Δυναμικό σύστημα

Το σύστημα Λόρενζ ως δυναμικό σύστημα!!

Αυτό το άρθρο αφορά τις γενικές πτυχές των δυναμικών συστημάτων.

Στα μαθηματικά, ένα δυναμικό σύστημα είναι ένα σύστημα στο οποίο μια συνάρτηση περιγράφει την εξάρτηση της θέσης ενός σημείου από το χρόνο σε ένα γεωμετρικό χώρο. Παραδείγματα αποτελούν τα μαθηματικά μοντέλα που περιγράφουν την ταλάντωση ενός εκκρεμούς, τη ροή του νερού σε ένα σωλήνα, και τον αριθμό των ψαριών κάθε άνοιξη σε μία λίμνη.

Οποιαδήποτε δεδομένη στιγμή ένα δυναμικό σύστημα περιλαμβάνει μία κατάσταση που δίνεται από ένα σύνολο πραγματικών αριθμών (διάνυσμα) που μπορούν να αναπαρασταθούν από ένα γεωμετρικό σημείο στο κατάλληλο χώρο καταστάσεων (γεωμετρική πολλαπλότητα). Η εξέλιξη του δυναμικού συστήματος είναι μια συνάρτηση που περιγράφει τους μελλοντικούς χώρους καταστάσεων που απορρέουν από τον τρέχοντα χώρο καταστάσεων. Συχνά η συνάρτηση είναι ντετερμινιστική, με άλλα λόγια η κατάσταση ενός δυναμικού συστήματος ορίζει μονοσήμαντα την εξέλιξή του στο χώρο των καταστάσεων. Ωστόσο, ορισμένα συστήματα είναι στοχαστικά και σε αυτά τα τυχαία γεγονότα επηρεάζεται η εξέλιξη των μεταβλητών της κατάστασης.

Επισκόπηση

Η έννοια του δυναμικού συστήματος έχει τις ρίζες της στη Νευτώνεια μηχανική. Εκεί, όπως και σε άλλες φυσικές επιστήμες,η εξέλιξη των δυναμικών συστημάτων είναι μια πεπλεγμένη σχέση, που δίνει την κατάσταση του συστήματος για ένα μόνο σύντομο χρονικό διάστημα στο μέλλον. (Η σχέση είναι είτε μια διαφορική εξίσωση, εξίσωση διαφορών ή άλλη χρονική κλίμακα (time scale).)Για να προσδιορίσουμε την κατάσταση για όλους τους μελλοντικούς χρόνους απαιτείται η επανάληψη της σχέσης πολλές φορές—κάθε φορά από ένα μικρό βήμα.Η επαναληπτική διαδικασία αναφέρεται ως επίλυση του συστήματος ή ολοκλήρωση του συστήματος. Αν το σύστημα μπορεί να λυθεί, δίνοντας ένα αρχικό σημείο είναι δυνατόν να καθοριστούν όλες οι μελλοντικές του θέσεις, μια συλλογή από σημεία που είναι γνωστή ως τροχιά.

Πριν από την έλευση των υπολογιστών,για την εύρεση μιας τροχιάς απαιτούνταν εξελιγμένες μαθηματικές τεχνικές και επιτυγχάνονταν μόνο για μια μικρή κατηγορία των δυναμικών συστημάτων. Οι αριθμητικές μέθοδοι που εφαρμόζονται στις ηλεκτρονικές υπολογιστικές μηχανές έχουν απλοποιήσει το έργο του καθορισμού των τροχιών σε ένα δυναμικό σύστημα.

Για τα απλά δυναμικά συστήματα,να γνωρίζουμε την τροχιά τους είναι συχνά επαρκές στοιχείο, αλλά τα περισσότερα δυναμικά συστήματα είναι αρκετά πολύπλοκα για να γίνουν κατανοητά με τους όρους των επιμέρους τροχιών. Οι δυσκολίες προκύπτουν επειδή:

