Kενότητα

Σχήμα 1. Βασικά μορφοκλασματικά μοτίβα που αυξάνονται σε κενότητα από αριστερά προς τα δεξιά.

Οι ίδιες εικόνες όπως παραπάνω, με περιστροφή 90°. Ενώ οι δύο πρώτες εικόνες φαίνονται ουσιαστικά ίδιες με τις παραπάνω, η τρίτη φαίνεται διαφορετική από την αρχική της χωρίς περιστροφή. Το χαρακτηριστικό αυτό αποτυπώνεται στα μέτρα της κενότητας που παρατίθενται στην κορυφή των εικόνων, όπως υπολογίζονται με τη χρήση τυποποιημένου λογισμικού καταμέτρησης κουτιών βιολογικής απεικόνισης FracLac, Image.

Η Κενότητα, ή Lacunarity από το λατινικό lacuna, που σημαίνει "κενό" ή "λίμνη", είναι ένας εξειδικευμένος όρος της γεωμετρίας που αναφέρεται σε ένα μέτρο του τρόπου με τον οποίο τα μοτίβα, ιδίως τα φράκταλ, γεμίζουν το χώρο, όπου τα μοτίβα που έχουν περισσότερα ή μεγαλύτερα κενά έχουν γενικά μεγαλύτερη κενότητα. Πέρα από ένα διαισθητικό μέτρο της ακανόνιστης μορφής, η κενότητα μπορεί να ποσοτικοποιήσει πρόσθετα χαρακτηριστικά των μοτίβων, όπως η "αναλλοίωτη περιστροφής" και γενικότερα η ετερογένεια. Αυτό απεικονίζεται στο Σχήμα 1 το οποίο παρουσιάζει τρία μορφοκλασματικά σχέδια. Όταν περιστρέφονται κατά 90°, τα δύο πρώτα αρκετά ομοιογενή μοτίβα δεν φαίνεται να αλλάζουν, αλλά το τρίτο πιο ετερογενές σχήμα μεταβάλλεται και έχει αντίστοιχα υψηλότερη κενότητα. Η πρώτη αναφορά του όρου στη γεωμετρία αποδίδεται συνήθως στον Μπενουά Μάντελμπροτ, ο οποίος το 1983 ή ίσως ήδη από το 1977 τον εισήγαγε ως, στην ουσία, ένα συμπλήρωμα της μορφοκλασματικής ανάλυσης. Η ανάλυση της κενότητας χρησιμοποιείται πλέον για τον χαρακτηρισμό προτύπων σε μια ευρεία ποικιλία πεδίων και βρίσκει εφαρμογή ιδίως στην πολυμορφοκλασματική ανάλυση(βλ. Εφαρμογές).

Μέτρηση της κενότητας

Σε πολλά πρότυπα ή σύνολα δεδομένων, η κενότητα δεν είναι εύκολα αντιληπτή ή ποσοτικά προσδιορίσιμη, γι' αυτό και έχουν αναπτυχθεί μέθοδοι υπολογισμού της με τη αρωγή υπολογιστή. Ως μετρήσιμο μέγεθος, η κενότητα αναφέρεται συχνά στην επιστημονική ορολογία με τα ελληνικά γράμματα $\Lambda$ ή $\lambda$, αλλά είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι δεν υπάρχει ένα ενιαίο πρότυπο και ότι υπάρχουν πολλές διαφορετικές μέθοδοι για την εκτίμηση και την ερμηνεία της κενότητας.

Κενότητα καταμέτρησης κουτιών

Σχήμα 2α. Κουτιά τοποθετημένα πάνω σε μια εικόνα ως σταθερό πλέγμα.

Σχήμα 2 b. Πλαίσια που ολισθαίνουν πάνω σε μια εικόνα με αλληλοεπικαλυπτόμενο σχέδιο.

