Buddhabrot

Ένα Buddhabrot που έχει επαναληφθεί 20.000 φορές.

Το Buddhabrot είναι η κατανομή πιθανότητας πάνω στις τροχιές των σημείων που ξεφεύγουν από το Σύνολο Μάντελμπροτ. Το όνομά του αντικατοπτρίζει την παρεΐστικη ομοιότητά του με τις κλασικές απεικονίσεις του Γκαουτάμα Βούδα, καθισμένου σε στάση διαλογισμού με ένα σημάδι στο μέτωπο (Σανσκριτικά: तिलक tikka), ένα παραδοσιακό οβάλ στέμμα (Σανσκριτικά: उष्णीष ushnisha) και μια τούφα μαλλιών.

Ανακάλυψη

Η τεχνική απεικόνισης του Buddhabrot ανακαλύφθηκε από τη Μελίντα Γκριν, η οποία αργότερα την περιέγραψε σε μια ανάρτηση στο Usenet το 1993 στο sci.fractals.

Προγενέστεροι ερευνητές είχαν φτάσει πολύ κοντά στην εύρεση της συγκεκριμένης τεχνικής Buddhabrot. Το 1988, ο Λίνας Βέπστας μετέφερε παρόμοιες εικόνες στον Κλιφ Πίκοβερ για να συμπεριληφθούν στο επερχόμενο τότε βιβλίο του Πίκοβερ "Υπολογιστές, μοτίβα, χάος και ομορφιά". Αυτό οδήγησε άμεσα στην ανακάλυψη των μίσχων του Πίκοβερ. Ο Νόελ Γκρίφιν εφάρμοσε επίσης αυτή την ιδέα στην επιλογή "Mandelcloud" του 1993 στον renderer Fractint. Ωστόσο, αυτοί οι ερευνητές δεν φιλτράρισαν τις μη διαφυγόντες τροχιές που απαιτούνται για την παραγωγή των φανταστικών μορφών που θυμίζουν την ινδουιστική τέχνη. Το αντίστροφο φίλτρο " αντι-Buddhabrot" παράγει εικόνες παρόμοιες με αυτές που δεν φιλτράρονται.

Ο Γκριν ονόμασε για πρώτη φορά αυτό το μοτίβο Γκανές, καθώς ένας Ινδός συνάδελφος "το αναγνώρισε αμέσως ως τον θεό 'Γκανέσα' που είναι αυτός με το κεφάλι ελέφαντα." Το όνομα Buddhabrot επινοήθηκε αργότερα από την Λόρι Γκάρντι.

Μέθοδος απεικόνισης

Ψεύτικο χρώμα Buddhabrot Zoom στο οποίο τα κόκκινα, πράσινα και μπλε κανάλια είχαν μέγιστες τιμές επανάληψης 5000, 500 και 50 αντίστοιχα.

Μια απεικόνιση 20.000 x 25.000 px ενός Buddhabrot

Μαθηματικά, το σύνολο Μάντελμπροτ αποτελείται από το σύνολο των σημείων $c$ στο μιγαδικό επίπεδο για το οποίο η ακολουθία ορίζεται επαναληπτικά

$z_{n+1}=z_{n}^{2}+c$

τείνει στο άπειρο καθώς το $n$ πηγαίνει στο άπειρο για $z_{0}=0$.

Ψεύτικο χρώμα Buddhabrot στο οποίο τα κόκκινα, πράσινα και μπλε κανάλια είχαν μέγιστες τιμές επανάληψης 5000, 500 και 50 αντίστοιχα.

