Dévissage (αλγεβρική γεωμετρία)

Στην αλγεβρική γεωμετρία, το dévissage είναι μια τεχνική που εισήγαγε ο Αλεξάντερ Γκρότεντικ για την απόδειξη δηλώσεων σχετικά με συνεκτικά δεμάτια σε Ναιτεριανά σχήματα. Το dévissage είναι μια προσαρμογή ενός συγκεκριμένου είδους Ναιτεριανής επαγωγής. Έχει πολλές εφαρμογές, συμπεριλαμβανομένης της απόδειξης της γενικής επιπεδότητας και της απόδειξης ότι οι ανώτερες άμεσες εικόνες των συνεκτικών δεματίων κάτω από κατάλληλους μορφισμούς είναι συνεκτικές.

Οι Λοράν Γκρυσόν και Μισέλ Ρενό επέκτειναν την έννοια αυτή στη σχετική κατάσταση, δηλαδή στην περίπτωση που το υπό εξέταση σχήμα δεν είναι απαραίτητα Ναιτεριανό, αλλά αντίθετα δέχεται έναν πεπερασμένο μορφισμό προς ένα άλλο σχήμα. Το έκαναν αυτό ορίζοντας ένα αντικείμενο που ονομάζεται σχετικό dévissage και το οποίο είναι κατάλληλο για ορισμένα είδη επαγωγικών επιχειρημάτων. Χρησιμοποίησαν αυτή την τεχνική για να δώσουν ένα νέο κριτήριο για να είναι μια ενότητα επίπεδη. Κατά συνέπεια, μπόρεσαν να απλοποιήσουν και να γενικεύσουν τα αποτελέσματα της EGA IV 11 σχετικά με την κάθοδο της επιπεδότητας.

Η λέξη dévissage στα γαλλικά σημαίνει ξεβίδωμα.

θεώρημα dévissage του Γκρότεντικ

Έστω X ένα Ναιτεριανό σχήμα. Έστω C ένα υποσύνολο των αντικειμένων της κατηγορίας των συνεκτικών O_X-modules που περιέχει μηδενικό δεμάτιο και που έχει την ιδιότητα ότι, για κάθε σύντομη ακριβή ακολουθία $0\to A'\to A\to A''\to 0$ συνεκτικών δεματίων, αν δύο από τα A, A′ είναι στο C, τότε και το τρίτο είναι. Έστω X′ ένας κλειστός υποχώρος του υποκείμενου τοπολογικού χώρου του X. Ας υποθέσουμε ότι για κάθε μη αναγώγιμο κλειστό υποσύνολο Y του X′, υπάρχει ένα συνεκτικό δεμάτιο G στο C του οποίου η ίνα στο γενικό σημείο y του Y είναι ένας μονοδιάστατος διανυσματικός χώρος πάνω από το υπόλοιπο σώμα k(y). Τότε κάθε συνεκτική O_X-module της οποίας η υποστήριξη περιέχεται στο X′ περιέχεται στο C..

Στην ειδική περίπτωση που X′ = X, το θεώρημα δηλώνει ότι η C είναι η κατηγορία των συνεκτικών O_X-modules. Αυτό είναι το πλαίσιο στο οποίο το θεώρημα εφαρμόζεται συχνότερα, αλλά η παραπάνω δήλωση καθιστά δυνατή την απόδειξη του θεωρήματος με Ναιτεριανή επαγωγή.

Μια παραλλαγή του θεωρήματος είναι ότι αν κάθε άμεσος παράγοντας ενός αντικειμένου στη C είναι πάλι στη C, τότε η συνθήκη ότι η ίνα του G στο x πρέπει να είναι μονοδιάστατη μπορεί να αντικατασταθεί από τη συνθήκη ότι η ίνα είναι μη μηδενική.

Σχετικά dévissages των Γκρυσόν και Ρενό

Ας υποθέσουμε ότι f : X → S} είναι ένας πεπερασμένου τύπου μορφισμός αφινικών σχημάτων, s είναι ένα σημείο του S, και M είναι ένα πεπερασμένου τύπου O_X-module. Αν n είναι ένας φυσικός αριθμός, τότε οι Γκρυσόν και Ρενό ορίζουν ένα S-dévissage σε διάσταση n να αποτελείται από:

1. Ένα κλειστό πεπερασμένης παρουσίασης υποσύστημα X′ του X που περιέχει το κλειστό υποσύστημα που ορίζεται από τον εκμηδενιστή του M και τέτοιο ώστε η διάσταση του X′ ∩ f⁻¹(s'} να είναι μικρότερη ή ίση με n.
2. Ένα σχήμα T και μια παραγοντοποίηση X′ → T → S του περιορισμού της f στο X′ έτσι ώστε X′ → T να είναι ένας πεπερασμένος μορφισμός και T → S να είναι ένας ομαλός αφινικός μορφισμός με γεωμετρικά ολοκληρωμένες ίνες διάστασης n. Συμβολίζουμε το γενικό σημείο του T ×_S k(s) με τ και το προωθητικό σημείο του M στο T με N.
3. Ένα ελεύθερο πεπερασμένου τύπου O_T-module L και ένας ομομορφισμός α : L → N τέτοιος ώστε α ⊗ k(τ) να είναι αμφιρριπτικός.