• Τα συστήματα που μελετήθηκαν είναι γνωστά στο περίπου—δεν μπορούμε με ακρίβεια να γνωρίζουμε τις παραμέτρους του συστήματος ή ακόμα κάποιοι όροι του συστήματος μπορεί να λείπουν από τις εξισώσεις.Οι προσεγγίσεις που χρησιμοποιούνται θέτουν σε αμφισβήτηση την εγκυρότητα ή την καταλληλότητα αριθμητικών λύσεων. Για να απαντήσουμε σε αυτά τα ερωτήματα αρκετές έννοιες της ευστάθειας εισήχθησαν στη μελέτη των δυναμικών συστημάτων, όπως η ευστάθεια κατά τον  Lyapunov. Η ευστάθεια του δυναμικού συστήματος συνεπάγεται ότι υπάρχει μια κατηγορία μοντέλων ή αρχικών συνθηκών για τις οποίες οι τροχιές θα είναι ισοδύναμες. Η διαδικασία σύγκρισης των τροχιών ώστε να αποδείξουμε την ισοδυναμία τους άλλαξε με τις διαφορετικές έννοιες της ευστάθειας.
• Το είδος της τροχιάς μπορεί να είναι πιο σημαντικό από μια συγκεκριμένη τροχιά. Ορισμένες τροχιές μπορεί να είναι περιοδικές, ενώ άλλες μπορεί να διέρχονται μέσα από πολλές διαφορετικές καταστάσεις του συστήματος. Εφαρμογές συχνά απαιτούν την απαρίθμηση αυτών των κλάσεων ή τη διατήρηση του συστήματος σε μία κλάση. Η ταξινόμηση όλων των δυνατών τροχιών οδήγησε στην ποιοτική μελέτη των δυναμικών συστημάτων (ποιοτική μελέτη: οι ιδιότητες του δυναμικού συστήματος παραμένουν σταθερές αν γίνει αλλαγή συντεταγμένων). Τα γραμμικά δυναμικά συστήματα και τα συστήματα που έχουν δύο αριθμούς που περιγράφουν μια κατάσταση είναι παραδείγματα δυναμικών συστημάτων όπου οι πιθανές κλάσεις των τροχιών είναι κατανοητές .
• Η συμπεριφορά των τροχιών ως συνάρτηση μιας παραμέτρου μπορεί να είναι αυτό που απαιτείται για μια εφαρμογή.Καθώς η  παράμετρος μεταβάλλεται, τα δυναμικά συστήματα μπορεί να έχουν σημεία διακλάδωσης όπου η ποιοτική συμπεριφορά τους αλλάζει. Για παράδειγμα, μπορεί οι τροχιές που εκτελούν μόνο περιοδικές κινήσεις να αποκτήσουν φαινομενικά ακανόνιστη συμπεριφορά, όπως η διάδοση ταραχής ενός υγρού.
• Οι τροχιές του συστήματος μπορεί να φαίνονται ακανόνιστες, σαν τυχαίες. Σε αυτές τις περιπτώσεις μπορεί να είναι απαραίτητο να υπολογιστεί ο μέσος όρος, χρησιμοποιώντας μία πολύ μεγάλη τροχιά ή πολλές διαφορετικές τροχιές. Οι μέσοι όροι είναι καλώς ορισμένοι για τα εργοδικά συστήματα και μια πιο λεπτομερή, κατανοητή δουλειά έχει γίνει για υπερβολικά συστήματα. Η κατανόηση των πιθανολογικών ζητημάτων των δυναμικών συστημάτων βοήθησε να τεθούν τα θεμέλια της στατιστικής μηχανικής και του χάους.

Ιστορία

Πολλοί άνθρωποι θεωρούν τον Ανρί Πουανκαρέ ως το θεμελιωτή των δυναμικών συστημάτων.Ο Πουανκαρέ δημοσίευσε δύο πλέον κλασικές εργασίες, τις "Νέες Μέθοδοι της Ουράνιας Μηχανικής" (1892-1899) και "Διαλέξεις για την Ουράνια Μηχανική" (1905-1910). Σε αυτές, εφάρμοσε με επιτυχία τα αποτελέσματα της έρευνας του για το πρόβλημα της κίνησης των τριών σωμάτων και μελέτησε λεπτομερώς τη συμπεριφορά των λύσεων (συχνότητα, ευστάθεια, ασυμπτωτική συμπεριφορά, και ούτω καθεξής). Στις εργασίες αυτές περιλαμβάνεται το θεμελιώδες θεώρημα του Πουανκαρέ, το οποίο ορίζει ότι ορισμένα συστήματα, μετά από ένα αρκετά μεγάλο αλλά πεπερασμένο χρονικό διάστημα (γνωστό ως Χρόνος Επανάληψης του Πουανκαρέ), επιστρέφουν σε μια κατάσταση πολύ κοντά στην αρχική τους.

Ο Aleksandr Lyapunov ανέπτυξε πολλές σημαντικές προσεγγιστικές μεθόδους. Οι μέθοδοι του αυτοί, που ανέπτυξε το 1899, καθιστούν εφικτό να προσδιοριστούν η ευστάθεια των συνόλων συνήθων διαφορικών εξισώσεων. Επίσης, δημιούργησε τη σύγχρονη θεωρία ευστάθειας ενός δυναμικού συστήματος.