Η εικόνα Buddhabrot μπορεί να κατασκευαστεί δημιουργώντας πρώτα έναν πίνακα 2διάστασηων κουτιών, καθένα από τα οποία αντιστοιχεί σε ένα τελικό εικονοστοιχείο της εικόνας. Κάθε κουτί $(i,j)$ for $i=1,\ldots ,m$ and $j=1,\ldots ,n$ έχει μέγεθος σε μιγαδικές συντεταγμένες $\Delta x$ και $\Delta y$, όπου $\Delta x=w/m$ και $\Delta y=h/n$ για μια εικόνα πλάτους $w$ και ύψους $h$. Για κάθε κουτί, ένας αντίστοιχος μετρητής αρχικοποιείται στο μηδέν. Κατόπιν, μια τυχαία δειγματοληψία σημείων $c$ επαναλαμβάνεται μέσω της συνάρτησης Μάντελμπροτ. Για τα σημεία που δεν ξεφεύγουν μέσα σε έναν επιλεγμένο μέγιστο αριθμό επαναλήψεων, και επομένως δεν βρίσκονται στο σύνολο Μάντελμπροτ, ο μετρητής για κάθε κουτί που εισάγεται κατά τη διάρκεια της διαφυγής στο άπειρο αυξάνεται κατά 1. Με άλλα λόγια, για κάθε ακολουθία που αντιστοιχεί σε $c$ που δραπετεύει, για κάθε σημείο $z_{n}$ κατά τη διάρκεια της απόδρασης, το πλαίσιο εντός του οποίου βρίσκεται το $({\text{Re}}(z_{n}),{\text{Im}}(z_{n}))$ αυξάνεται κατά 1. Τα σημεία που δεν ξεφεύγουν εντός του μέγιστου αριθμού επαναλήψεων (και θεωρούνται ότι βρίσκονται στο σύνολο Μάντελμπροτ) απορρίπτονται. Αφού επαναληφθεί ένας μεγάλος αριθμός τιμών $c$, επιλέγονται στη συνέχεια οι αποχρώσεις του γκρι με βάση την κατανομή των τιμών που έχουν καταγραφεί στον πίνακα. Το αποτέλεσμα είναι ένα διάγραμμα πυκνότητας που τονίζει τις περιοχές όπου οι τιμές $z_{n}$ περνούν τον περισσότερο χρόνο στο δρόμο τους προς το άπειρο.

Anti-Buddhabrot

Ένα Buddhabrot καθώς αυξάνονται οι μέγιστες επαναλήψεις

Αποχρώσεις

Η απόδοση εικόνων "Buddhabrot" είναι γενικά πιο απαιτητική σε υπολογισμούς από τις τυπικές τεχνικές απόδοσης Μάντελμπροτ. Αυτό οφείλεται εν μέρει στο γεγονός ότι πρέπει να επαναληφθούν περισσότερα τυχαία σημεία από τα εικονοστοιχεία της εικόνας για να επιτευχθεί μια ευκρινής εικόνα. Η απόδοση περιοχών με μεγάλο ζουμ απαιτεί ακόμη περισσότερους υπολογισμούς από ό,τι για τις τυπικές εικόνες Μάντελμπροτ, στις οποίες ένα δεδομένο εικονοστοιχείο μπορεί να υπολογιστεί απευθείας ανεξάρτητα από το επίπεδο ζουμ. Αντίθετα, ένα εικονοστοιχείο σε μια περιοχή με μεγέθυνση μιας εικόνας Buddhabrot μπορεί να επηρεαστεί από αρχικά σημεία από περιοχές που απέχουν πολύ από την απεικονιζόμενη. Χωρίς την ανάγκη για πιο σύνθετες πιθανολογικές τεχνικές, Η απόδοση των μεγεθυμένων τμημάτων του Buddhabrot είναι απλώς θέμα περικοπής μιας μεγάλης απόδοσης.

