Δακτυλιωτός χώρος

Στα μαθηματικά, ένας δακτυλιωτός χώρος^[1] είναι μια οικογένεια (αντιμεταθετικών) δακτυλίων που χαρακτηρίζεται από ανοικτά υποσύνολα ενός τοπολογικού χώρου μαζί με ομομορφισμούς δακτυλίων που παίζουν ρόλο περιορισμών. Για την ακρίβεια, πρόκειται για έναν τοπολογικό χώρο εξοπλισμένο με μια δέσμη δακτυλίων που ονομάζεται δομική δέσμη. Πρόκειται για μια αφαίρεση της έννοιας των δακτυλίων συνεχών (κλιμακωτής αξίας) συναρτήσεων σε ανοικτά υποσύνολα.

Από τους δακτυλιωτούς χώρους, ο τοπικά δακτυλιωτός χώρος είναι ιδιαίτερα σημαντικός και εξέχων: ένας δακτυλιωτός χώρος στον οποίο ισχύει η αναλογία μεταξύ του στελέχους σε ένα σημείο και του δακτυλίου στον οποίο βρίσκονται τα σπέρματα (germs)^[2] των συναρτήσεων σε ένα σημείο.

Οι δακτυλιωτοί χώροι εμφανίζονται στην ανάλυση καθώς και μιγαδική αλγεβρική γεωμετρία και στη θεωρία των σχημάτων στην αλγεβρική γεωμετρία.

Σημείωση: Για τον ορισμό ενός δακτυλιωτού χώρου, οι περισσότερες εργασίες τείνουν να περιορίζουν τους δακτυλίους σε αντιμεταθετικούς δακτυλίους, συμπεριλαμβανομένου του Χάρτσχορν και της Βικιπαίδειας. Από την άλλη πλευρά, το βιβλίο Elements of Algebraic Geometry^[3] (Στοιχεία αλγεβρικής γεωμετρίας) δεν επιβάλλει την υπόθεση της αντιμεταθετικότητας, αν και το βιβλίο εξετάζει κυρίως την αντιμεταθετική περίπτωση ^[4].

Ορισμοί

Ένας δακτυλιωτός χώρος $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ είναι ένας τοπολογικός χώρος $X$ μαζί με ένα δεμάτιο δακτυλίων ${\mathcal {O}}_{X}$ πάνω στον $X$ . Το δεμάτιο ${\mathcal {O}}_{X}$ ονομάζεται δεμάτιο δομής του $X$ .

Ένας τοπικά δακτυλιωτός χώρος είναι ένας δακτυλιωτός χώρος $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ τέτοιος ώστε όλα τα στελέχη του ${\mathcal {O}}_{X}$ να είναι τοπικοί δακτύλιοι (δηλαδή να έχουν μοναδικά μέγιστα ιδεώδη). Να σημειωθεί ότι δεν απαιτείται το ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ να είναι τοπικός δακτύλιος για κάθε ανοικτό σύνολο $U$ ; στην πραγματικότητα, αυτό δεν συμβαίνει σχεδόν ποτέ.

Παραδείγματα

Ένας αυθαίρετος τοπολογικός χώρος $X$ μπορεί να θεωρηθεί τοπικά δακτυλιωτός χώρος, θεωρώντας ${\mathcal {O}}_{X}$ ως το δεμάτιο των συνεχών συναρτήσεων πραγματικής αξίας (ή μιγαδικής αξίας) σε ανοικτά υποσύνολα του $X$ . Το στέλεχος σε ένα σημείο $x$ μπορεί να θεωρηθεί ως το σύνολο όλων των σπερμάτων των συνεχών συναρτήσεων στο ω- πρόκειται για έναν τοπικό δακτύλιο με το μοναδικό μέγιστο ιδεώδες που αποτελείται από εκείνα τα σπέρματα των οποίων η τιμή στο $x$ is $0$ .

Αν η $X$ είναι μια πολλαπλότητα με κάποια επιπλέον δομή, μπορούμε επίσης να πάρουμε το δεμάτιο των διαφορίσιμων ή ολόμορφων συναρτήσεων. Και οι δύο αυτές περιπτώσεις οδηγούν σε τοπικά δακτυλιωτούς χώρους.

Αν $X$ είναι μια αλγεβρική ποικιλία που φέρει την τοπολογία Ζαρίσκι, μπορούμε να ορίσουμε έναν τοπικά δακτυλιωτό χώρο θεωρώντας ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ το δακτύλιο των ρητών απεικονίσεων που ορίζονται στο ανοικτό σύνολο Ζαρίσκι $U$ και δεν διογκώνονται (γίνονται άπειρες) εντός του $U$ . Η σημαντική γενίκευση αυτού του παραδείγματος είναι αυτή του φάσματος οποιουδήποτε αντιμεταθετικού δακτυλίου- αυτά τα φάσματα είναι επίσης τοπικά δακτυλιωτοι χώροι. Τα σχήματα είναι τοπικά δακτυλιωτοι χώροι που προκύπτουν από τη «συγκόλληση» φασμάτων αντιμεταθετικών δακτυλίων.