Μια πολύ γνωστή μέθοδος προσδιορισμού της κενότητας για πρότυπα που εξάγονται από ψηφιακές εικόνες χρησιμοποιεί την καταμέτρηση κουτιών, τον ίδιο βασικό αλγόριθμο που χρησιμοποιείται συνήθως για ορισμένους τύπους Μορφοκλασματικής ανάλυσης.. Παρόμοια με την εξέταση μιας αντικειμενοφόρου πλάκας μέσω μικροσκοπίου με μεταβαλλόμενα επίπεδα μεγέθυνσης, οι αλγόριθμοι καταμέτρησης κουτιών εξετάζουν μια ψηφιακή εικόνα από πολλά επίπεδα ανάλυσης για να εξετάσουν πώς ορισμένα χαρακτηριστικά αλλάζουν με το μέγεθος του στοιχείου που χρησιμοποιείται για την επιθεώρηση της εικόνας. Βασικά, η διάταξη των εικονοστοιχείων μετράται χρησιμοποιώντας παραδοσιακά τετράγωνο (δηλ, στοιχείων σε σχήμα κουτιού) από ένα αυθαίρετο σύνολο μεγεθών $\mathrm {E}$, που συμβολίζονται συμβατικά ως $\varepsilon$s. Για κάθε $\varepsilon$, ένα κουτί μεγέθους $\varepsilon$ τοποθετείται διαδοχικά στην εικόνα, καλύπτοντάς την στο τέλος πλήρως, και κάθε φορά που τοποθετείται, καταγράφεται ο αριθμός των εικονοστοιχείων που εμπίπτουν στο κουτί. Στην τυπική καταμέτρηση κουτιών, το κουτί για κάθε $\varepsilon$ στο $\mathrm {E}$ τοποθετείται σαν να ήταν μέρος ενός πλέγματος που επικάθεται στην εικόνα, έτσι ώστε το κουτί να μην επικαλύπτει τον εαυτό του, αλλά στους αλγορίθμους συρόμενου κουτιού, το κουτί ολισθαίνει κατά μήκος της εικόνας έτσι ώστε να επικαλύπτει τον εαυτό του και υπολογίζεται το "κενό συρόμενου κουτιού" ή SLac. Το σχήμα 2 απεικονίζει και τους δύο τύπους καταμέτρησης κουτιών.

Υπολογισμοί από την καταμέτρηση των κουτιών

Τα δεδομένα που συλλέγονται για κάθε $\varepsilon$ επεξεργάζονται για τον υπολογισμό της κενότητας. Ένα μέτρο, που εδώ συμβολίζεται ως $\lambda _{\varepsilon }$, βρίσκεται από τον συντελεστή διακύμανσης (${\mathit {CV}}$), που υπολογίζεται ως η τυπική απόκλιση ($\sigma$) διαιρεμένη με τον μέσο όρο ($\mu$), για τα εικονοστοιχεία ανά κουτί. Επειδή ο τρόπος δειγματοληψίας μιας εικόνας εξαρτάται από την αυθαίρετη αρχική θέση, για κάθε εικόνα που δειγματοληπτείται σε οποιοδήποτε $\varepsilon$ θα υπάρχει κάποιος αριθμός (${\mathit {G}}$) ενδεχόμενων προσανατολισμών, ο καθένας από τους οποίους συμβολίζεται εδώ με ${\mathit {g}}$, στους οποίους μπορούν να συγκεντρωθούν τα δεδομένα, τα οποία μπορεί να έχουν ποικίλα αποτελέσματα στη μετρούμενη κατανομή των εικονοστοιχείων. Εξίσωσ 1 παρουσιάζει τη βασική μέθοδο υπολογισμού $\lambda _{\varepsilon ,g}$:

$\lambda _{\varepsilon ,g}=(CV_{\varepsilon ,g})^{2}=\left({\frac {\sigma _{\varepsilon ,g}}{\mu _{\varepsilon ,g}}}\right)^{2}$

(1)

Κατανομές πιθανοτήτων

Εναλλακτικά, ορισμένες μέθοδοι ταξινομούν τους αριθμούς των εικονοστοιχείων που καταμετρήθηκαν σε μια κατανομή πιθανοτήτων που έχει $B$ bins, και χρησιμοποιούν τα μεγέθη των bins (μάζες, $m$) και τις αντίστοιχες πιθανότητες ($p$) για τον υπολογισμό της $\lambda _{\varepsilon ,g}$ σύμφωνα με τις εξισώσεις 2} έως 5}:

$\mu _{\varepsilon }=\sum _{i=1}^{B}{m_{i,\varepsilon }p_{i,\varepsilon }}$

(2)

${\mathit {v}}_{\varepsilon }=\sum _{i=1}^{B}{\left(m_{i,\varepsilon }-\mu _{\varepsilon }\right)^{2}p_{i,\varepsilon }}$

(3)