Ο μέγιστος αριθμός επαναλήψεων που επιλέγεται επηρεάζει την εικόνα - υψηλότερες τιμές δίνουν πιο αραιή και λεπτομερή εμφάνιση, καθώς μερικά από τα σημεία περνούν από μεγάλο αριθμό εικονοστοιχείων πριν διαφύγουν, με αποτέλεσμα οι διαδρομές τους να είναι πιο ορατές. Εάν χρησιμοποιηθεί ένα χαμηλότερο μέγιστο, τα σημεία αυτά δεν θα διαφύγουν εγκαίρως και θα θεωρηθεί ότι δεν διαφεύγουν καθόλου. Ο αριθμός των δειγμάτων που επιλέγεται επηρεάζει επίσης την εικόνα, καθώς όχι μόνο οι υψηλότεροι αριθμοί δειγμάτων μειώνουν το θόρυβο της εικόνας, αλλά μπορούν να μειώσουν την ορατότητα των αργά κινούμενων σημείων και των μικρών ελκυστών, οι οποίοι μπορούν να εμφανιστούν ως ορατές ραβδώσεις σε μια απεικόνιση με χαμηλότερο αριθμό δειγμάτων. Ορισμένες από αυτές τις ραβδώσεις είναι ορατές στην παρακάτω εικόνα 1.000.000 επαναλήψεων.

Ο Γκριν συνειδητοποίησε αργότερα ότι αυτό παρείχε έναν φυσικό τρόπο για τη δημιουργία έγχρωμων εικόνων Buddhabrot, λαμβάνοντας τρεις τέτοιες εικόνες κλίμακας του γκρι, που διέφεραν μόνο από τον μέγιστο αριθμό των επαναλήψεων που χρησιμοποιήθηκαν, και συνδυάζοντάς τες σε μια ενιαία έγχρωμη εικόνα χρησιμοποιώντας την ίδια μέθοδο που χρησιμοποιούν οι αστρονόμοι για τη δημιουργία ψευδοέγχρωμων εικόνων νεφελωμάτων και άλλων ουράνιων αντικειμένων. Παραδείγματος χάριν, θα μπορούσε κανείς να αναθέσει μια εικόνα 2.000 μέγιστων επαναλήψεων στο κόκκινο κανάλι, μια εικόνα 200 μέγιστων επαναλήψεων στο πράσινο κανάλι και μια εικόνα 20 μέγιστων επαναλήψεων στο μπλε κανάλι μιας εικόνας σε ένα χρωματικό χώρο RGB. Ορισμένοι έχουν ονομάσει τις εικόνες Buddhabrot χρησιμοποιώντας αυτή την τεχνική Nebulabrots.

Μέγιστος αριθμός επαναλήψεων: 20

Μέγιστος αριθμός επαναλήψεων: 100

Μέγιστος αριθμός επαναλήψεων: 1,000

Μέγιστος αριθμός επαναλήψεωνs: 20,000

Μέγιστος αριθμός επαναλήψεων: 1,000,000

Σχέση με τον λογιστικό χάρτη

Το Buddhabrot και ο λογιστικός του χάρτης.

Κινούμενη εικόνα που απεικονίζει το Buddhabrot και τον λογιστικό του χάρτη.

Η σχέση μεταξύ του συνόλου Μάντελμπροτ, όπως ορίζεται από την επανάληψη $z^{2}+c$, και του λογιστικού χάρτη $\lambda x(1-x)$ είναι γνωστή. Οι δύο αυτοί χάρτες συνδέονται με τον τετραγωνικό μετασχηματισμό:

${\begin{aligned}c_{r}&={\frac {\lambda (2-\lambda )}{4}}\\c_{i}&=0\\z_{r}&=-{\frac {\lambda (2x-1)}{2}}\\z_{i}&=0\end{aligned}}$

Ο κλασικός τρόπος απεικόνισης αυτής της σχέσης είναι η ευθυγράμμιση του λογιστικού χάρτη και του συνόλου Μάντελμπροτ μέσω της σχέσης μεταξύ $c_{r}$ και $\lambda$, χρησιμοποιώντας έναν κοινό άξονα x και έναν διαφορετικό άξονα y, δείχνοντας μια μονοδιάστατη σχέση.