Μορφισμοί

Ένας μορφισμός^[5] από $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ σε $(Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ είναι ένα ζεύγος $(f,\varphi )$ , όπου $f:X\to Y$ είναι ένας συνεχής χάρτης μεταξύ των υποκείμενων τοπολογικών χώρων, και $\varphi :{\mathcal {O}}_{Y}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{X}$ είναι ένας μορφισμός^[5] από τη δομική σφαίρα του $Y$ στην άμεση εικόνα της δομικής σφαίρας του $X$ . Με άλλα λόγια, ένας μορφισμός από το $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ στο $(Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ προκύπτει από τα ακόλουθα δεδομένα:

ένας συνεχής χάρτης $f:X\to Y$
μια οικογένεια ομοιομορφισμών δακτυλίου $\varphi _{V}:{\mathcal {O}}_{Y}(V)\to {\mathcal {O}}_{X}(f^{-1}(V))$ για κάθε ανοικτό σύνολο $V$ του $Y$ που αντιμετατίθενται με τους χάρτες περιορισμού. Δηλαδή, αν $V_{1}\subseteq V_{2}$ είναι δύο ανοικτά υποσύνολα του $Y$ , τότε το ακόλουθο διάγραμμα πρέπει να αντιμετατίθεται (οι κάθετοι χάρτες είναι οι ομομορφισμοί περιορισμού):

Υπάρχει μια πρόσθετη απαίτηση για μορφισμούς μεταξύ τοπικά δακτυλιωτών χώρων:

οι ομοιομορφισμοί δακτυλίου που επάγονται από το $\varphi$ μεταξύ των στελεχών του $Y$ και των στελεχών του $X$ πρέπει να είναι τοπικοί ομοιομορφισμοί, δηλ. για κάθε $x\in X$ το μέγιστο ιδεώδες του τοπικού δακτυλίου (στελέχους) στο $f(x)\in Y$ απεικονίζεται στο μέγιστο ιδεώδες του τοπικού δακτυλίου στο $x\in X$ .

Δύο μορφισμοί μπορούν να συντεθούν για να σχηματίσουν έναν νέο μορφισμό, και αποκτούμε την κατηγορία των δακτυλιωτών χώρων και την κατηγορία των τοπικά δακτυλιωτών χώρων. Οι ισομορφισμοί σε αυτές τις κατηγορίες ορίζονται ως συνήθως.

Χώροι εφαπτομένων

Οι τοπικά δακτυλιωτοί χώροι έχουν αρκετή δομή ώστε να επιτρέπουν τον ουσιαστικό ορισμό των εφαπτόμενων χώρων^[6]. Έστω $X$ ένας τοπικά δακτυλιωτός χώρος με δομή ${\mathcal {O}}_{X}$ - θέλουμε να ορίσουμε τον εφαπτόμενο χώρο $T_{x}(X)$ στο σημείο $x\in X$ . Παίρνουμε τον τοπικό δακτύλιο (στέλεχος) $R_{x}$ στο σημείο $x$ , με μέγιστο ιδεώδες ${\mathfrak {m}}_{x}$ . Τότε $k_{x}:=R_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}$ είναι ένα πεδίο και ${\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2}$ είναι ένας διανυσματικός χώρος πάνω σε αυτό το σώμα (ο συνεφαπτόμενος χώρος). Ο εφαπτόμενος χώρος $T_{x}(X)$ ορίζεται ως ο δυϊκός αυτού του διανυσματικού χώρου.

Η ιδέα είναι η εξής: ένα εφαπτόμενο διάνυσμα στο $x$ θα πρέπει να υποδεικνύει πώς να « διαφοροποιήσει “ τις ” συναρτήσεις » στο $x$ , δηλαδή τα στοιχεία του $R_{x}$ . Τώρα αρκεί να ξέρουμε πώς να διαφοροποιούμε συναρτήσεις που η τιμή τους στο $x$ είναι μηδέν, αφού όλες οι άλλες συναρτήσεις διαφέρουν από αυτές μόνο κατά μια σταθερά, και ξέρουμε πώς να διαφοροποιούμε σταθερές. Έτσι, χρειάζεται να εξετάσουμε μόνο το ${\mathfrak {m}}_{x}$ . Επιπλέον, αν δίνονται δύο συναρτήσεις με τιμή μηδέν στο $x$ , τότε το γινόμενό τους έχει παράγωγο 0 στο $x$ , σύμφωνα με τον κανόνα του γινομένου. Επομένως, το μόνο που χρειάζεται να γνωρίζουμε είναι πώς να αναθέτουμε «αριθμούς» στα στοιχεία του ${\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2}$ , και αυτό κάνει ο δυϊκός χώρος.

