραφία και τη Θεωρία Κωδικοποίησης.
Τα πεπερασμένα σώματα έχουν μελετηθεί πλήρως.
Κατηγοριοποιήση
Τα πεπερασμένα σώματα κατηγοριούνται ως εξής: [1]:
- Κάθε πεπρασμένο σώμα έχει pn στοιχεία, όπου p πρώτος αριθμός n ≥ 1 ακέραιος. (Το p ονομάζεται χαρακτηριστική του σώματος.)
- Για κάθε πρώτο p και κάθε ακέραιο n ≥ 1, υπάρχει ένα πεπρασμένο σώμα με pn στοιχεία.
- Όλα τα σώματα με pn στοιχεία είναι ισόμορφα μεταξύ τους. Μπορούμε να ταυτίσουμε όλα τα σώματα με τον ίδιο αριθμό στοιχείων. ΄Συμβολισμός: GF(pn). όπου τα γράμματα "GF" προέρχονται από το αγγλικό "Galois field" (σώμα Γκαλουά).
Τα μικρότερα πεπερασμένα σώματα
GF(2):
+ | 0 1 · | 0 1 --+---- --+---- 0 | 0 1 0 | 0 0 1 | 1 0 1 | 0 1
GF(3):
+ | 0 1 2 · | 0 1 2 --+------ --+------ 0 | 0 1 2 0 | 0 0 0 1 | 1 2 0 1 | 0 1 2 2 | 2 0 1 2 | 0 2 1
GF(4):
+ | 0 1 A B · | 0 1 A B --+-------- --+-------- 0 | 0 1 A B 0 | 0 0 0 0 1 | 1 0 B A 1 | 0 1 A B A | A B 0 1 A | 0 A B 1 B | B A 1 0 B | 0 B 1 A
 |
Αυτό το μαθηματικό λήμμα χρειάζεται επέκταση. Μπορείτε να βοηθήσετε την Βικιπαίδεια επεκτείνοντάς το. |
- ↑ p287, Jacobson, Nathan (1985). Basic Algebra I (2nd Ed. έκδοση). New York: W. H. Freeman and Company. ISBN 0716714809.