Η Μελίντα Γκριν ανακάλυψε ότι το παράδειγμα του Αντι-Buddhabrot ενσωματώνει πλήρως τον λογιστικό χάρτη. Και τα δύο βασίζονται στην ανίχνευση μονοπατιών από σημεία που δεν ξεφεύγουν, επαναλαμβανόμενα από ένα (τυχαίο) σημείο εκκίνησης, και οι συναρτήσεις επανάληψης σχετίζονται με τον παραπάνω μετασχηματισμό. Είναι τότε εύκολο να δούμε ότι το αντι-Buddhabrot για το $z^{2}+c$, σχεδιάζοντας μονοπάτια με $c=({\text{random}},0)$ και $z_{0}=(0,0)$, απλά παράγει τον λογιστικό χάρτη στο επίπεδο $\{c_{r},z_{r}\}$, όταν χρησιμοποιείται ο συγκεκριμένος μετασχηματισμός. Για σκοπούς απόδοσης χρησιμοποιούμε το $z_{0}=({\text{random}},0)$. Στον λογιστικό χάρτη, όλα τα $z_{r0}$ δημιουργούν τελικά την ίδια διαδρομή.

Επειδή τόσο το σύνολο Μάντελμπροτ όσο και ο λογιστικός χάρτης αποτελούν αναπόσπαστο μέρος του Αντί-Buddhabrot, μπορούμε τώρα να δείξουμε μια τρισδιάστατη σχέση μεταξύ τους, χρησιμοποιώντας τους τρισδιάστατους άξονες. $\{c_{r},c_{i},z_{r}\}$. Το animation δείχνει το κλασικό αντί-Buddhabrot με $c=({\text{random}},{\text{random}})$ και $z_{0}=(0,0)$, αυτό είναι το 2D σύνολο Μάντελμπροτ στο επίπεδο $\{c_{r},c_{i}\}$, και επίσης το Αντί-Buddhabrot με $c=({\text{random}},0)$ και $z_{0}=(0,0)$, αυτό είναι ο 2D λογιστικός χάρτης στο επίπεδο $\{c_{r},z_{r}\}$. Περιστρέφουμε το επίπεδο $\{c_{i},z_{r}\}$ γύρω από τον άξονα $c_{r}$, δείχνοντας πρώτα το $\{c_{r},c_{i}\}$, στη συνέχεια περιστρέφοντας 90° για να δείξουμε το $\{c_{r},z_{r}\}$, στη συνέχεια περιστρέφοντας επιπλέον 90° για να δείξουμε το $\{c_{r},-c_{i}\}$. Θα μπορούσαμε να περιστρέψουμε επιπλέον 180°, αλλά αυτό δίνει τις ίδιες εικόνες, που καθρεφτίζονται γύρω από τον άξονα $c_{r}$.

Ο λογιστικός χάρτης Αντί-Buddhabrot είναι στην πραγματικότητα ένα υποσύνολο του κλασικού Αντί-Buddhabrot, που βρίσκεται στο επίπεδο $\{c_{r},z_{r}\}$ (ή $c_{i}=0$) του 3D $\{c_{r},c_{i},z_{r}\}$, κάθετο στο επίπεδο $\{c_{r},c_{i}\}$. Το επισημαίνουμε αυτό δείχνοντας εν συντομία, σε περιστροφή 90°, μόνο το προβαλλόμενο επίπεδο $c_{i}=0$, το οποίο δεν "ενοχλείται" από τις προβολές των επιπέδων με μη μηδενικό $c_{i}$.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Lobo, Albert. «Meet the Buddhabrot technique». Molecular Density. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 3 Σεπτεμβρίου 2018. Ανακτήθηκε στις 21 Νοεμβρίου 2011. 
• Mathologer. «The dark side of the Mandelbrot set». YouTube. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 22 Δεκεμβρίου 2021. 

Δείτε επίσης

• Αλγόριθμος διαμαντιού τετραγώνου
• Καμπύλη που γεμίζει το χώρο
• Νιφάδα του Κοχ
• Καμπύλη Χίλμπερτ
• Καμπύλη του δράκου
• Σπόγγος του Μένγκερ

• Σύνολο Μάντελμπροτ
• Σύνολο Julia
• Σύνολο Κάντορ
• Οικοδομήσιμο Σύμπαν