$\sigma _{\varepsilon }^{2}={\mathit {v}}_{\varepsilon }=\sum _{i=1}^{B}{m_{i,\varepsilon }^{2}p_{i,\varepsilon }-\mu _{\varepsilon }^{2}}$

(4)

$\lambda _{\varepsilon }={\frac {\sum _{i=1}^{B}{m_{i,\varepsilon }^{2}p_{i,\varepsilon }-\mu _{\varepsilon }^{2}}}{\mu _{\varepsilon }^{2}}}={\frac {\sigma _{\varepsilon }^{2}}{\mu _{\varepsilon }^{2}}}$

(5)

Ερμηνεία του λ

Η κενότητα με βάση το $\lambda _{\varepsilon ,g}$ αξιολογήθηκε με διάφορους τρόπους, όπως με τη χρήση της μεταβολής ή της μέσης τιμής του $\lambda _{\varepsilon ,g}$ για κάθε $\varepsilon$ (βλέπε Εξίσωση 6}) και με τη χρήση της μεταβολής ή του μέσου όρου σε όλα τα πλέγματα (βλέπε Εξίσωση 7}).

${\overline {\lambda _{\varepsilon ,g}}}={\frac {\sum _{\varepsilon =1}^{\mathrm {E} }\lambda _{\varepsilon ,g}}{\mathrm {E} }}$

(6)

$\Lambda _{\mathit {g}}={\frac {\sum _{{\mathit {g}}=1}^{\mathit {G}}{\overline {\lambda _{\varepsilon ,g}}}}{\mathit {G}}}$

(7)

Σχέση με τη μορφοκλασματική διάσταση

Οι αναλύσεις κενότητας με τη χρήση των τύπων τιμών αναφέρθηκαν παραπάνω έχουν δείξει ότι τα σύνολα δεδομένων που εξάγονται από πυκνά φράκταλ, από μοτίβα που αλλάζουν ελάχιστα όταν περιστρέφονται ή από μοτίβα που είναι ομοιογενή, έχουν χαμηλή λακωνικότητα, αλλά καθώς αυτά τα χαρακτηριστικά αυξάνονται, τόσο γενικά αυξάνεται και η λακωνικότητα. Σε ορισμένες περιπτώσεις, έχει αποδειχθεί ότι οι μορφοκλασματικές διαστάσεις και οι τιμές της κενότητας συσχετίζονται, αλλά πιο πρόσφατες έρευνες έχουν δείξει ότι αυτή η σχέση δεν ισχύει για όλους τους τύπους μοτίβων και μέτρων κενότητας. Πράγματι, όπως αρχικά πρότεινε ο Μάντελμπροτ, η κενότητα έχει αποδειχθεί ότι είναι χρήσιμη για τη διάκριση μεταξύ μοτίβων (π.χ. φράκταλ, υφές κ.λπ.) που μοιράζονται ή έχουν παρόμοιες μορφοκλασματικές διαστάσεις σε διάφορα επιστημονικά πεδία, συμπεριλαμβανομένων των νευροεπιστημών.

Γραφική κενότητα

Άλλες μέθοδοι αξιολόγησης της κενότητας από δεδομένα καταμέτρησης κουτιών χρησιμοποιούν τη σχέση μεταξύ των τιμών της κενότητας (π.χ. $\lambda _{\varepsilon ,g}$) και $\varepsilon$ με διαφορετικούς τρόπους από αυτούς που σημειώθηκαν παραπάνω. Μια τέτοια μέθοδος εξετάζει το διάγραμμα $\ln$ έναντι $\ln$ αυτών των τιμών. Σύμφωνα με τη μέθοδο αυτή, η ίδια η καμπύλη μπορεί να αναλυθεί οπτικά ή η κλίση στο ${\mathit {g}}$ μπορεί να υπολογιστεί από την ευθεία παλινδρόμησης $\ln$ vs $\ln$. Επειδή τείνουν να συμπεριφέρονται με ορισμένους τρόπους για αντίστοιχα μονο-, πολυ- και μη-μορφοκλασματικά πρότυπα, τα διαγράμματα $\ln$ vs $\ln$ κενότητας χρησιμοποιήθηκαν για να συμπληρώσουν τις μεθόδους ταξινόμησης τέτοιων προτύπων.