Αν n₁, n₂, ..., n_r είναι μια αυστηρά φθίνουσα ακολουθία φυσικών αριθμών, τότε ένα S-dévissage στις διαστάσεις n₁, n₂, ..., n_r ορίζεται αναδρομικά ως εξής:

1. Ένα S-dévissage στη διάσταση n₁. Συμβολίζουμε τον πυρήνα του α με P₁.
2. Ένα S-dévissage στις διαστάσεις n₂, ..., n_r of P₁.

Το dévissage λέγεται ότι βρίσκεται μεταξύ των διαστάσεων n₁ και n_r. Το r ονομάζεται μήκος του dévissage. Το τελευταίο βήμα της αναδρομής αποτελείται από ένα dévissage στη διάσταση nr που περιλαμβάνει έναν μορφισμό α_r : L_r → N_r. Συμβολίζουμε τον πυρήνα αυτού του μορφισμού με P_r. Το dévissage ονομάζεται ολικό αν το P_r είναι μηδέν.

Οι Γκρυσόν και Ρενό αποδεικνύουν γενικά ότι, τοπικά, υπάρχουν πάντα dévissages. Συγκεκριμένα, έστω f : (X, x) → (S, s) ένας πεπερασμένα παρουσιασμένος μορφισμός μυτερών σχημάτων και M ένα O_X-module πεπερασμένου τύπου του οποίου η ίνα στο x είναι μη μηδενική. Ορίζουμε το n ίσο με τη διάσταση του M ⊗ k(s) και το r ίσο με το βάθος codepth του M στο s, δηλαδή με n − depth(M ⊗ k(s)).. Τότε υπάρχουν αφινικές étale γειτονιές X′ του x και S′ του s, μαζί με τα σημεία x′ και s′ που ανυψώνουν τα x και s, έτσι ώστε οι επεκτάσεις του υπολειμματικού σώματος k(x) → k(x′) και k(s) → k(s′) να είναι τετριμμένες, ο χάρτης X′ → S παραγοντοποιείται μέσω του S′, η παραγοντοποίηση αυτή στέλνει το x′ στο s′, και ότι η επαναφορά του M στο X′ δέχεται ένα συνολικό S′-dévissage στο x′ σε διαστάσεις μεταξύ n και n − r.

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Θεώρημα δείκτη Ατίγια-Σίνγκερ
• Τοπολογία
• Ναιτεριανό σχήμα
• Ελλειπτική συνάρτηση Βάιερστρας
• Τοπολογία Ζαρίσκι

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Andreas Gathmann - Algebraic Geometry (SS 2014)
• Galois Groups and Fundamental Groups
• Noether-Lefschetz Theory and the Picard Group of Projective Surfaces
• Cyclic Cohomology at 40: Achievements and Future Prospects
• Algebraic Groups and Their Birational Invariants
• Topics in Algebraic and Topological K-Theory
• Abelian Varieties and Number Theory
• p-Adic Automorphic Forms on Shimura Varieties

Δημοσιεύσεις

• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1964). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 20. doi:10.1007/bf02684747. MR 0173675.
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 32. doi:10.1007/bf02732123. MR 0238860.
• Bombieri, Enrico· Gubler, Walter (2006). Heights in Diophantine Geometry. New Mathematical Monographs. 4. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-71229-3. Zbl 1130.11034. 
• Hindry, Marc· Silverman, Joseph H. (2000). Diophantine Geometry: An Introduction. Graduate Texts in Mathematics. 201. ISBN 0-387-98981-1. Zbl 0948.11023. 
• Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Tamagawa number», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=T/t092060 
• Kottwitz, Robert E. (1988), «Tamagawa numbers», Ann. of Math., 2 (Annals of Mathematics) 127 (3): 629–646, doi:10.2307/2007007 .
• Ono, Takashi (1963), «On the Tamagawa number of algebraic tori», Annals of Mathematics, Second Series 78 (1): 47–73, doi:10.2307/1970502, ISSN 0003-486X 
• Ono, Takashi (1965), «On the relative theory of Tamagawa numbers», Annals of Mathematics, Second Series 82 (1): 88–111, doi:10.2307/1970563, ISSN 0003-486X, http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183525960 
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1961). "Eléments de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 11. doi:10.1007/bf02684274. MR 0217085.
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1964). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 20. doi:10.1007/bf02684747. MR 0173675.
• Gruson, Laurent; Raynaud, Michel (1971), «Critéres de platitude et de projectivité», Inventiones Mathematicae 13: 1–17, doi:10.1007/bf01390094, ISSN 0020-9910