Το 1913, ο George David Birkhoff απέδειξε "Το Τελευταίο Γεωμετρικό Θεώρημα" του Πουανκαρέ, μια ειδική περίπτωση του προβλήματος των τριών σωμάτων, ένα αποτέλεσμα που τον έκανε παγκοσμίως διάσημο. Το 1927 δημοσίευσε την δική του ''Δυναμική Συστημάτων''. Το πιο σημαντικό αποτέλεσμα του Birkhoff ήταν το 1931, η ανακάλυψη αυτού που ονομάζεται σήμερα εργοδικό θεώρημα. Συνδυάζοντας στοιχεία που προέκυψαν από τη φυσική για την εργοδική υπόθεση με θεωρία μέτρου, το θεώρημα αυτό λύθηκε, και  τουλάχιστον θεωρητικά, ένα θεμελιώδες πρόβλημα της στατιστικής μηχανικής. Το εργοδικό θεώρημα έχει επίσης συνέπειες και για τη δυναμική.

Επίσης, ο Stephen Smale σημείωσε σημαντική πρόοδο. Η πρώτη του συνεισφορά ήταν το πέταλο του Smale που ώθησε σε  σημαντική έρευνα στα δυναμικά συστήματα.Ακόμη το όνομα του αναφέρεται σε ένα ερευνητικό πρόγραμμα που συνέβαλαν και πολλοί άλλοι.

Ο Oleksandr Mykolaiovych Sharkovsky ανέπτυξε το ομώνυμο Θεώρημα (Θεώρημα του Sharkovsky) για τις περιόδους των διακριτών δυναμικών συστημάτων το 1964. Μία από τις συνέπειες του θεωρήματος είναι ότι αν ένα διακριτό δυναμικό σύστημα έχει στον πραγματικό άξονα περιοδικό σημείο περιόδου 3, τότε θα πρέπει να έχει περιοδικά σημεία για κάθε τιμή της περιόδου.

Βασικοί ορισμοί

Ένα δυναμικό σύστημα είναι μια πολλαπλότητα M που καλείται φασικός χώρος (ή κατάσταση) εφοδιασμένος με μια οικογένεια συναρτήσεων $\Phi ^{t}$ ομαλής εξέλιξης, όπου για κάθε στοιχείο $t\in T$(ο χρόνος) απεικονίζει ένα σημείο του φασικού χώρου πίσω σε αυτόν. Η έννοια της ομαλότητας αλλάζει με εφαρμογές και το είδος της πολλαπλότητας. Υπάρχουν αρκετές επιλογές για το σύνολο T. Όταν το T παίρνει πραγματικές τιμές, το δυναμικό σύστημα ονομάζεται ροή και εάν το Τ περιορίζεται σε μη αρνητικές πραγματικές τιμές ονομάζεται ημι-ροή. Όταν το T αποτελείται από ακέραιους το δυναμικό σύστημα ονομάζεται αλληλουχία, και αν περιορίζεται σε μη αρνητικές ακέραιες τιμές ημι-αλληλουχία.

Παραδείγματα

Η εξέλιξη της συνάρτησης $\Phi ^{t}$είναι συνήθωςη λύση μιας διαφορικής εξίσωσης κίνησης

${\dot {x}}=v(x)$

Η εξίσωση δίνει την παράγωγο του χρόνου (αναπαριστάται με μία τελεία πάνω απο το x) μιας τροχιάς x(t) στο φασικό χώρο η οποία ξεκινά από κάποιο σημείο $x_{0}$. Το διανυσματικό πεδίο v(x) είναι μια ομαλή συνάρτηση που σε κάθε σημείο του φασικού χώρου M μας δίνει το διάνυσμα ταχύτητας του δυναμικού συστήματος στο σημείο αυτό. (Αυτά τα διανύσματα δεν είναι διανύσματα στο χώρο των φάσεων M, αλλά στην εφαπτόμενη περιοχή $\mathrm {T} _{x}M$ του σημείου x). Από  μια ομαλή $\Phi ^{t}$, μπορεί να προέρχεται ένα αυτόνομο διανυσματικό πεδίο.