Για να γίνουν τα διαγράμματα για αυτού του είδους την ανάλυση, τα δεδομένα από την καταμέτρηση των κουτιών πρέπει πρώτα να μετασχηματιστούν όπως στην Εξίσωση 9:

$f\lambda _{\varepsilon ,g}=\lambda _{\varepsilon ,g}+1$

(9)

Αυτός ο μετασχηματισμός αποφεύγει τις απροσδιόριστες τιμές, πράγμα που είναι σημαντικό επειδή οι ομοιογενείς εικόνες θα έχουν $\sigma$ σε κάποιο $\varepsilon$ ίσο με 0, έτσι ώστε η κλίση της γραμμής παλινδρόμησης $\ln$ προς $\ln$ θα ήταν αδύνατο να βρεθεί. Με $f\lambda _{\varepsilon ,g}$, οι ομογενείς εικόνες έχουν κλίση 0, που αντιστοιχεί διαισθητικά στην ιδέα ότι δεν υπάρχει περιστροφική ή μεταφορική αναλλοίωτη και δεν υπάρχουν κενά.

Μια τεχνική καταμέτρησης κουτιών που χρησιμοποιεί ένα "ολισθαίνον" κουτί υπολογίζει τη κενότητα σύμφωνα με:

${\mathcal {L}}(r)={\frac {\sum _{i=1}^{r^{2}}S_{i}^{2}Q(S_{i},r)}{\left(\sum _{i=1}^{r^{2}}S_{i}Q(S_{i},r)\right)^{2}}}.$

(10)

$S_{i}$ είναι ο αριθμός των συμπληρωμένων σημείων δεδομένων στο πλαίσιο και $Q(S_{i},r)$ η κανονικοποιημένη κατανομή συχνοτήτων του $S_{i}$ για διαφορετικά μεγέθη πλαισίου.

Κενότητα του προφάκτορα

Ένας άλλος προτεινόμενος τρόπος αξιολόγησης της κενότητας με τη χρήση της καταμέτρησης κουτιών, η μέθοδος Prefactor, βασίζεται στην τιμή που προκύπτει από την καταμέτρηση κουτιών για τη διάσταση του φράκταλ ($D_{B}$). Αυτή η στατιστική χρησιμοποιεί τη μεταβλητή $A$ από τον κανόνα κλιμάκωσης $N=A\varepsilon ^{D_{B}}$, όπου το $A$ υπολογίζεται από την y-κορυφή (${\mathit {y}}$) της γραμμής παλινδρόμησης ln-ln για το $\varepsilon$ και είτε τον αριθμό ($N$) των κουτιών που είχαν καθόλου εικονοστοιχεία σε αυτά είτε $m$ στο $g$. Το $A$ επηρεάζεται ιδιαίτερα από το μέγεθος της εικόνας και τον τρόπο συλλογής των δεδομένων, ιδίως από το κατώτερο όριο του $\varepsilon$ που χρησιμοποιείται. Το τελικό μέτρο υπολογίζεται όπως φαίνεται στις εξισώσεις 11 έως 13:

$A_{g}={\frac {1}{e^{{\mathit {y}}_{g}}}}$

(11)

${\overline {A}}={\frac {\sum _{g=1}^{G}A_{g}}{G}}$

(12)

$P\Lambda ={\frac {\sum _{g=1}^{G}{\left({\frac {A_{g}}{\overline {A}}}-1\right)^{2}}}{G}}$

(13)

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• «FracLac User's Guide».  An online guide to lacunarity theory and analysis using free, open source biological imaging software.

Εφαρμογές

Παρακάτω παρατίθεται ένας κατάλογος ορισμένων τομέων όπου η λακωνικότητα διαδραματίζει σημαντικό ρόλο, μαζί με συνδέσμους σε σχετικές έρευνες που απεικονίζουν πρακτικές χρήσεις της λακωνικότητας.

• Οικολογία
• Φυσική
• Αρχαιολογία
• Ιατρική απεικόνιση
• Αστική χωρική ανάλυση
• Σεισμικές μελέτες
• Οδοντιατρική
• Επιστήμη τροφίμων

Δείτε επίσης

• Αλγόριθμος διαμαντιού τετραγώνου
• Καμπύλη που γεμίζει το χώρο
• Νιφάδα του Κοχ
• Καμπύλη Χίλμπερτ
• Καμπύλη του δράκου
• Σπόγγος του Μένγκερ

• Σύνολο Μάντελμπροτ
• Σύνολο Julia
• Σύνολο Κάντορ
• Οικοδομήσιμο Σύμπαν