Modules επί του δομικού δεματίου

Δεδομένου ενός τοπικά δακτυλιωτού χώρου $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ , ορισμένα δεμάτια των μονάδων στον $X$ εμφανίζονται στις εφαρμογές, τα ${\mathcal {O}}_{X}$ -modules^[7]. Για να τα ορίσουμε, θεωρούμε ένα δεμάτιο F αβελιανών ομάδων πάνω στο $X$ . Αν η F(U) είναι ένα module (πρότυπο) πάνω από τον δακτύλιο ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ για κάθε ανοικτό σύνολο $U$ στο $X$ , και οι περιοριστικοί χάρτες είναι συμβατοί με τη δομή του module, τότε ονομάζουμε την $F$ ένα ' ${\mathcal {O}}_{X}$ -module. Σε αυτή την περίπτωση, το στέλεχος της $F$ στο $x$ θα είναι ένα module πάνω στον τοπικό δακτύλιο (στέλεχος) $R_{x}$ , για κάθε $x\in X$ .

Ένας μορφισμός μεταξύ δύο τέτοιων ${\mathcal {O}}_{X}$ -modules είναι ένας μορφισμός των δεματίων που είναι συμβατός με τις δεδομένες δομές module. Η κατηγορία των ${\mathcal {O}}_{X}$ -μονάδων πάνω από ένα σταθερό τοπικά δακτυλιωτό χώρο $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ είναι μια αβελιανή κατηγορία.

Μια σημαντική υποκατηγορία της κατηγορίας των ${\mathcal {O}}_{X}$ -modules είναι η κατηγορία των οιονεί συνεκτικών δεματίων στον $X$ . Ένα δεμάτιο των ${\mathcal {O}}_{X}$ -modules ονομάζεται οιονεί συνεκτικό αν είναι, τοπικά, ισόμορφο με τον πυρήνα ενός χάρτη μεταξύ ελεύθερων ${\mathcal {O}}_{X}$ -modules. Ένα συνεκτικό δεμάτιο $F$ είναι ένα οιονεί συνεκτικό δεμάτιο που είναι, τοπικά, πεπερασμένου τύπου και για κάθε ανοικτό υποσύνολο $U$ του $X$ ο πυρήνας κάθε μορφισμού από ένα ελεύθερο ${\mathcal {O}}_{U}$ -module πεπερασμένου βαθμού προς την $F_{U}$ είναι επίσης πεπερασμένου τύπου.

Δημοσιεύσεις

Section 0.4 of Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 4. doi:10.1007/bf02684778. MR 0217083.
Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157

Δείτε επίσης

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
A. Bondal, D. Orlov, Semi-orthogonal decomposition for algebraic varieties_, PreprintMPI/95–15, alg-geom/9506006
Algebra 3: Homological Algebra and Its Applications
Classifying Spaces of Degenerating Polarized Hodge Structures. (AM-169)
C^\infinity - Differentiable Spaces
The Geometry of Supermanifolds

Παραπομπές

↑ «Ringed space - Encyclopedia of Mathematics». encyclopediaofmath.org. Ανακτήθηκε στις 8 Ιουνίου 2024.
↑ «Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου» (PDF).
↑ Grothendieck, Alexandre (1960). Éléments de géométrie algébrique. Presses universitaires de France.
↑ Éléments de géométrie algébrique, Ch 0, 4.1.1.
↑ ^5,0 ^5,1 Görtz, Ulrich· Wedhorn, Torsten (6 Αυγούστου 2010). Algebraic Geometry: Part I: Schemes. With Examples and Exercises. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-8348-9722-0.
↑ Landsman, N. P.· Pflaum, Markus (6 Δεκεμβρίου 2012). Quantization of Singular Symplectic Quotients. Birkhäuser. ISBN 978-3-0348-8364-1.
↑ Peters, Chris A. M.· Steenbrink, Joseph H. M. (27 Φεβρουαρίου 2008). Mixed Hodge Structures. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-77017-6.

[1] «Ringed space - Encyclopedia of Mathematics». encyclopediaofmath.org. Ανακτήθηκε στις 8 Ιουνίου 2024.

[2] «Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου» (PDF).

[3] Grothendieck, Alexandre (1960). Éléments de géométrie algébrique. Presses universitaires de France.

[4] Éléments de géométrie algébrique, Ch 0, 4.1.1.

[:0-5] 5,0 ^5,1 Görtz, Ulrich· Wedhorn, Torsten (6 Αυγούστου 2010). Algebraic Geometry: Part I: Schemes. With Examples and Exercises. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-8348-9722-0.

[6] Landsman, N. P.· Pflaum, Markus (6 Δεκεμβρίου 2012). Quantization of Singular Symplectic Quotients. Birkhäuser. ISBN 978-3-0348-8364-1.

[7] Peters, Chris A. M.· Steenbrink, Joseph H. M. (27 Φεβρουαρίου 2008). Mixed Hodge Structures. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-77017-6.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]