Κυκλοτομικό σώμα

Ως m-οστό κυκλοτομικό σώμα ($m^{th}$ cyclotomic field) ορίζουμε το σώμα που προκύπτει επισυνάπτοντας στο $\mathbb {Q}$ μια πρωταρχική m-οστή ρίζα της μονάδας ,δηλαδή είναι της μορφής $\mathbb {Q} (e^{\frac {2\pi ki}{m}})$ με $(k,m)=1$.Το σώμα αυτό περιέχει όλες τις m-οστές ρίζες της μονάδας και είναι το σώμα ριζών (spliting field) του m-οστού κυκλοτομικού πολυωνύμου.Ακόμα ισχύει ότι $[\mathbb {Q} (e^{\frac {2\pi ki}{m}}):\mathbb {Q} ]=\phi (m)$ όπου $(k,m)=1$ και ${\mathcal {\phi }}$ η αριθμητική συνάρτηση του Euler.

Παράδειγμα

• Στην περίπτωση που m=p πρώτος έχουμε ότι το p-οστό κυκλοτομικό σώμα είναι το $\mathbb {Q} (e^{\frac {2\pi i}{m}})$ και επιπλέον ότι $Irr(e^{\frac {2\pi i}{m}},\mathbb {Q} )=t^{p-1}+t^{p-2}+..+t+1$ οπότε $[\mathbb {Q} (e^{\frac {2\pi i}{m}}):\mathbb {Q} ]=p-1=\phi (p)$.