Δεν υπάρχει καμία ανάγκη για παραγώγους υψηλότερης τάξης στην εξίσωση, ούτε για το χρόνο εξάρτησης στο v(x), επειδή αυτά μπορούν να επιλυθούν με την μελέτη συστήμάτων υψηλότερων διαστάσεων. Άλλες μορφές διαφορικών εξισώσεων που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να καθορίσουν την εξέλιξη:

$G(x,{\dot {x}})=0$

είναι ένα παράδειγμα από μια εξίσωση που προκύπτει από την μοντελοποίηση των μηχανικών συστημάτων με πολύπλοκους περιορισμούς.

Οι διαφορικές εξισώσεις που καθορίζουν την εξέλιξη των συναρτήσεων $\Phi ^{t}$ είναι συχνά συνήθεις διαφορικές εξισώσεις, σε αυτή την περίπτωση ο χώρος των φάσεων M είναι πολλαπλότητα πεπερασμένης διάστάσης. Πολλές από τις έννοιες στα δυναμικά συστήματα μπορούν να επεκταθούν σε πολλαπλότητες απείρων διαστάσεων —αυτές που είναι τοπικά χώροι Banach—περίπτωση κατά την οποία οι διαφορικές εξισώσεις είναι μερικές διαφορικές εξισώσεις. Στα τέλη του 20ου αιώνα η προοπτική των δυναμικών συστημάτων στις μερικές διαφορικές εξισώσεις άρχισε να γίνεται όλο και πιο γνωστή.

Γραμμικά δυναμικά συστήματα

Τα γραμμικά δυναμικά συστήματα μπορούν να λυθούν με όρους απλές συναρτήσεις και η συμπεριφορά όλων των τροχιών τους ταξινομούνται. Σε ένα γραμμικό σύστημα ο χώρος φάσεων είναι ο N-διάστατος Ευκλείδειος χώρος, έτσι ώστε κάθε σημείο του χώρου φάσεων να μπορεί να αναπαρασταθεί από ένα διάνυσμα με N αριθμούς. Η ανάλυση των γραμμικών συστημάτων είναι δυνατή επειδή ικανοποιούν την αρχή της υπέρθεσης: αν η u(t) και η w(t) ικανοποιούν τη διαφορική εξίσωση για το διανυσματικό πεδίο (αλλά όχι απαραίτητα η αρχική κατάσταση), τότε θα την ικανοποιεί και η συνάρτηση u(t) + w(t).

Ροές

Για μια ροή, το διανυσματικό πεδίο Φ(x) είναι μια αφινική συνάρτηση στο χώρο των φάσεων, που είναι,

${\dot {x}}=\phi (x)=Ax+b,$

με το $\mathrm {A}$ να είναι ένας πίνακας,$b$ ένα διάνυσμα αριθμών και x το διάνυσμα θέσης. Η λύση σε αυτό το σύστημα μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας την αρχή της υπέρθεσης

(γραμμικότητα). Η περίπτωση $b$ ≠ 0 με A = 0, είναι απλά μία ευθεία γραμμή με την κατεύθυνση του $b$:

$\Phi ^{t}(x_{1})=x_{1}+bt.$

Όταν το b είναι μηδέν και Α ≠ 0 ,η αρχή είναι ένα σημείο ισορροπίας (ή ένα ανώμαλο σημείο) της ροής, που είναι, αν $x_{0}$= 0, τότε η τροχιά παραμένει εκεί. Για άλλες αρχικές συνθήκες, η εξίσωση κίνησης δίνεται από τον εκθετικό πίνακα: για ένα αρχικό σημείο $x_{0}$,

$\Phi ^{t}(x_{0})=(e^{t})^{A}x_{0}$.

Όταν $b$ = 0, οι ιδιοτιμές του Α καθορίζουν τη δομή του χώρου φάσεων. Από τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του A είναι δυνατόν να καθοριστεί αν το σημείο εκκίνησης θα συγκλίνει ή θα αποκλίνει στο σημείο ισορροπίας στην αρχή.

Η απόσταση μεταξύ δύο διαφορετικών αρχικών συνθηκών στην περίπτωση όπου Α ≠ 0 θα αλλάξει ραγδαία στις περισσότερες περιπτώσεις, είτε συγκλίνουν εκθετικά γρήγορα προς ένα σημείο,είτε αποκλίνουν εκθετικά γρήγορα.Τα γραμμικά συστήματα παρουσιάζουν μια ευαίσθητη εξάρτηση από τις αρχικές συνθήκες στην περίπτωση της απόκλισης.Για τα μη γραμμικά συστήματα αυτό είναι ένα από τους (αναγκαίους αλλά όχι επαρκείς) όρους για τη χαοτική συμπεριφορά.