Αναμενόμενη τιμή

Η αναμενόμενη τιμή μίας τυχαίας μεταβλητής $X$ συμβολίζεται συνήθως με $E(X),\;\mu _{X}$ ή $\mu$.

Ορισμός

Η αναμενόμενη τιμή ορίζεται ως το ολοκλήρωμα Lebesque ως προς το μέτρο πιθανότητας. Έστω ο χώρος πιθανότητας $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ και ο μετρήσιμος χώρος $({\bar {\mathbb {R} }},{\mathcal {B}})$, όπου ${\bar {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}$ και ${\mathcal {B}}$ η Borel σ-άλγεβρα. Αν η $\,X$ είναι $P-$ ολοκληρώσιμη, τότε η αναμενόμενη τιμή ορίζεται ως

$E(X)=\int _{\Omega }X\,dP=\int _{\Omega }X(\omega )P(d\omega )\,$.

Διακριτές τυχαίες μεταβλητές

Έστω $\,X$ μία διακριτή ολοκληρώσιμη τυχαία μεταβλητή που παίρνει τις τιμές $x_{i},i\in N,N\subset \mathbb {N}$ με αντίστοιχες πιθανότητες $\,p_{i}=P(X=x_{i})$. Η αναμενόμενη τιμή της μεταβλητής είναι:

$E(X)=\sum _{i\in N}x_{i}p_{i}.$

Η ολοκληρωσιμότητα σε αυτήν την περίπτωση ελέγχεται ως εξής:

$\sum _{i\in N}|x_{i}|p_{i}<\infty .$

Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές

Έστω $\,X$ μία τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας $\,f(x)$ η αναμενόμενη της τιμή είναι:

$E(X)=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)dx\,$.

Ιδιότητες

Έστω $\,X$ μία ολοκληρώσιμη τυχαία μεταβλητή και $a,b\in \mathbb {R}$:

$\operatorname {E} (aX+b)=a\operatorname {E} (X)+b\,$.

Έστω $\,X,Y$ ολοκληρώσιμες τυχαίες μεταβλητές:

$\operatorname {E} (X+Y)=\operatorname {E} (X)+\operatorname {E} (Y)\,$.

Έστω $\,X,Y$ δύο ανεξάρτητες ολοκληρώσιμες τυχαίες μεταβλητές:

$\operatorname {E} (XY)=\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)\,$.

Δείτε επίσης

• Διακύμανση