Κυκλοτομικό σώμα

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Ως m-οστό κυκλοτομικό σώμα (m^{th} cyclotomic field) ορίζουμε το σώμα που προκύπτει επισυνάπτοντας στο \mathbb{Q} μια πρωταρχική m-οστή ρίζα της μονάδας ,δηλαδή είναι της μορφής \mathbb{Q}(e^{\frac{2\pi k i}{m}}) με (k,m)=1.Το σώμα αυτό περιέχει όλες τις m-οστές ρίζες της μονάδας και είναι το σώμα ριζών (spliting field) του m-οστού κυκλοτομικού πολυωνύμου.Ακόμα ισχύει ότι [\mathbb{Q}(e^{\frac{2\pi k i}{m}}):\mathbb{Q}]=\phi(m) όπου (k,m)=1 και \mathcal{\phi} η αριθμητική συνάρτηση του Euler.

Παράδειγμα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Στην περίπτωση που m=p πρώτος έχουμε ότι το p-οστό κυκλοτομικό σώμα είναι το \mathbb{Q}(e^{\frac{2\pi i}{m}}) και επιπλέον ότι Irr(e^{\frac{2\pi i}{m}},\mathbb{Q})=t^{p-1}+t^{p-2}+..+t+1 οπότε [\mathbb{Q}(e^{\frac{2\pi i}{m}}):\mathbb{Q}]=p-1=\phi(p).